Matematika 3 - 5.1 Graf i svojstva funkcije sinus

Grafički prikaz funkcije sinus pomoću brojevne kružnice

Funkciju sinus definirali smo pomoću brojevne kružnice. Podsjetimo se definicije funkcije sinus.

Točka na brojevnoj kružnici ima koordinate (

), pri čemu je

α

$α$ kut određen tom točkom.

cos α

$\cos α$

sin α

$\sin α$

null

Neka je $t$ $t$ proizvoljan realan broj. $T = E (t)$ $T = E (t)$ njemu odgovarajuća

na brojevnoj kružnici. Tada je

T = (

$T = ($

) .

$) .$

cos t

$\cos t$

točka

sin t

$\sin t$

null

Vrijednost je funkcije kosinus

, a vrijednost je funkcije sinus

točke

T = E (t) .

$T = E (t) .$

ordinata

apscisa

null

Možemo li pomoću definicije nacrtati graf funkcije sinus?

Pogledajte sljedeću simulaciju.

Točka $C$ $C$ na kružnici je pomična. Pomicanjem točke $C$ $C$ točka $F$ $F$ ostavljat će trag. Taj je trag graf funkcije sinus. Svaka točka na tom grafu ima koordinate $(x, sin x) .$ $(x, \sin x) .$

Pomoću simulacije pokušajte odgovoriti na niz pitanja o ponašanju grafa funkcije sinus.

Brojevi oblika $k π,$ $k π,$ $k \in Z$ $k \in Z$ nultočke su funkcije sinus.

null

Maksimum funkcije sinus iznosi

a minimum je funkcije

null

Funkcija sinus maksimum poprima za

, a minimum za

za svaki

k \in Z .

$k \in Z .$

x = \frac{π}{2} + 2 k π

$x = \frac{π}{2} + 2 k π$

x = \frac{3 π}{2} + 2 k π

$x = \frac{3 π}{2} + 2 k π$

null

Na intervalu od $⟨ \frac{3 π}{2}, 2 π ⟩$ $⟨\frac{3 π}{2}, 2 π⟩$ funkcija sinus

pada

raste

null

Na intervalu od $⟨ \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} ⟩$ $⟨\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}⟩$ funkcija sinus

pada

raste

null

Period je funkcije sinus:

π

$π$

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

2 π

$2 π$

null

Svojstva funkcije sinus

Funkcija $f (x) = sin x$ $f (x) = \sin x$ ima sljedeća svojstva:

Nultočke funkcije brojevi su $k π, k \in Z .$ $k π, k \in Z .$

Za sve brojeve oblika $x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$ $x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$ funkcija poprima maksimalnu vrijednost jednaku $1 .$ $1 .$ Za sve brojeve oblika $x = \frac{3 π}{2} + 2 k π, k \in Z$ $x = \frac{3 π}{2} + 2 k π, k \in Z$ funkcija poprima minimalnu vrijednost jednaku $- 1.$ $- 1.$

Period funkcije iznosi $2 π .$ $2 π .$

Tijek je funkcije na intervalu $[0, 2 π]$ $[0, 2 π]$ sljedeći:

$x$ $x$ $0$ $0$ $\frac{π}{2}$ $\frac{π}{2}$ $π$ $π$ $\frac{3 π}{2}$ $\frac{3 π}{2}$ $2 π$ $2 π$

$sin x$ $\sin x$ $0$ $0$ $↗$ $↗$ $1$ $1$ $↘$ $↘$ $0$ $0$ $↘$ $↘$ $- 1$ $- 1$ $↗$ $↗$ $0$ $0$

Zadatak 1.

Odredite je li funkcija $f (x) = sin x$ $f (x) = \sin x$ na intervalu $[\frac{19 π}{2}, 10 π]$ $[\frac{19 π}{2}, 10 π]$ rastuća ili padajuća.

Ponašanje funkcije jednako je onom na intervalu $[\frac{3 π}{2}, 2 π]$ $[\frac{3 π}{2}, 2 π]$ pa je funkcija na tom dijelu rastuća.

