5.1 Graf i svojstva funkcije sinus

Grafički prikaz funkcije sinus pomoću brojevne kružnice

Točka na brojevnoj kružnici ima koordinate (

 

,

 

), pri čemu je $\alpha$ kut određen tom točkom.

$\cos \alpha$

$\sin \alpha$

null

null

Neka je $t$ proizvoljan realan broj. $T=E\left(t\right)$ njemu odgovarajuća

 

na brojevnoj kružnici. Tada je $T=($

 

,

 

$).$

$\cos t$

točka

$\sin t$

null

null

Vrijednost je funkcije kosinus

 

, a vrijednost je funkcije sinus

 

točke $T=E\left(t\right).$

ordinata

apscisa

null

null

Brojevi oblika $k\pi ,$ $k\in \mathrm{Z}$ nultočke su funkcije sinus.

Da

Ne

null

null

Maksimum funkcije sinus iznosi

,

a minimum je funkcije

.

null

null

Funkcija sinus maksimum poprima za

 

, a minimum za

 

za svaki $k\in \mathbf{Z}.$

$x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$

$x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$

null

null

Na intervalu od $⟨\frac{3\pi }{2},2\pi ⟩$ funkcija sinus

pada

raste

null

null

Na intervalu od $⟨\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}⟩$ funkcija sinus

pada

raste

null

null

Period je funkcije sinus:

$\pi$

$\frac{3\pi }{2}$

$2\pi$

null

null

Svojstva funkcije sinus

Funkcija $f\left(x\right)=\sin x$ ima sljedeća svojstva:

1. Nultočke funkcije brojevi su $k\pi ,k\in \mathrm{Z}.$
2. Za sve brojeve oblika $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathrm{Z}$ funkcija poprima maksimalnu vrijednost jednaku $1.$ Za sve brojeve oblika $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathrm{Z}$ funkcija poprima minimalnu vrijednost jednaku $-1.$
   
3. Period funkcije iznosi $2\pi .$
4. Tijek je funkcije na intervalu $\left[0,2\pi \right]$ sljedeći:

$x$	$0$		$\frac{\pi }{2}$		$\pi$		$\frac{3\pi }{2}$		$2\pi$
$\sin x$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$0$

Praktična vježba

Nacrtajte funkciju sinus pomoću sljedećih uputa:

• Nacrtajte brojevnu kružnicu.
• Podijelite luk kružnice u prvom kvadrantu na četiri, šest ili osam dijelova.
• Na isti broj dijelova podijelite inerval $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ brojevnog pravca.
• Prema priloženoj ilustraciji iscrtajte točke.
• Ponovite postupak za ostale kvadrante.

Grafički prikaz funkcije sinus pomoću tablice

Popunite tablicu.

$0.26$

$0.5$

$0.71$

$0.87$

$0.97$

$1$

null

Dio grafa

 

od pravca $x=\frac{\pi }{2}$

 

je dijelu grafa

 

od pravca $x=\frac{\pi }{2}.$

lijevo

desno

simetričan

null

null

Funkcija sinus je

neparnaparna ,

pa vrijedi $\sin \left(-x\right)=-\sin x$ za svaki realni $x.$ Neparne funkcije simetrične su s obzirom na

ishodištebilo koju točku Nacrtajte

dio grafa na intervalu $\left[-\pi ,0\right].$

null

null

Funkcija sinus je periodična s periodom:

$\pi$

$2\pi$

$\frac{\pi }{2}$

null

null

f(x) = A sin(bx + c) + d- amplituda, fazni pomak i temeljni period funkcije

Sinusoida

Graf funkcije $f\left(x\right)=A\sin \left(bx+c\right)+d$ nazivamo sinusoida.

