Matematika 3 - 5.3 Graf i svojstva funkcije tangens

Na početku...

Prisjetimo se naše biciklistice Ane i njezina problema:

Vozeći se biciklom, Ana je stigla do prometnog znaka "opasan uspon", na kojem je pisalo $10 % .$ Što označava taj znak? Ako bi se Ana vodoravno pomaknula $100$ metara, koliki bi bio pomak po visini? Pod kolikim će se kutom Ana uspinjati na svom putu?

Pomoću definiciju tangensa odredili smo da je kut $α = {tg}^{- 1} (\frac{10}{100}) \approx 5.710593 = 5 ° 42' 38 " .$

Promijenimo li kut pod kojim je nagnut uspon s obzirom na vodoravni položaj, mijenjat će se visinska razlika. Kakva je ta ovisnost? Linearna? Kvadratna?

Odgovor na ovo pitanje potražite u nastavku jedinice.

Ponovimo!

Čemu je jednak $tg α$ na slici?

|O V|

|V T|

|V_{1} T_{1}|

|O T_{1}|

null

Čemu je jednak tangens broja $t$ sa slike?

|O T|

|O T_{1}|

|T_{1} V_{1}|

|O V_{1}|

null

Naučili smo da tangens možemo odrediti za šiljaste kutove, za tupe kutove, za kutove koji su veći od $360 °,$ za kutove koji su manji od $0 °,$ za gotovo sve realne brojeve osim...

Za koje vrijednosti kuta ili realnog broja tangens nije definiran?

\frac{π}{2} + k π

k π

90 ° + k \cdot 180 °

k \cdot 180 °

null

Grafičko prikazivanje funkcije tangens pomoću brojevne kružnice

Istražimo

Preslikajmo u koordinatni sustav točke s brojevne kružnice. Na os apscisa nanosimo $t,$ a ordinata je $tg t .$ Dobit ćemo grafički prikaz funkcije $f (t) = tg t .$

Pomičite točku po kružnici i pogledajte graf koji nastaje.

Koliki je temeljni period funkcije $f (x) = tg x ?$

π

2 π

180 °

360 °

null

S obzirom na to da je temeljni period funkcije tangens $π,$ graf možemo proširiti na cijeli skup $R$ nanoseći ("kopirajući") osnovnu granu funkcije u beskonačnost.

Graf funkcije tangens

Graf funkcije tangens skup je točaka u ravnini $Γ_{f} = \{(x, f (x)) : f (x) = tg x, x \in R, x \neq \frac{π}{2} + k π\}$ za $k \in Z .$ Graf funkcije tangens nazivamo tangensoida.

Grafičko prikazivanje funkcije tangens pomoću tablice

Izračunajte vrijednosti tangensa za realne brojeve dane u tablici.

$t$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$tg t$

Ucrtamo li navedene točke u koordinatni sustav, dobit ćemo graf na intervalu $[0, \frac{π}{2}]$ koji zbog neparnosti preslikamo centralnosimetrično s obzirom na ishodište na interval $[- \frac{π}{2}, 0],$ a zbog periodičnosti možemo proširiti na cijeli skup $R$ .

Svojstva funkcije tangens

Čemu je jednak $tg t ?$

tg t = \frac{\sin t}{\cos t}

tg t = \frac{1}{\sin t}

tg t = \frac{\cos t}{\sin t}

null

Koliko iznosi $tg \frac{π}{2} ?$

- 1

0

1

nije definirano

null

Naučili smo vezu tangensa kuta sa sinusom i kosinusom kuta. Budući da je $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ za svaki realan broj $x,$ pogledajmo što ćemo dobiti izjednačimo li brojnik odnosno nazivnik s nulom.

Primjer 1.

Kada je $\sin x = 0 ?$

$\sin x = 0$ za $x = k π$ za $k \in Z .$

Budući da je $tg x = \frac{\sin x}{\cos x},$ tada iz $\sin x = 0$ proizlazi da je i $tg x = 0 .$

$x = k π$ za $k \in Z$ jesu nultočke funkcije tangens.

Definicija trigonometrijskih funkcija

Primjer 2.