Praktična vježba

Nacrtajte funkciju sinus pomoću sljedećih uputa:

Nacrtajte brojevnu kružnicu.
Podijelite luk kružnice u prvom kvadrantu na četiri, šest ili osam dijelova.
Na isti broj dijelova podijelite inerval $[0, \frac{π}{2}]$ $[0, \frac{π}{2}]$ brojevnog pravca.
Prema priloženoj ilustraciji iscrtajte točke.
Ponovite postupak za ostale kvadrante.

Skiciranje grafa funkcije sinus uz pomoć brojevne kružnice — Skica grafičkog prikaza funkcije sinus uz pomoć brojevne kružnice

Grafički prikaz funkcije sinus pomoću tablice

Graf funkcije sinus možemo nacrtati koristeći njezina svojstva.

Popunite tablicu.

Crtanje grafa funkcije sinus uz pomoć brojevne kružnice

0.26

$0.26$

0.5

$0.5$

0.71

$0.71$

0.87

$0.87$

0.97

$0.97$

1

$1$

null

Vrijednosti iz tablice ucrtajte u koordinatni sustav i povežite glatkom krivuljom. Nacrtali ste prvi dio krivulje.

Sada se prisjetimo identiteta $sin (\frac{π}{2} - α) = sin (\frac{π}{2} + α),$ $\sin (\frac{π}{2} - α) = \sin (\frac{π}{2} + α),$ $α > 0 .$ $α > 0 .$

Kako nam to pomaže pri crtanja grafa?

Vrijednosti funkcije sinus podudaraju se za različite argumente.

Dio grafa

od pravca

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

je dijelu grafa

od pravca

x = \frac{π}{2} .

$x = \frac{π}{2} .$

lijevo

desno

simetričan

null

Sada nacrtajte dio grafa od $\frac{π}{2}$ $\frac{π}{2}$ do $π$ $π$ koristeći se simetrijom.

Kako izgleda funkcija sinus lijevo od točke $(0, 0) ?$ $(0, 0) ?$

Sjetimo se još jednog svojstva funkcije sinus.

Funkcija sinus je

pa vrijedi

sin (- x) = - sin x

$\sin (- x) = - \sin x$ za svaki realni $x .$ $x .$ Neparne funkcije simetrične su s obzirom na

Nacrtajte

dio grafa na intervalu

[- π, 0] .

$[- π, 0] .$

null

Funkcija sinus je periodična s periodom:

π

$π$

2 π

$2 π$

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

null

Već smo nacrtali funkciju sinus u intervalu $[- π, π] .$ $[- π, π] .$ Zbog njezine periodičnosti, možemo nacrtati i ostatak.

Crtanje grafa funkcije sinus uz pomoć tablice — Graf funkcije sinus

f(x) = A sin(bx + c) + d- amplituda, fazni pomak i temeljni period funkcije

Sinusoida

Graf funkcije $f (x) = A sin (b x + c) + d$ $f (x) = A \sin (b x + c) + d$ nazivamo sinusoida.

U sljedećoj simulaciji proučite graf funkcije $f (x) = A sin x,$ $f (x) = A \sin x,$ pri čemu je $A$ $A$ pozitivna konstanta koju zovemo amplituda.

Mijenjajući koeficijent $A$ $A$ pokušajte pronaći odgovor na pitanja.

Amplituda funkcije

f (x) = sin x

$f (x) = \sin x$ jednaka je

null

Ako je $0 < | A | < 1,$ $0 < |A| < 1,$ onda je amplituda funkcije $f (x) = A sin x$ $f (x) = A \sin x$

amplitude funkcije

g (x) = sin x .

$g (x) = \sin x .$

null

Ako je $| A | > 1,$ $|A| > 1,$ onda je amplituda funkcije $f (x) = A sin x$ $f (x) = A \sin x$

amlitude funkcije

g (x) = sin x .