Amplituda funkcije $f\left(x\right)=\sin x$ jednaka je

.

null

null

Ako je $0<\left|A\right|<1,$ onda je amplituda funkcije $f\left(x\right)=A\sin x$

većamanja od

amplitude funkcije $g\left(x\right)=\sin x.$

null

null

Ako je $\left|A\right|>1,$ onda je amplituda funkcije $f\left(x\right)=A\sin x$

većamanja od

amlitude funkcije $g\left(x\right)=\sin x.$

null

null

Promjena vrijednosti amplitude za funkciju $f\left(x\right)=A\sin x$ ima utjecaj na promjenu:

perioda funkcije

vrijednosti maksimuma funkcije

vrijednosti minimuma funkcije

koordinata nultočaka

null

null

Funkcija $f\left(x\right)=3\sin x$ maksimalnu vrijednost jednaku $3$ (na intervalu $\left[0,2\pi \right]$) postiže za: 

$\frac{\pi }{2}$

$\pi$

$\frac{3\pi }{2}$

null

null

Promjena koeficijenta $b$ utječe na promjenu amplitude funkcije $f\left(x\right)=A\sin \left(bx\right).$

Da

Ne

null

null

Promjena koeficijenta $b$ utječe na promjenu perioda funkcije $f\left(x\right)=A\sin \left(bx\right).$

Da

Ne

null

null

Period funkcije $f\left(x\right)=A\sin \left(bx\right)$ iznosi:

$2\pi$

$2b\pi$

$\frac{2\pi }{\left|b\right|}$  

null

Ako je $\left|b\right|>1,$ onda je period funkcije $f\left(x\right)=A\sin \left(bx\right)$

manjiveći od

perioda funkcije $g\left(x\right)=A\sin x.$

null

Ako je $0<\left|b\right|<1,$ period funkcije $f\left(x\right)=A\sin \left(bx\right)$

većimanji je

od perioda funkcije $g\left(x\right)=A\sin x.$

null

null

Promjena parametra $c$ u funkciji $f\left(x\right)=A\sin \left(bx+c\right)$ utječe na:

promjenu amplitude

promjenu perioda

pomak funkcije

null

null

Nultočke funkcije $f\left(x\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ na intervalu $\left[0,2\pi \right]$ iznose:

$\frac{3\pi }{4},$ $\frac{7\pi }{4}$

$\frac{5\pi }{4},$  $\frac{9\pi }{4}$

null

null

Pomak funkcije $f\left(x\right)=\sin \left(x+c\right)$ u odnosu na $f\left(x\right)=\sin x$ jednak je $-c.$

Da

Ne

null

null

Amplituda, period i pomak sinusoide

Graf funkcije $f\left(x\right)=A\sin \left(bx+c\right)$ skiciramo uz pomoć grafa $g\left(x\right)=\sin x.$

Za funkciju $f\left(x\right)=A\sin \left(bx+c\right)$ potrebno je odrediti amplitudu, period i pomak.

1. Maksimalna tj. minimalna vrijednost funkcije jednaka je $A,$ tj. $-A,$ pa se graf funkcije nalazi između pravaca $y=A$ i $y=-A.$
2. Period funkcije jednak je $\frac{2\pi }{\left|b\right|},$ a nultočke se nalaze na početku i na kraju tog intervala i u polovištu.
3. Nultočke funkcije rješenje su jednadžbe $A\sin \left(bx+c\right)=0.$
   $x=\frac{k\pi -c}{b},k=0,\pm 1,\pm 2,...$
   Za $k=0$ dobijemo $x_0=-\frac{c}{b},$ što je pomak funkcije.

Kolekcija zadataka #1

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Odredite period funkcije $f\left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}x\right).$

Rješenje

$b=\frac{\pi }{6}$

$P=\frac{2\pi }{b}=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{6}}=\frac{12\pi }{\pi }=12$

---

Skicirajte graf funkcije

$g\left(x\right)=\sin 2x.$

Rješenje

---

Odredite pomak funkcije $f\left(x\right)=2\sin \left(\frac{\pi }{10}x-\frac{\pi }{5}\right).$

Rješenje

$x_0=-\frac{c}{b}=-\frac{-\frac{\pi }{5}}{\frac{\pi }{10}}=2$

---

Odredite funkciju čiji je graf prikazan na slici.

Rješenje

$f\left(x\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$

---

Odredite minimum i maksimum funkcije $f\left(x\right)=\sin \left(x+\pi \right)+2.$

Rješenje

Maksimum je funkcije 3, a minimum 1.

---

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak