Na početku...

Što je korijen

U matematici, broj ili matematički izraz koji ima svojstvo da je potenciran $n$ -tom potencijom jednak zadanom broju ili matematičkom izrazu, npr. vrijednost izraza $\sqrt[n]{a} = b,$ jest broj $b$ sa svojstvom $b^{n} = a .$ U izrazu $\sqrt[n]{a}$ $n$ je eksponent korijena, dok je $a$ njegov radikand. Kvadratni korijen se umjesto $\sqrt[2]{a}$ piše samo $\sqrt{a} .$ Na primjer, pojavljuje se u formulama dijagonale kvadrata $d = a \sqrt{2}$ i prostorne dijagonale kocke $D = a \sqrt{3},$ pri čemu je $a$ duljina stranice kvadrata tj. brida kocke. Treći korijen $\sqrt[3]{a}$ naziva se i kubni korijen.

Hrvatska enciklopedija - značenje riječi korijen

Korijen? Problem ili rješenje? — Korijen u prirodi

S pojmom korijena i potencija susreli ste se u prvom i drugom razredu obrađujući:

potencije s cjelobrojnim eksponentima
računske operacije s drugim i trećim korijenom.

U ovoj jedinici računat ćemo s $n$ -tim korijenima i potencijama s racionalnim eksponentom.

Dječak je ušao u čudnu šumu. U krošnjama su brojevi, a svako drvo ima različit broj glavnih korijena. Dječak se pita: „Kakva je ovo čudna šuma? Kakva je veza između korijena i brojeva u krošnjama?“ — Čudna šuma

Što je dječak primijetio? Možete li povezati brojeve na krošnjama i broj korijena drveća?

Broj korijena jednak je drugom ili trećem korijenu broja iz krošnje.

Npr.

$\sqrt{16} = 4$
$\sqrt{9} = 3$
$\sqrt[3]{8} = 2$

itd.

Ponovimo

Ponovimo računanje s drugim i trećim korijenom te neka važna svojstva.

Povežite parove.

$\sqrt{12}$	$9$
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$	$\sqrt{3}$
$\frac{3}{\sqrt{3}}$	$2 \sqrt{3}$
$- 2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$	$- \sqrt{3}$
$\sqrt{54} \div \sqrt{6}$	$3$

null

Povežite parove.

$\sqrt[3]{135}$	$3$
$\frac{5}{\sqrt[3]{5}}$	$3 \sqrt[3]{5}$
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$	$\sqrt[3]{25}$
$\sqrt[3]{81} : \sqrt[3]{3}$	$2$

null

Ne postoji realni broj koji bi nakon potenciranja s

eksponentom dao

broj. Ako potenciramo

eksponentom rezultat može biti negativan broj.

parnim

negativan

neparnim

null

Ako je $a > 0$ tada je

korijen

iz realnog broja $a$

realan

broj

\sqrt{a}

za koji vrijedi

{(\sqrt{a})}^{2} = a .

Ako je

a \in R,

tada je

korijen

iz realnog broja $a$

broj

\sqrt[3]{a}

za koji vrijedi

{(\sqrt[3]{a})}^{3} = a .

null

Svojstva n-tog korijena

Za $n$ -ti korijen vrijede ista svojstva kao i za drugi i treći korijen. Nabrojimo ih.

Svojstva n-tog korijena

Za pozitivne realne brojeve $a$ i $b$ i $n, m \in N$ vrijedi:

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0$

$\sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$

$\sqrt[m \cdot n]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$

Napomena:

Za bilo koje realne brojeve $a$ i $b$ svojstva vrijede ako su $m$ i $n$ neparni prirodni brojevi.

U sljedećem videu pogledajte obrazloženje za prvo svojstvo. Ostala svojstva pokušajte sami obrazložiti.

Primjer 1.

Riješimo sljedeće zadatke:

$\sqrt[15]{a^{21}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a^{3 \cdot 7}} = \sqrt[5]{a^{7}}$ (svojstvo c. i e.)