$g (x) = \sin x .$

null

Promjena vrijednosti amplitude za funkciju $f (x) = A sin x$ $f (x) = A \sin x$ ima utjecaj na promjenu:

perioda funkcije

vrijednosti maksimuma funkcije

vrijednosti minimuma funkcije

koordinata nultočaka

null

Funkcija $f (x) = 3 sin x$ $f (x) = 3 \sin x$ maksimalnu vrijednost jednaku $3$ $3$ (na intervalu $[0, 2 π]$ $[0, 2 π]$ ) postiže za:

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

π

$π$

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

null

U sljedećoj simulaciji pogledajte graf funkcije $f (x) = A sin (b x),$ $f (x) = A \sin (b x),$ pri čemu je $b$ $b$ kružna frekvencija, te odgovorite na pitanja.

Promjena koeficijenta $b$ $b$ utječe na promjenu amplitude funkcije $f (x) = A sin (b x) .$ $f (x) = A \sin (b x) .$

null

Promjena koeficijenta $b$ $b$ utječe na promjenu perioda funkcije $f (x) = A sin (b x) .$ $f (x) = A \sin (b x) .$

null

Period funkcije $f (x) = A sin (b x)$ $f (x) = A \sin (b x)$ iznosi:

2 π

$2 π$

2 b π

$2 b π$

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{|b|}$

null

Ako je $| b | > 1,$ $|b| > 1,$ onda je period funkcije $f (x) = A sin (b x)$ $f (x) = A \sin (b x)$

perioda funkcije

g (x) = A sin x .

$g (x) = A \sin x .$

null

Ako je $0 < | b | < 1,$ $0 < |b| < 1,$ period funkcije $f (x) = A sin (b x)$ $f (x) = A \sin (b x)$

od perioda funkcije

g (x) = A sin x .

$g (x) = A \sin x .$

null

Zadana je funkcija $f (x) = A sin (b x + c),$ $f (x) = A \sin (b x + c),$ pr čemu koeficijent $c$ $c$ zovemo fazni pomak.

Kroz simulaciju usporedbe funkcije $f (x) = A sin (b x + c)$ $f (x) = A \sin (b x + c)$ i $g (x) = sin x$ $g (x) = \sin x$ proučite sličnosti i razlike ovih dvaju grafova te odgovorite na pitanja.

Promjena parametra $c$ $c$ u funkciji $f (x) = A sin (b x + c)$ $f (x) = A \sin (b x + c)$ utječe na:

promjenu amplitude

promjenu perioda

pomak funkcije

null

Nultočke funkcije $f (x) = sin (x + \frac{π}{4})$ $f (x) = \sin (x + \frac{π}{4})$ na intervalu $[0, 2 π]$ $[0, 2 π]$ iznose:

\frac{3 π}{4},

$\frac{3 π}{4},$

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$

\frac{5 π}{4},

$\frac{5 π}{4},$

\frac{9 π}{4}

$\frac{9 π}{4}$

null

Pomak funkcije $f (x) = sin (x + c)$ $f (x) = \sin (x + c)$ u odnosu na $f (x) = sin x$ $f (x) = \sin x$ jednak je $- c .$ $- c .$

null

Amplituda, period i pomak sinusoide

Graf funkcije $f (x) = A sin (b x + c)$ $f (x) = A \sin (b x + c)$ skiciramo uz pomoć grafa $g (x) = sin x .$ $g (x) = \sin x .$

Za funkciju $f (x) = A sin (b x + c)$ $f (x) = A \sin (b x + c)$ potrebno je odrediti amplitudu, period i pomak.

Maksimalna tj. minimalna vrijednost funkcije jednaka je $A,$ $A,$ tj. $- A,$ $- A,$ pa se graf funkcije nalazi između pravaca $y = A$ $y = A$ i $y = - A .$ $y = - A .$

Period funkcije jednak je $\frac{2 π}{| b |},$ $\frac{2 π}{|b|},$ a nultočke se nalaze na početku i na kraju tog intervala i u polovištu.

Nultočke funkcije rješenje su jednadžbe $A sin (b x + c) = 0 .$ $A \sin (b x + c) = 0 .$
$x = \frac{k π - c}{b}, k = 0, \pm 1, \pm 2, . . .$ $x = \frac{k π - c}{b}, k = 0, \pm 1, \pm 2, . . .$
Za $k = 0$ $k = 0$ dobijemo $x_{0} = - \frac{c}{b},$ $x_{0} = - \frac{c}{b},$ što je pomak funkcije.

