Vektori u Kartezijevom koordinatnom sustavu u ravnini

Primjer 1.

U koordinatnom sustavu prikazali smo četiri jednaka vektora. Vidljivo je da zadovoljavaju kriterij jednakosti: duljinu, smjer i orijentaciju.

Ipak, sva četiri imaju početne i završne točke različitih koordinata. Ako su vektori jednaki, što im je zajedničko?

Popunite sljedeću tablicu u bilježnicu.

Vektor Razlika $x$ $x$ koordinata
krajnje i početne točke
Razlika $y$ $y$ koordinata
krajnje i početne točke

$\vec{u}$ $\vec{u}$

$\vec{v}$ $\vec{v}$

$\vec{a}$ $\vec{a}$

$\vec{w}$ $\vec{w}$

Što ste zaključili?

Vektori

Za sve vektore iz prethodnog primjera vidljivo je da je razlika $x$ $x$ i $y$ $y$ koordinata završne i početne točke jednaka.

"Put" od početne točke do završne dan je algoritmom:

1) Od početne točke krenite 3 "koraka" na istok.

2) Zatim se okrenite za $90 °$ $90 °$ u smjeru kazaljke na satu i pomaknite se 2 koraka prema sjeveru.

Algoritam nije "matematički " zapisan, ali pokazuje da vektore koriste i tvorci računalnih igara.

Umjesto "koraka", definirajmo vektore u Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Linearna kombinacija vektora

Linearna kombinacija dvaju vektora jest svaki izraz oblika: $a \vec{u} + b \vec{v},$ $a \vec{u} + b \vec{v},$ pri čemu su $a$ $a$ i $b$ $b$ skalari i nazivamo ih koeficijentima, a $\vec{u}$ $\vec{u}$ i $\vec{v}$ $\vec{v}$ dva nekolinearna vektora.

Linearna kombinacija vektora jest novi vektor.

Korelacija

Više o linearnoj kombinaciji naučit ćete u sljedećim jedinicama, u kojima ćete istraživati računske operacije s vektorima, između ostalog i zbrajanje vektora.

Zbrajanje vektora može se definirati pomoću fizikalnog pristupa.

Ako brod plovi rijekom brzinom $2 m/s$ $2 m/s$ okomito na njezin tok, a brzina same rijeke iznosi $0.5 m/s,$ $0.5 m/s,$ kakva je putanja broda?

Već su stari narodi opisivali kretanje broda dijagonalom pravokutnika čije su stranice vektori brzine broda i rijeke.

S druge strane, možemo reći da je putanja broda linearna kombinacija vektora brzine broda i brzine toka rijeke.

Zbrajanje vektora pomoću fizikalnog pristupa. — Zbrajanje vektora pomoću fizikalnog pristupa

Vektori u koordinatnom sustavu

U Kartezijevom koordinatnom sustavu istaknimo dva nekolinerana jedinična vektora:

$\vec{i}$ $\vec{i}$ - jedinični vektor na osi apscisa

$\vec{j}$ $\vec{j}$ - jedinični vektor na osi ordinata.

Vektor $\vec{O T}$ $\vec{O T}$ (s početkom u ishodištu), nazivamo radijvektor točke $T (x, y)$ $T (x, y)$ i prikazujemo ga kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora $\vec{i}$ $\vec{i}$ i $\vec{j} .$ $\vec{j} .$

$\vec{O T} = x \vec{i} + y \vec{j}$ $\vec{O T} = x \vec{i} + y \vec{j}$

Realne brojeve $x$ $x$ i $y$ $y$ nazivamo koordinate vektora $\vec{O T} .$ $\vec{O T} .$

Općenito možemo zapisati:

Vektor $\vec{A B}$ $\vec{A B}$ s početkom u točki $A (x_{1}, y_{1})$ $A (x_{1}, y_{1})$ i završetkom u točki $B (x_{2,} y_{2})$ $B (x_{2,} y_{2})$ ima prikaz:

$\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}) \vec{i} + (y_{2} - y_{1}) \vec{j} .$ $\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}) \vec{i} + (y_{2} - y_{1}) \vec{j} .$

Vektori u Kartezijevom koordinatnom sustavu

Primjer 2.

Prikažimo vektor s početnom točkom $T (- 3, 1)$ $T (- 3, 1)$ i krajnom točkom $R (5, 7)$ $R (5, 7)$ kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora $\vec{i}$ $\vec{i}$ i $\vec{j} .$ $\vec{j} .$ Nacrtajmo u koordinatnom sustavu vektor $\vec{T R}$ $\vec{T R}$ (uz pomoć zadane početne i završne točke) i vektor jednak vektoru $\vec{T R}$ $\vec{T R}$ s početkom u ishodištu.