$\sqrt[14]{a^{21} \cdot b^{28}} = \sqrt[7 \cdot 2]{a^{7 \cdot 3} \cdot b^{7 \cdot 4}} = \sqrt{a^{3} \cdot b^{4}} = \sqrt{a^{3}} \cdot b^{2}$ (svojstvo a., c. i e.)

$\sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^{3}} \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{5^{2}} = \sqrt[6]{5^{3}} \cdot \sqrt[6]{5^{2}} = \sqrt[6]{5^{5}}$ (svojstvo a., c. i e.)

$\sqrt[4]{2} : \sqrt[3]{2} = \sqrt[12]{2^{3}} : \sqrt[12]{2^{4}} = \sqrt[12]{2^{- 1}} = \sqrt[12]{\frac{1}{12}}$ (svojstvo b. i e.)

$\sqrt[3]{a \sqrt[3]{a}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{4}}} = \sqrt[9]{a^{4}}$ (svojstvo a., d. i e.)

Riješite sljedeće zadatke uz primjenu svojstava n-tog korijena.

\sqrt[3]{x^{2}} = \sqrt[12]{x^{n}},

n =

null

\sqrt[4]{a \cdot b^{2}} = \sqrt[8]{a^{2} \cdot b^{n}},

n =

null

Poredajte ponuđene izraze tako da dobijete korake pri provođenju računskih operacija kod navedenog izraza.

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{4^{2}}$

$\sqrt[6]{4^{8}}$
$\sqrt[6]{4^{2} \cdot 4^{6}}$
$\sqrt[6]{4^{2}} \cdot \sqrt[6]{4^{6}}$

null

Povežite odgovarajuće parove.

$\sqrt[5]{3^{3}} : \sqrt{9}$	$\sqrt[6]{72}$
$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}$	$\sqrt[6]{16}$
$\sqrt{4} : \sqrt[3]{2}$	$\sqrt[10]{3}$
$\sqrt{2^{5}} \cdot \sqrt[4]{2^{5}}$	$8 \cdot \sqrt[4]{2^{3}}$

null

Čemu je jednak navedeni izraz?

$\sqrt[4]{a^{3} \cdot b^{5}} \cdot \sqrt{a \cdot b}$

a \cdot b \sqrt[4]{a \cdot b^{3}}

a \cdot b^{2} \sqrt[4]{a \cdot b}

a \cdot b \sqrt[4]{a \cdot b}

null

Čemu je jednak navedeni izraz?

$\sqrt[3]{2 \cdot \sqrt[3]{4}}$

\sqrt[6]{32}

\sqrt[9]{2^{5}}

\sqrt[4]{2^{3}}

null

Mogu li se korijeni zbrajati i oduzimati?

Odgovor pokušajte pronaći rješavajući sljedeće zadatke.

Poredajte ponuđene izraze tako da dobijete točan redoslijed računskih operacija.

$\sqrt[5]{3} (2 + \frac{1}{2}) + \sqrt[3]{3} (- \frac{3}{2} + 1)$
$\frac{5}{2} \cdot \sqrt[5]{3} - \frac{1}{2} \sqrt[3]{3}$
$2 \sqrt[5]{3} - \frac{3}{2} \sqrt[3]{3} + \frac{1}{2} \sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{3}$
$2 \sqrt[5]{3} + \frac{1}{2} \sqrt[5]{3} - \frac{3}{2} \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}$

null

Poredajte ponuđene izraze tako da dobijete točan redoslijed računskih operacija.

$\sqrt[3]{2^{3} \cdot 3} + \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}$
$\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{81}$
$5 \cdot \sqrt[3]{3}$
$\sqrt[3]{3} (2 + 3)$
$2 \sqrt[3]{3} + 3 \sqrt[3]{3}$

null

Vrijednost potencija racionalnog eksponenta

Jesmo li zadatke iz Primjera 1 mogli riješiti pomoću potencija racionalnog eksponenta?

Primjer 2.

Primijenimo pravila za računanje s potencijama racionalnog eksponenta.

