Bijela svjetlost, poput sunčeve svjetlosti, zapravo nije bijela. Unutar bijele svjetlosti nalazi se spektar duginih boja u obliku valova. Pojedinačne se boje vide se kad bijela svjetlost prolazi kroz optičku prizmu koja razdvaja valove prema njihovoj valnoj duljini i tvori dugu. Svjetlosni valovi mogu se prikazati grafom funkcije sinus.
Funkciju sinus definirali smo pomoću brojevne kružnice. Podsjetimo se definicije funkcije sinus.
Točka na brojevnoj kružnici ima koordinate (
Neka je tt proizvoljan realan broj. T=E(t)T=E(t) njemu odgovarajuća
Vrijednost je funkcije kosinus
Možemo li pomoću definicije nacrtati graf funkcije sinus?
Pogledajte sljedeću simulaciju.
Točka
CC na kružnici je pomična. Pomicanjem točke
CC točka
FF ostavljat će trag. Taj je trag graf funkcije sinus. Svaka točka na tom grafu ima koordinate
(x,sinx).(x,sinx).
Pomoću simulacije pokušajte odgovoriti na niz pitanja o ponašanju grafa funkcije sinus.
Brojevi oblika
kπ,kπ,
k∈Zk∈Z nultočke su funkcije sinus.
Funkcija sinus maksimum poprima za
Na intervalu od
⟨3π2,2π⟩⟨3π2,2π⟩ funkcija sinus
Na intervalu od
⟨π2,3π2⟩⟨π2,3π2⟩ funkcija sinus
Period je funkcije sinus:
Svojstva funkcije sinus
Funkcija f(x)=sinxf(x)=sinx ima sljedeća svojstva:
- Nultočke funkcije brojevi su kπ,k∈Z.kπ,k∈Z.
- Za sve brojeve oblika x=π2+2kπ,k∈Zx=π2+2kπ,k∈Z funkcija poprima maksimalnu vrijednost jednaku 1.1. Za sve brojeve oblika x=3π2+2kπ,k∈Zx=3π2+2kπ,k∈Z funkcija poprima minimalnu vrijednost jednaku -1.−1.
- Period funkcije iznosi 2π.2π.
- Tijek je funkcije na intervalu [0,2π][0,2π] sljedeći:
xx 00 π2π2 ππ 3π23π2 2π2π sinxsinx 00 ↗↗ 11 ↘↘ 00 ↘↘ -1−1 ↗↗ 00
Odredite je li funkcija f(x)=sinxf(x)=sinx na intervalu [19π2,10π][19π2,10π]rastuća ili padajuća.
Ponašanje funkcije jednako je onom na intervalu
[3π2,2π][3π2,2π] pa je funkcija na tom dijelu rastuća.
Nacrtajte funkciju sinus pomoću sljedećih uputa:
Graf funkcije sinus možemo nacrtati koristeći njezina svojstva.
Popunite tablicu.
Vrijednosti iz tablice ucrtajte u koordinatni sustav i povežite glatkom krivuljom. Nacrtali ste prvi dio krivulje.
Sada se prisjetimo identiteta sin(π2-α)=sin(π2+α),sin(π2−α)=sin(π2+α), α>0.α>0.
Kako nam to pomaže pri crtanja grafa?
Vrijednosti funkcije sinus podudaraju se za različite argumente.
Dio grafa
Sada nacrtajte dio grafa od π2π2 do ππ koristeći se simetrijom.
Kako izgleda funkcija sinus lijevo od točke (0,0)?(0,0)?
Sjetimo se još jednog svojstva funkcije sinus.
Funkcija sinus je
Funkcija sinus je periodična s periodom:
Već smo nacrtali funkciju sinus u intervalu [-π,π].[−π,π]. Zbog njezine periodičnosti, možemo nacrtati i ostatak.
Sinusoida
Graf funkcije f(x)=Asin(bx+c)+df(x)=Asin(bx+c)+d nazivamo sinusoida.
U sljedećoj simulaciji proučite graf funkcije
f(x)=Asinx,f(x)=Asinx, pri čemu je
AA pozitivna konstanta koju zovemo amplituda.