$\vec{T R} = (5 - (- 3)) \vec{i} + (7 - 1) \vec{j} = 8 \vec{i} + 6 \vec{j}$ $\vec{T R} = (5 - (- 3)) \vec{i} + (7 - 1) \vec{j} = 8 \vec{i} + 6 \vec{j}$

Vektori

Pridružite sve vektore njihovim početnim i završnim točkama.

(3, - 2)

$(3, - 2)$ i

(5, - 5)

$(5, - 5)$

(5, 1)

$(5, 1)$ i

(7, - 2)

$(7, - 2)$

(0, 0)

$(0, 0)$ i

(2, - 3)

$(2, - 3)$

(- 7, 1)

$(- 7, 1)$ i

(- 3, 0)

$(- 3, 0)$

(4, - 7)

$(4, - 7)$ i

(8, - 8)

$(8, - 8)$

(1, 5)

$(1, 5)$ i

(5, 4)

$(5, 4)$

$\vec{a} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j}$ $\vec{a} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j}$

$\vec{b} = 4 \vec{i} - \vec{j}$ $\vec{b} = 4 \vec{i} - \vec{j}$

null

Zadatak 1.

Zadane su točke $C (\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ $C (\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ i $D (\frac{- 3}{4}, \frac{5}{2}) .$ $D (\frac{- 3}{4}, \frac{5}{2}) .$ Odredite vektore $\vec{C D}$ $\vec{C D}$ i $\vec{D C} .$ $\vec{D C} .$

Vektore prikažite u koordinatnom sustavu.

$\vec{C D} = - \frac{5}{4} \vec{i} + \frac{7}{4} \vec{j}$ $\vec{C D} = - \frac{5}{4} \vec{i} + \frac{7}{4} \vec{j}$

$\vec{D C} = \frac{5}{4} \vec{i} - \frac{7}{4} \vec{j}$ $\vec{D C} = \frac{5}{4} \vec{i} - \frac{7}{4} \vec{j}$

Vektori

\vec{C D}

$\vec{C D}$ i

\vec{D C}

$\vec{D C}$ jesu

vektori.

Duljina i smjer su im

,

a orijentacija

.

null

Zadan je vektor $\vec{M N} = - x \vec{i} + y \vec{j} .$ $\vec{M N} = - x \vec{i} + y \vec{j} .$ Vektor $\vec{N M}$ $\vec{N M}$ jednak je

x \vec{i} + y \vec{j}

$x \vec{i} + y \vec{j}$

x \vec{i} - y \vec{j}

$x \vec{i} - y \vec{j}$

- x \vec{i} + y \vec{j}

$- x \vec{i} + y \vec{j}$

null

Jednaki i suprotni vektori

Vektori $\vec{a} = a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j}$ $\vec{a} = a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j}$ i $\vec{b} = b_{x} \vec{i} + b_{y} \vec{j}$ $\vec{b} = b_{x} \vec{i} + b_{y} \vec{j}$ jednaki su onda i samo onda ako su im odgovarajuće koordinate jednake.

$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow a_{x} = b_{x}, a_{y} = b_{y}$ $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow a_{x} = b_{x}, a_{y} = b_{y}$

Ako su koeficijenti vektora suprotni brojevi, vektori su jednake duljine i smjera, a suprotne orijentacije.

Duljina vektora

Duljina vektora

Duljina vektora jednaka je duljini pripadajuće dužine. Ako su vektoru $\vec{A B}$ $\vec{A B}$ zadane početna točka $A (x_{1}, y_{1})$ $A (x_{1}, y_{1})$ i krajnja točka $B (x_{2}, y_{2}),$ $B (x_{2}, y_{2}),$ duljinu vektora računamo pomoću formule za udaljenost točaka.

$|\vec{A B}| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ $|\vec{A B}| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Ako je vektor zadan kao $\vec{a} = a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j},$ $\vec{a} = a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j},$ tada duljinu vektora računamo po formuli:

$|\vec{a}| = \sqrt{{a_{x}}^{2} + {a_{y}}^{2}} .$ $|\vec{a}| = \sqrt{{a_{x}}^{2} + {a_{y}}^{2}} .$

Zadatak 2.

Izračunajte duljinu vektora sa slike.

$|\vec{a}| = \sqrt{10}$ $|\vec{a}| = \sqrt{10}$

$|\vec{b}| = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ $|\vec{b}| = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$

Što je s vektorom koji počinje i završava u istoj točki?

Kako zovemo vektor čija je duljina jednaka nuli?

Što mislite, kakav vektor dobijemo zbrajanjem dvaju suprotnih vektora?

Nulvektor

Vektor koji ima duljinu jednaku nuli, odnosno počinje i završava u istoj točki, zovemo nulvektor.

Jedinični vektor

Za vektor $\vec{a_{0}}$ $\vec{a_{0}}$ kažemo da je jedinični vektor ako je njegova duljina $|\vec{a_{0}}| = 1 .$ $|\vec{a_{0}}| = 1 .$

Ako vektor $\vec{a},$ $\vec{a},$ različit od nulvektora, podijelimo s njegovom duljinom, dobili smo jedinični vektor jednakog smjera i orijentacije kao vektor $\vec{a} .$ $\vec{a} .$

$\vec{a_{0}} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} .$ $\vec{a_{0}} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} .$

Zadatak 3.

Odredite jedinični vektor vektora $\vec{u} = - 3 \vec{i} + 5 \vec{j} .$ $\vec{u} = - 3 \vec{i} + 5 \vec{j} .$

$\vec{u_{0}} = \frac{- 3 \vec{i} + 5 \vec{j}}{\sqrt{34}}$ $\vec{u_{0}} = \frac{- 3 \vec{i} + 5 \vec{j}}{\sqrt{34}}$

...i na kraju

Za kraj, pomoću simulacije uvježbajte računanje pojmova s kojima ste se upoznali u ovoj jedinici.

U simulaciji se pojavljuju početna i završna točka vektora.

Odredite:

1) koordinatne vektora

2) duljinu vektora

3) jedinični vektor

4) prikaz radij vektora u koordinatnom sustavu

Procijenite svoje znanje

Odredite sve vektore (zadane početnom i završnom točkom) koji imaju isti smjer kao i vektor $\vec{u} = 4 \vec{i} + 2 \vec{j} .$ $\vec{u} = 4 \vec{i} + 2 \vec{j} .$

(4, 0)

$(4, 0)$ i

(0, 2)

$(0, 2)$

(3, 0)

$(3, 0)$ i

(- 1, - 2)

$(- 1, - 2)$

(4, 2)

$(4, 2)$ i

(0, 0)

$(0, 0)$

(2, 4)

$(2, 4)$ i

(2, 1)

$(2, 1)$

null

Odredite vektor $\vec{T Q}$ $\vec{T Q}$ ako su zadane točke $Q (2, - 5)$ $Q (2, - 5)$ i $T (- 1, - 7) .$ $T (- 1, - 7) .$

- 3 \vec{i} + 2 \vec{j}

$- 3 \vec{i} + 2 \vec{j}$

- 3 \vec{i} - 2 \vec{j}

$- 3 \vec{i} - 2 \vec{j}$

3 \vec{i} + 2 \vec{j}

$3 \vec{i} + 2 \vec{j}$

null

Ako je $\vec{a} = \vec{b},$ $\vec{a} = \vec{b},$ onda su vektori paralelni i imaju jednaku duljinu.

Da

Ne

null

Uparite vektor i njemu suprotan vektor.

$2 \vec{i} - 3 \vec{j}$ $2 \vec{i} - 3 \vec{j}$	$3 \vec{i} - 2 \vec{j}$ $3 \vec{i} - 2 \vec{j}$
$3 \vec{i} + 2 \vec{j}$ $3 \vec{i} + 2 \vec{j}$	$- 3 \vec{i} - 2 \vec{j}$ $- 3 \vec{i} - 2 \vec{j}$
$2 \vec{i} + 3 \vec{j}$ $2 \vec{i} + 3 \vec{j}$	$- 2 \vec{i} - 3 \vec{j}$ $- 2 \vec{i} - 3 \vec{j}$
$- 3 \vec{i} + 2 \vec{j}$ $- 3 \vec{i} + 2 \vec{j}$	$- 2 \vec{i} + 3 \vec{j}$ $- 2 \vec{i} + 3 \vec{j}$

null

Zadan je vektor

\vec{A B} = 3 \vec{i} - \vec{j}

$\vec{A B} = 3 \vec{i} - \vec{j}$ i točka

A (2, 9) .

$A (2, 9) .$ Točka

B

$B$ ima koordinate (

,

).

null

7.2 Vektori u koordinatnom sustavu

Na početku...

Vektori u Kartezijevom koordinatnom sustavu u ravnini

Primjer 1.

Linearna kombinacija vektora

Korelacija

Vektori u koordinatnom sustavu

Primjer 2.

$\vec{a} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j}$ $\vec{a} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j}$

$\vec{b} = 4 \vec{i} - \vec{j}$ $\vec{b} = 4 \vec{i} - \vec{j}$

Zadatak 1.

Jednaki i suprotni vektori

Duljina vektora

Duljina vektora

Zadatak 2.

Nulvektor

Jedinični vektor

Zadatak 3.

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

Vektor	Razlika $x$ $x$ koordinata krajnje i početne točke	Razlika $y$ $y$ koordinata krajnje i početne točke
$\vec{u}$ $\vec{u}$
$\vec{v}$ $\vec{v}$
$\vec{a}$ $\vec{a}$
$\vec{w}$ $\vec{w}$