Bijela svjetlost, poput sunčeve svjetlosti, zapravo nije bijela. Unutar bijele svjetlosti nalazi se spektar duginih boja u obliku valova. Pojedinačne se boje vide se kad bijela svjetlost prolazi kroz optičku prizmu koja razdvaja valove prema njihovoj valnoj duljini i tvori dugu. Svjetlosni valovi mogu se prikazati grafom funkcije sinus.
Funkciju sinus definirali smo pomoću brojevne kružnice. Podsjetimo se definicije funkcije sinus.
Točka na brojevnoj kružnici ima koordinate (
Neka je t proizvoljan realan broj. T=E(t) njemu odgovarajuća
Vrijednost je funkcije kosinus
Možemo li pomoću definicije nacrtati graf funkcije sinus?
Pogledajte sljedeću simulaciju.
Točka
C na kružnici je pomična. Pomicanjem točke
C točka
F ostavljat će trag. Taj je trag graf funkcije sinus. Svaka točka na tom grafu ima koordinate
(x,sinx).
Pomoću simulacije pokušajte odgovoriti na niz pitanja o ponašanju grafa funkcije sinus.
Brojevi oblika
kπ,
k∈Z nultočke su funkcije sinus.
Funkcija sinus maksimum poprima za
Na intervalu od
⟨3π2,2π⟩ funkcija sinus
Na intervalu od
⟨π2,3π2⟩ funkcija sinus
Period je funkcije sinus:
Svojstva funkcije sinus
Funkcija f(x)=sinx ima sljedeća svojstva:
- Nultočke funkcije brojevi su kπ,k∈Z.
- Za sve brojeve oblika x=π2+2kπ,k∈Z funkcija poprima maksimalnu vrijednost jednaku 1. Za sve brojeve oblika x=3π2+2kπ,k∈Z funkcija poprima minimalnu vrijednost jednaku −1.
- Period funkcije iznosi 2π.
- Tijek je funkcije na intervalu [0,2π] sljedeći:
x 0 π2 π 3π2 2π sinx 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ −1 ↗ 0
Odredite je li funkcija f(x)=sinx na intervalu [19π2,10π]rastuća ili padajuća.
Ponašanje funkcije jednako je onom na intervalu
[3π2,2π] pa je funkcija na tom dijelu rastuća.
Nacrtajte funkciju sinus pomoću sljedećih uputa:
Graf funkcije sinus možemo nacrtati koristeći njezina svojstva.
Popunite tablicu.
Vrijednosti iz tablice ucrtajte u koordinatni sustav i povežite glatkom krivuljom. Nacrtali ste prvi dio krivulje.
Sada se prisjetimo identiteta sin(π2−α)=sin(π2+α), α>0.
Kako nam to pomaže pri crtanja grafa?
Vrijednosti funkcije sinus podudaraju se za različite argumente.
Dio grafa
Sada nacrtajte dio grafa od π2 do π koristeći se simetrijom.
Kako izgleda funkcija sinus lijevo od točke (0,0)?
Sjetimo se još jednog svojstva funkcije sinus.
Funkcija sinus je
Funkcija sinus je periodična s periodom:
Već smo nacrtali funkciju sinus u intervalu [−π,π]. Zbog njezine periodičnosti, možemo nacrtati i ostatak.
Sinusoida
Graf funkcije f(x)=Asin(bx+c)+d nazivamo sinusoida.
U sljedećoj simulaciji proučite graf funkcije
f(x)=Asinx, pri čemu je
A pozitivna konstanta koju zovemo amplituda.
Mijenjajući koeficijent
A pokušajte pronaći odgovor na pitanja.
Ako je 0<|A|<1, onda je amplituda funkcije f(x)=Asinx
Ako je |A|>1, onda je amplituda funkcije f(x)=Asinx
Promjena vrijednosti amplitude za funkciju
f(x)=Asinx ima utjecaj na promjenu:
Funkcija
f(x)=3sinx maksimalnu vrijednost jednaku
3 (na intervalu
[0,2π]) postiže za:
U sljedećoj simulaciji pogledajte graf funkcije
f(x)=Asin(bx), pri čemu je
b kružna frekvencija, te odgovorite na pitanja.
Promjena koeficijenta
b utječe na promjenu amplitude funkcije
f(x)=Asin(bx).
Promjena koeficijenta
b utječe na promjenu perioda funkcije
f(x)=Asin(bx).
Period funkcije
f(x)=Asin(bx) iznosi:
Ako je |b|>1, onda je period funkcije f(x)=Asin(bx)
Ako je 0<|b|<1, period funkcije f(x)=Asin(bx)
Zadana je funkcija f(x)=Asin(bx+c), pr čemu koeficijent c zovemo fazni pomak.
Kroz simulaciju usporedbe funkcije f(x)=Asin(bx+c) i g(x)=sinx proučite sličnosti i razlike ovih dvaju grafova te odgovorite na pitanja.
Promjena parametra
c u funkciji
f(x)=Asin(bx+c) utječe na:
Nultočke funkcije f(x)=sin(x+π4) na intervalu [0,2π] iznose:
Pomak funkcije
f(x)=sin(x+c) u odnosu na
f(x)=sinx jednak je
−c.
Amplituda, period i pomak sinusoide
Graf funkcije f(x)=Asin(bx+c) skiciramo uz pomoć grafa g(x)=sinx.
Za funkciju f(x)=Asin(bx+c) potrebno je odrediti amplitudu, period i pomak.
- Maksimalna tj. minimalna vrijednost funkcije jednaka je A, tj. −A, pa se graf funkcije nalazi između pravaca y=A i y=−A.
- Period funkcije jednak je 2π|b|, a nultočke se nalaze na početku i na kraju tog intervala i u polovištu.
- Nultočke funkcije rješenje su jednadžbe Asin(bx+c)=0.
x=kπ−cb,k=0,±1,±2,...
Za k=0 dobijemo x0=−cb, što je pomak funkcije.
Istražite kako na graf funkcije f(x)=Asin(bx+c)+d utječe parametar d.
Parametar
d određuje pomak grafa funkcije po osi
y, tj. vertikalni pomak.
Pogledajte sada kako pomoću svega što smo naučili skicirati graf funkcije
f(x)=2sin(x−π2).
Sinusoidom možemo prikazati promjene kod različitih pojava:
Prema mjerenjima broj sati dnevne svjetlosti nekog području 21. lipnja 2016. godine bio je 17,48 sati, a broj sati dnevnog svjetla 21. prosinca 2016. godine bio je 7,08 sati.
Odredite sinusoidni model za broj sati dnevne svjetlosti
y u 2016. kao funkcije vremena
t.
Funkcija je
y(t)=5.2sin(π6t+2π3)+12.28.