Što kada je u nazivniku $0 ?$

Kada bi u nazivniku bila $0,$ imali bismo $\cos x = 0,$ što daje $x = \frac{π}{2}$ ili $x = \frac{3}{2} π,$ a zbog periodičnosti i parnosti kosinusa dobijemo $x = \frac{π}{2} + k π$ za $k \in Z$ . To su upravo točke u kojima tangens nije definiran.

Naravno: s nulom se ne dijeli!

Nemogućnost dijeljenja s nulom

Pravce $x = \frac{π}{2} + k π$ za $k \in Z$ nazivamo vertikalnim asimptotama funkcije tangens.

Asimptota

Asimptota je pravac kojemu se neka krivulja sve više približava a da ga ne dotakne (nedodirnica, nedotičnica).

Istražimo

Pogledajmo kako se mijenjaju vrijednosti tangensa kad pomičemo točku po kružnici.

Mijenjajte broj $t$ od $- \frac{π}{2}$ do $\frac{π}{2}$ pa odgovorite na pitanja.

Kada $t$ raste od $0$ do $\frac{π}{2},$ vrijednosti tangensa

Kada

t

raste od

- \frac{π}{2}

0,

vrijednosti tangensa

null

Vrijednosti tangensa na intervlu od $- \frac{π}{2}$ do $\frac{π}{2}$ stalno

null

Funkcija tangens je

stoga je simetrična s obzirom na

null

Graf funkcije tangens ima sljedeća svojstva:

Funkcija je periodična s temeljnim periodom $π .$

Nultočke funkcije su $x = k π$ za $k \in Z .$

Graf funkcije tangens ne poprima ni minimum ni maksimum.

Zbog svojstva neparnosti tangensoida je centralnosimetrična s obzirom na ishodište.

Vertikalne asimptote su pravci $x = \frac{π}{2} + k π$ za $k \in Z .$

Graf funkcije raste na intervalima $⟨- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π⟩,$ $k \in Z .$

Zanimljivost

Neke elementarne funkcije se mogu prikazati kao beskonačni redovi potencija. Ti redovi služe za određivanje vrijednosti te funkcije do određene točnosti. Tako se funkcija tangens može prikazati kao Taylorov red:

$tg x = x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{15} x^{5} + \frac{17}{315} x^{7} + \frac{62}{2 835} x^{9} + . . .$ za $|x| < \frac{π}{2} .$

Primjer 3.

Nacrtajmo graf funkcije $f (x) = tg \frac{1}{2} x .$

Temeljni je period ove funkcije $T = \frac{π}{\frac{1}{2}} = 2 π .$ Nultočka je ove funkcije $0$ pa ćemo crtati graf funkcije na intervalu $[- π, π]$ (oko $0$ veličina intervala $2 π$ ).

Izaberimo u tablici nekoliko vrijednosti za $x$ iz intervala $[- π, π]$ . Potom odredimo pripadne vrijednosti tangensa, ucrtajmo točke u koordinatni sustav te ih povežimo u tangensoidu. Tu osnovnu granu "kopiramo" lijevo i desno u koordinatnom sustavu.

Graf funkcije f(x)=tg (0.5x)

Zadatak 1.

Nacrtajte graf funkcije $f (x) = tg (x - \frac{π}{3}) .$

...i na kraju

Povežite svojstva funkcije $f (x) = tg x$ s pripadnim grafičkim prikazom.

Nultočke su $k π, k \in Z .$	Tangensoida siječe os x u točkama $(k π, 0)$ za $k \in Z .$
Domena je $R \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in Z\} .$	Graf je centralnosimetričan s obzirom na ishodište.
Temeljni je period $π .$	Asimptote su $x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z .$
Na intervalu $⟨- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}⟩$ za $x_{1} < x_{2}$ vrijedi $f (x_{1}) < f (x_{2}) .$	Osnovna je grana tangensoide na intervalu $⟨- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}⟩ .$
Funkcija tangens je neparna $tg (- x) = - tg x .$	Graf funkcije raste na intervalu $⟨- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}⟩ .$

null