1. $\sqrt[15]{a^{21}} = {(a^{21})}^{\frac{1}{15}} = a^{\frac{21}{15}} = a^{\frac{7}{5}} = \sqrt[5]{a^{7}}$

2. $\sqrt[14]{a^{21} \cdot b^{28}} = {(a^{21} \cdot b^{28})}^{\frac{1}{14}} = a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{4}{2}} = \sqrt{a^{3} \cdot b^{4}}$

3. $\sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{5^{5}}$

4. $\sqrt[4]{2} : \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{1}{3}} = 2^{- \frac{1}{12}} = \sqrt[12]{2^{- 1}}$

5. $\sqrt[3]{a \sqrt[3]{a}} = {(a \sqrt[3]{a})}^{\frac{1}{3}} = {(a \cdot a^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[9]{a^{4}}$

Što je jednostavnije i brže?

U igri memorije ispitajte kako brže doći do rješenja.

Povećaj interaktivni prikaz

...i na kraju

Ron Gordon, nastavnik u srednjoj školi u državi Kalifornija, zaslužan je za kreiranje neslužbenog dana kvadratnog korijena.

Kako je zamišljeno koji datum u godini ima taj naziv?

Zapišimo datum na neki od sljedećih načina (d/m/gg), (m/d/gg), (dd/mm/gg) ili (mm/dd/gg). Dan kvadratnog korijena obilježava se na dan kada su prve dvije znamenke u datumu, svaka za sebe, kvadratni korijen posljednjih dviju znamenaka, dakle, znamenke godine.

Prvi dan kvadratnog korijena obilježen je 9. rujna 1981. (09/09/81.).

Samo 9 datuma svakog stoljeća ispunjava uvjete za Dan drugog korijena. Prvi dan 21. stoljeća, prvi siječnja 2001. (01. 01. 2001.) bio je Dan drugog korijena.

Zadatak 1.

Navedite sve Dane drugog korijena u ovom stoljeću?

Koliko ih je i koji nam je najbliži?

1. siječnja 2001. (01/01/01): $1^{2} = 1$
2. veljače 2004. (02/02/04): $2^{2} = 4$
3. ožujka 2009. (03/03/09): $3^{2} = 9$
4. travnja 2016. (04/04/16): $4^{2} = 16$
5. svibnja 2025. (05/05/25): $5^{2} = 25$
6. lipnja 2036. (06/06/36): $6^{2} = 36$
7. srpnja 2049. (07/07/49): $7^{2} = 49$
8. kolovoza 2064. (08/08/64): $8^{2} = 64$
9. rujna 2081. (09/09/81): $9^{2} = 81$

Projekt

Možemo li proslaviti i Dan trećeg ili četvrtog korijena?

Odredite koje uvjete mora zadovoljavati datum da bi bio Dan trećeg ili četvrtog korijena.

Izradite digitalni plakat kojim pozivate na proslavu ovog praznika. Kojeg datuma će biti prvi put proslavljeni ovi praznici?

Pogledajte mogući primjer:

Pozivnica na proslavu dana četvrtog korijena. — Pozivnica na proslavu

Procijenite svoje znanje

$\sqrt[5]{32} = 2$ jer je

jednako

2^{5}

32

null

\sqrt[3]{x \cdot y^{2}} = \sqrt[15]{x^{n} \cdot y^{m}},

n =

m =

null

Primjenjujući zapis korijena u obliku potencije s racionalnim eksponentom provjerite koji je od zapisa isti kao:

$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{5}}}$

5^{\frac{15}{12}}

5^{\frac{1}{24}}

5^{24}

5^{\frac{12}{15}}

null

Je li jednakost istinita?

$\sqrt[5]{a} - \frac{1}{3} \sqrt[3]{a} = \frac{2}{3} \sqrt{a}$

null

Na crte unesite cijeli broj, decimalni broj ili razlomak. Ako unosite razlomak, za razlomačku crtu koristite kosu crtu /

{(\frac{81}{16})}^{\frac{1}{4}}

jednako je

jer

jednako

\frac{81}{16} .

null

1.2 Računanje vrijednosti korijena i potencija racionalnog eksponenta

Na početku...

Ponovimo

n-ti korijen

n-ti korijen

Svojstva n-tog korijena

Svojstva n-tog korijena

Primjer 1.

Vrijednost potencija racionalnog eksponenta

Primjer 2.

...i na kraju

Zadatak 1.

Projekt

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: