3.3 Parnost i neparnost funkcije

Potencije

Istražimo

U bilježnici popunite tablicu:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$1$	$2$	$3$
$f\left(x\right)$ $=$ $x^2$
$g\left(x\right)$ $=$ $x^4$

Promotrite predznake brojeva u tablici. Zapišite što vrijedi za brojeve i funkcije u tablici. Pronađite još neke brojeve za koje vrijedi isto svojstvo pa ga zapišite. Vrijedi li svojstvo za svaki broj $x?$ Koristeći se zaključcima, označite točne odgovore za funkcije $f$ i $g.$

Kolekcija zadataka #1

1. 1
2. 2
3. 3

Uparite jednake vrijednosti.

$f\left(-2\right)=$	$g\left(3\right)$
$g\left(-2\right)=$	$f\left(1\right)$
$f\left(-1\right)=$	$f\left(2\right)$
$f\left(-3\right)=$	$f\left(3\right)$
$g\left(-3\right)=$	$g\left(2\right)$

null

null

Za svaki realni broj $x$ vrijedi: $f\left(-x\right)$

=<>

$f\left(x\right),$ $g\left(-x\right)$

=<>

$g\left(x\right).$

null

null

Označite funkcije za koje vrijedi: $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ za svaki realni broj $x.$

$f\left(x\right)=x$ 

$f\left(x\right)=x^2$ 

$f\left(x\right)=x^3$ 

$f\left(x\right)=x^4$ 

$f\left(x\right)=x^5$ 

$f\left(x\right)=x^6$   

$f\left(x\right)=x^7$ 

$f\left(x\right)=x^8$ 

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Zadana je funkcija $f\left(x\right)=x^n.$ Ako za svaki realni broj $x$ vrijedi $f\left(-x\right)=f\left(x\right),$ onda je eksponent $n$ 

paran

neparan.

null

null

Parne funkcije

Primjer 1.

Provjerimo je li funkcija zadana s  $f\left(x\right)=x^2+\cos x$ parna. Funkcija je definirana za svaki realni broj $x.$ Računamo:

$f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^2+\cos \left(-x\right)=x^2+\cos x=f\left(x\right).$

Funkcija je parna.

Je li funkcija zadana s  $f\left(x\right)=\frac{2x^2}{1+x^4}$ parna?

Da

Ne

null

null

Je li funkcija zadana s  $f\left(x\right)=\frac{x^2+x^3}{1+x^4}$ parna?

Da

Ne

null

Graf parne funkcije

Istražimo

Promotrite grafove parnih funkcija. Uočavate li neko zajedničko svojstvo?

Graf kvadratne funkcije

Graf funkcije apsolutne vrijednosti

Graf funkcije kosinus

Prethodna Sljedeća

Graf parne funkcije simetričan je s obzirom na os ordinata.

Kolekcija zadataka #2

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Je li funkcija čiji je graf na slici parna?

Da

Ne

null

null

Je li funkcija čiji je graf na slici parna?

Da

Ne

null

null

Je li funkcija čiji je graf na slici parna?

Da

Ne

null

null

Je li funkcija čiji je graf na slici parna?

Da

Ne

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Neparne funkcije

Istražimo

Promatrali smo funkcije zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=x^n$ pri čemu je $n$ bio paran broj. Što vrijedi za funkcije s neparnim eksponentom $n$? Ispitajte na primjeru funkcije $f\left(x\right)=x^3.$

Primjer 2.

Provjerimo je li funkcija zadana s $f\left(x\right)=x^3+x^2\sin x$ neparna. Funkcija je definirana za svaki realni broj $x.$

Računamo:

$\begin{array}{ll}f\left(-x\right)& ={\left(-x\right)}^3+{\left(-x\right)}^2\sin \left(-x\right)=-x^3+x^2·\left(-\sin x\right)=\\ & =-x^3-x^2\sin x=-\left(x^3+x^2\sin x\right)=-f\left(x\right)\end{array}.$

Funkcija je neparna.

Graf neparne funkcije

Graf neparne funkcije

Graf neparne funkcije

Prethodna Sljedeća

Za neparnu funkciju vrijedi $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ pa se na grafu funkcije nalaze točke $\left(-x,y\right)$ i $\left(x,-y\right).$ Graf funkcije je simetričan s obzirom na ishodište.

Graf neparne funkcije simetričan je s obzirom na ishodište.

Označite grafove neparnih funkcija.

a.

b.

c.

d.

null

null

Primjer 3.

Provjerimo je li parna ili neparna funkcija $f\left(x\right)=x^2+x.$ Odredimo $f\left(-x\right):$

$f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^2+\left(-x\right)=x^2-x.$

Provjerimo parnost. Vidimo da je $f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)$ pa funkcija nije parna.

Provjerimo neparnost. Budući da je $-f\left(x\right)=-x^2-x$ vidimo da je $f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)$ pa funkcija nije neparna.

Zaključujemo da funkcija nije niti parna niti neparna.