Mijenjajući koeficijent
AA pokušajte pronaći odgovor na pitanja.
Ako je 0<|A|<1,0<|A|<1, onda je amplituda funkcije f(x)=Asinxf(x)=Asinx
Ako je |A|>1,|A|>1, onda je amplituda funkcije f(x)=Asinxf(x)=Asinx
Promjena vrijednosti amplitude za funkciju
f(x)=Asinxf(x)=Asinx ima utjecaj na promjenu:
Funkcija
f(x)=3sinxf(x)=3sinx maksimalnu vrijednost jednaku
33 (na intervalu
[0,2π][0,2π]) postiže za:
U sljedećoj simulaciji pogledajte graf funkcije
f(x)=Asin(bx),f(x)=Asin(bx), pri čemu je
bb kružna frekvencija, te odgovorite na pitanja.
Promjena koeficijenta
bb utječe na promjenu amplitude funkcije
f(x)=Asin(bx).f(x)=Asin(bx).
Promjena koeficijenta
bb utječe na promjenu perioda funkcije
f(x)=Asin(bx).f(x)=Asin(bx).
Period funkcije
f(x)=Asin(bx)f(x)=Asin(bx) iznosi:
Ako je |b|>1,|b|>1, onda je period funkcije f(x)=Asin(bx)f(x)=Asin(bx)
Ako je 0<|b|<1,0<|b|<1, period funkcije f(x)=Asin(bx)f(x)=Asin(bx)
Zadana je funkcija f(x)=Asin(bx+c),f(x)=Asin(bx+c), pr čemu koeficijent cc zovemo fazni pomak.
Kroz simulaciju usporedbe funkcije f(x)=Asin(bx+c)f(x)=Asin(bx+c) i g(x)=sinxg(x)=sinx proučite sličnosti i razlike ovih dvaju grafova te odgovorite na pitanja.
Promjena parametra
cc u funkciji
f(x)=Asin(bx+c)f(x)=Asin(bx+c) utječe na:
Nultočke funkcije f(x)=sin(x+π4)f(x)=sin(x+π4) na intervalu [0,2π][0,2π] iznose:
Pomak funkcije
f(x)=sin(x+c)f(x)=sin(x+c) u odnosu na
f(x)=sinxf(x)=sinx jednak je
-c.−c.
Amplituda, period i pomak sinusoide
Graf funkcije f(x)=Asin(bx+c)f(x)=Asin(bx+c) skiciramo uz pomoć grafa g(x)=sinx.g(x)=sinx.
Za funkciju f(x)=Asin(bx+c)f(x)=Asin(bx+c) potrebno je odrediti amplitudu, period i pomak.
- Maksimalna tj. minimalna vrijednost funkcije jednaka je A,A, tj. -A,−A, pa se graf funkcije nalazi između pravaca y=Ay=A i y=-A.y=−A.
- Period funkcije jednak je 2π|b|,2π|b|, a nultočke se nalaze na početku i na kraju tog intervala i u polovištu.
- Nultočke funkcije rješenje su jednadžbe Asin(bx+c)=0.Asin(bx+c)=0.
x=kπ-cb,k=0,±1,±2,...x=kπ−cb,k=0,±1,±2,...
Za k=0k=0 dobijemo x0=-cb,x0=−cb, što je pomak funkcije.
Istražite kako na graf funkcije f(x)=Asin(bx+c)+df(x)=Asin(bx+c)+d utječe parametar d.d.
Parametar
dd određuje pomak grafa funkcije po osi
yy, tj. vertikalni pomak.
Pogledajte sada kako pomoću svega što smo naučili skicirati graf funkcije
f(x)=2sin(x-π2).f(x)=2sin(x−π2).
Sinusoidom možemo prikazati promjene kod različitih pojava:
Prema mjerenjima broj sati dnevne svjetlosti nekog području 21. lipnja 2016. godine bio je 17,48 sati, a broj sati dnevnog svjetla 21. prosinca 2016. godine bio je 7,08 sati.
Odredite sinusoidni model za broj sati dnevne svjetlosti
yy u 2016. kao funkcije vremena
t.
Funkcija je
y(t)=5.2sin(π6t+2π3)+12.28.