Zadatak 2.

Istražite kako na graf funkcije $f (x) = A sin (b x + c) + d$ $f (x) = A \sin (b x + c) + d$ utječe parametar $d .$ $d .$

Parametar $d$ $d$ određuje pomak grafa funkcije po osi $y$ $y$ , tj. vertikalni pomak.

Pogledajte sada kako pomoću svega što smo naučili skicirati graf funkcije $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{2}) .$ $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{2}) .$

00:00

Kolekcija zadataka #1

Odredite period funkcije $f (x) = sin (\frac{π}{6} x) .$ $f (x) = \sin (\frac{π}{6} x) .$

$b = \frac{π}{6}$ $b = \frac{π}{6}$

$P = \frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{\frac{π}{6}} = \frac{12 π}{π} = 12$ $P = \frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{\frac{π}{6}} = \frac{12 π}{π} = 12$

Skicirajte graf funkcije

$g (x) = sin 2 x .$ $g (x) = \sin 2 x .$

Odredite pomak funkcije $f (x) = 2 sin (\frac{π}{10} x - \frac{π}{5}) .$ $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{10} x - \frac{π}{5}) .$

$x_{0} = - \frac{c}{b} = - \frac{- \frac{π}{5}}{\frac{π}{10}} = 2$ $x_{0} = - \frac{c}{b} = - \frac{- \frac{π}{5}}{\frac{π}{10}} = 2$

Odredite funkciju čiji je graf prikazan na slici.

$f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{2})$ $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{2})$

Odredite minimum i maksimum funkcije $f (x) = sin (x + π) + 2 .$ $f (x) = \sin (x + π) + 2 .$

Maksimum je funkcije 3, a minimum 1.

...i na kraju

Sinusoidom možemo prikazati promjene kod različitih pojava:

gibanje točke na kotaču
gibanje na opruzi
rad srčanog mišića
duljine dana kroz godišnja doba
ovisnost populacija grabežljivaca i plijena
...

Duljina vremena između izlaska i zalaska sunca tijekom godine može se opisati sinusoidom. — Zalazak sunca

Zadatak 3.

Prema mjerenjima broj sati dnevne svjetlosti nekog području 21. lipnja 2016. godine bio je 17,48 sati, a broj sati dnevnog svjetla 21. prosinca 2016. godine bio je 7,08 sati.

Odredite sinusoidni model za broj sati dnevne svjetlosti $y$ $y$ u 2016. kao funkcije vremena $t .$

$17.48 - 7.08 = 10.4,$ pa je amplituda jednaka $5.2 .$
Vertikalni pomak je $7.08 + 5.2 = 12.28 .$
Period je 12 mjeseci, pa je $b = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6} .$
Fazni pomak je $\frac{2 π}{3} .$

Funkcija je $y (t) = 5.2 \sin (\frac{π}{6} t + \frac{2 π}{3}) + 12.28 .$

$x$ $x$	$0$ $0$		$\frac{π}{2}$ $\frac{π}{2}$		$π$ $π$		$\frac{3 π}{2}$ $\frac{3 π}{2}$		$2 π$ $2 π$
$sin x$ $\sin x$	$0$ $0$	$↗$ $↗$	$1$ $1$	$↘$ $↘$	$0$ $0$	$↘$ $↘$	$- 1$ $- 1$	$↗$ $↗$	$0$ $0$

Na početku...

Grafički prikaz funkcije sinus pomoću brojevne kružnice

Svojstva funkcije sinus

Zadatak 1.

Praktična vježba

Grafički prikaz funkcije sinus pomoću tablice

f(x) = A sin(bx + c) + d- amplituda, fazni pomak i temeljni period funkcije

Sinusoida

Amplituda, period i pomak sinusoide

Zadatak 2.

Kolekcija zadataka #1

...i na kraju

Zadatak 3.