6.4 Primjena trigonometrijskih jednadžbi

Na početku...

Prisjetimo se kako algebarski rješavamo trigonometrijske jednadžbe.

Spojite trigonometrijsku jednadžbu s njezinim rješenjima. $x_0$ je jedno rješenje te jednadžbe.

$\sin x=a$	$x_{\mathrm{1,2}}=\pm x_0+2k\pi ,$ $k\in \mathbf{Z}$
$\mathrm{tg}x=a$   ili $\mathrm{ctg}x=a$	$x_1=x_0+2k\pi$ i $x_2=\pi -x_0+2k\pi ,$ $k\in \mathbf{Z}$
$\cos x=a$	$x=x_0+k\pi$ , $k\in \mathbf{Z}$

null

null

Za funkciju $f\left(t\right)=20\sin \left(2\pi t\right)+100$ maksimum iznosi

 

, minimum je

 

, a temeljni period

 

.

$80$

$1$

$120$

null

null

Primjer 1.

Kada će krvni tlak iznositi $100\mathrm{mmHg}?$

Da bi se dobio odgovor na postavljeno pitanje, potrebno je riješiti  jednadžbu: $20\sin \left(2\pi t\right)+100=100.$

$20\sin \left(2\pi t\right)=0$

$\sin \left(2\pi t\right)=0$

$2\pi t=k\pi$ 

$t=\frac{k}{2},$ $k\in \mathrm{N}.$

Krvni tlak iznosit će $100\mathrm{mmHg}$ svakih pola sekunde od početka mjerenja.

Primjer 2.

Visina na kojoj je kapsula na London Eyeu mijenja se po sinusoidi $f\left(x\right)=60\sin \left(\frac{\pi }{12}x-\frac{\pi }{2}\right)+60,$ pri čemu je $x$ vrijeme u minutama proteklo od početka kretanja, a $f\left(x\right)$ visina u metrima na kojoj se nalazi kapsula nakon $x$ minuta. Odredimo nakon koliko će se minuta kapsula nalaziti na najvišoj točki? Nakon kojeg će se vremena nalaziti na $100$ metara?

Maksimalna visina na kojoj se nalazi kapsula jednaka je zbroju amplitude i pomaka po $y$ osi, tj. $y_{max}=60+60=120.$

$60\sin \left(\frac{\pi }{12}x-\frac{\pi }{2}\right)+60=120$

$60\sin \left(\frac{\pi }{12}x-\frac{\pi }{2}\right)=60$

$\sin \left(\frac{\pi }{12}x-\frac{\pi }{2}\right)=1$

$\frac{\pi }{12}x-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$

$\frac{\pi }{12}x=\pi +2k\pi$

$x=12+24k,$ $k\in \mathbf{N}.$

U ovom smo primjeru imali samo jedan oblik rješenja trigonometrijske jednadžbe sa sinusom. 

Primjer 3.

Odredimo kada će visina na kojoj je kapsula London Eyea iznositi 100 metara.  

$60\sin \left(\frac{\pi }{12}x-\frac{\pi }{2}\right)+60=100$

$60\sin \left(\frac{\pi }{12}x-\frac{\pi }{2}\right)=40$

$\sin \left(\frac{\pi }{12}x-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{2}{3}$

$\frac{\pi }{12}{x}_1-\frac{\pi }{2}=0.7297+2k\pi$                      

$\frac{\pi }{12}{x}_1=2.3005+2k\pi$                           

$x_1=8.7873+24k,$  $k\in \mathbf{N}$ .                                  

$\frac{\pi }{12}{x}_2-\frac{\pi }{2}=\pi -0.7297+2k\pi$

$\frac{\pi }{12}{x}_2=3.9827+2k\pi$

$x_2=15.2128+24k,$ $k\in \mathbf{N}.$

Na grafičkom je prikazu prikazano pitanje:

Kada je prosječna duljina dana 6 sati?

Kada je prosječna duljina dana 10 sati?

Kada je prosječna duljina dana 12 sati?

Kada je prosječna duljina dana 14 sati?

null

null

Na grafičkom je prikazu prikazano pitanje:

Kada je prosječna duljina dana 6 sati?

Kada je prosječna duljina dana 10 sati?

Kada je prosječna duljina dana 12 sati?

Kada je prosječna duljina dana 14 sati?

null

null

Na grafičkom je prikazu prikazano pitanje:

Kada je prosječna duljina dana 6 sati?

Kada je prosječna duljina dana 10 sati?

Kada je prosječna duljina dana 12 sati?

Kada je prosječna duljina dana 14 sati?

null

null

Na grafičkom je prikazu prikazano pitanje:

Kada je prosječna duljina dana 6 sati?

Kada je prosječna duljina dana 10 sati?

Kada je prosječna duljina dana 12 sati?

Kada je prosječna duljina dana 14 sati?

null

null

Zadatak 5.

Objekt se nalazi na opruzi koja je do kraja rastegnuta prema dolje, 3 centimetra od ravnotežnog položaja. Ako je vrijeme potrebno da se opruga stisne i ponovno vrati u taj položaj 4 sekunde, odredite trigonometrijsku funkciju kosinus koja opisuje to gibanje. Kada će se objekt nalaziti 2 centimetra iznad ravnotežnog položaja?

Rješenje

Primjer 4.

Odredimo kut $\alpha$ u trokutu kojem je duljina stranice $a$ jednaka $7\mathrm{cm},$ stranice $b$ je $6\mathrm{cm}$ i kut $\beta$ iznosi $30°.$

Primijenimo li sinusov poučak $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$ na ovaj trokut, dobivamo: $\frac{7}{\sin \alpha }=\frac{6}{\sin 30°}$ tj. $\sin \alpha =\frac{7}{6}\sin 30°$. Rješavajući ovu jednadžbu dobivamo dva moguća rješenja za kut $\alpha :$ ${\alpha }_1=35°41\text{'}7"$ i  ${\alpha }_2=144°18\text{'}53"$ .