Processing math: 100%
x
Učitavanje

4.2 Definicije funkcija sinus i kosinus

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica

Na početku...

00:00
00:00

Prisjetimo se definicija trigonometrijskih funkcija za šiljaste kutove.

  1. Sinus šiljastog kuta u pravokutnom trokutu definiramo kao omjer
    i
    .

  2. Kosinus šiljastog kuta definiramo kao omjer
    i
    .

  3. Tangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu jednak je omjeru
    i
    .

  4. Kotangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu jednak je omjeru
    i
    .
null
null

A što je s tupim kutovima? Možemo li odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija za kutove veće ili jednake 90° i manje ili jednake 0°?

Definicije funkcija sinus i kosinus

Istražimo

Pogledajmo brojevnu kružnicu.

Uočite pravokutni trokut OTT1. Odgovorite na sljedeća pitanja.

Brojevna kružnica
Brojevna kružnica

sin α definiramo kao

točke
T. cos α definiramo kao
točke T.
null
null

Definicija sinusa i kosinusa pomoću kuta u stupnjevima

Točka na brojevnoj kružnici ima koordinate (cosα,sinα), pri čemu je α kut određen tom točkom.

Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću stupnjeva
Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću stupnjeva

Sinus i kosinus možemo odrediti i za realne brojeve.

Definicija sinusa i kosinusa realnog broja

Neka je t po volji realan broj, a T=E(t) njemu odgovarajuća točka na brojevnoj kružnici. Tada je T=(cost,sint). Vrijednost funkcije kosinus jest apscisa, a vrijednost funkcije sinus jest ordinata točke T=E(t).

Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću radijana
Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću radijana

Zanimljivost

Funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens zovu se trigonometrijske funkcije. Trigonometrijske funkcije nazivaju se još kružne ili cirkularne funkcije.

Funkciju sin:RR koja broju tR pridružuje broj sintR nazivamo sinus, a funkciju cos:RR koja broju tR pridružuje broj costR nazivamo kosinus.

Zadatak 1.

Za svaku je točku istaknuta vrijednost sinusa ili kosinusa broja. Pridruži vrijednosti istaknutim dužinama.

ŠAblona za unos točaka
sinπ3
cos54π
cos56π
sin74π
null
null

Primjer 1.

Na brojevnoj kružnici odredimo točku E(t) tako da je cost=13 sint>0.

Kosinus je apscisa točke E(t) . Na brojevnoj kružnici postoje dvije točke čiji je kosinus 13, ali iz uvjeta da je sint>0 odabrat ćemo onu koja se nalazi iznad osi x.


Kutovi za koje je kosinus 1/3
Kutovi za koje je kosinus jednak 1/3

Zadatak 2.

Na brojevnoj kružnici odredite točku E(t) tako da je sint=-14 i cost<0.

Sinus od -1/4
Sinus jednako -1/4

Pogledajmo koje vrijednosti poprimaju sinus i kosinus nekih istaknutih brojeva.

Primjer 2.

Odredimo na brojevnoj kružnici E(t) za t=π6.

Uočimo trokut OTT1. On čini pola jednakostraničnog trokuta pa je |TT1|=12, tj. pola duljine stranice tog trokuta, a |OT1| je visina tog trokuta. Stoga je sinπ6=12, a cosπ6=32.

Sinus i kosinus od Pi/6
Sinus i kosinus od Pi/6

Primjer 3.

Odredimo na brojevnoj kružnici E(t) za t=π3.

Uočimo trokut OTT1. On čini pola jednakostraničnog trokuta pa je |TT1| visina jednakostraničnog trokuta, a |OT1|=12 polovica je duljine stranice jednakostraničnog trokuta. Stoga je sinπ3=32, a cosπ3=12.

Sinus i kosinus od Pi/3
Sinus i kosinus od Pi/3

Primjer 4.

Odredimo na brojevnoj kružnici E(t) za t=π4.

Uočimo trokut OTT1. To je jednakokračni pravokutni trokut - polovina kvadrata s dijagonalom duljine 1. Budući da su katete jednakih duljina, slijedi da su vrijednosti sinusa i kosinusa jednake. Dijagonala kvadrata određuje se kao a2 pa je a=12·22=22. Stoga je sinπ4=22 i cosπ4=22.

Sinus i kosinus od Pi/4
Sinus i kosinus od Pi/4

Zadatak 3.

Prepišite zadatak na papir i riješite ga.

Popunite tablicu s vrijednostima sinusa i kosinusa za neke istaknute brojeve.

t 0 π6 π4 π3 π2
sint
cost
t 0 π6 π4 π3 π2
sint 0 12 22 32 1
cost 1 32 22 12 0

Istražimo

Pomičite točku T po kružnici i pogledajte kakve vrijednosti poprimaju sinus i kosinus.

  1. Mogu li vrijednosti sinusa biti veće od 1?

    null
    null
  2. Mogu li vrijednosti sinusa biti manje od -1?

    null
    null
  3. Mogu li vrijednosti kosinusa biti veće od 1?

    null
    null
  4. Mogu li vrijednosti kosinusa biti manje od -1?

    null
    null

Omeđenost sinusa i kosinusa

Za svaki realan broj t vrijedi

-1sint1,

-1cost1.

Razvrstajte jednakosti prema tome postoji li realan broj t koji zadovoljava jednakost ili ne postoji.

sint=-0.3

Postoji realan broj t koji zadovoljava jednakost.

Ne postoji realan broj t koji zadovoljava jednakost.

null
null

Zanimljivost

U nekim zemljama osim sinusa i kosinusa u upotrebi su još dvije funkcije. To su sekans, koji se definira kao secx=1cosx, i kosekans, koji iznosi cscx=1sinx.

Možemo li odrediti vrijednosti funkcija f(x)=sinx i g(x)=cosx za bilo koji x?

Primjer 5.

Odredimo sin416π i cos416π.

Svedemo li 416π na glavnu mjeru, dobijemo da je E(416π)=E(56π). Na brojevnoj kružnici ta se točka nalazi u 2. kvadrantu.

Pogledamo li vrijednosti sinusa i kosinusa, možemo uočiti da je sinus jednak sinusu broja π6, dok je kosinus suprotnog predznaka, ali iste apsolutne vrijednosti.

sin416π=sin56π=12

cos416π=cos56π=-32

Sinus i kosinus od 5Pi/6
Sinus i kosinus od 5Pi/6

Zadatak 4.

Odredite vrijednosti sin(-203π) i cos(-203π).

sin(-203π)=sin(-8π+43π)=sin(43π)=-sinπ3=-32

cos(-203π)=cos(-8π+43π)=cos(43π)=-cosπ3=-12


Domena funkcija sinus i kosinus

Domena obiju funkcija f(x)=sinx i g(x)=cosx jest cijeli skup R, a slika interval [-1,1].

Predznaci funkcija sinus i kosinus

Istražimo

Poigrajte se ponovno s točkom T na brojevnoj kružnici. Pratite kako se mijenjaju predznaci vrijednosti sinusa i kosinusa s obzirom na kvadrante.

  1. Za kutove u 1. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

    .
    Za kutove u 1. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
    .
    null
    null
  2. Za kutove u 2. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

    .
    Za kutove u 2. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
    .
    null
    null
  3. Za kutove u 3. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

    .
    Za kutove u 3. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
    .
    null
    null
  4. Za kutove u 4. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

    .
    Za kutove u 4. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
    .
    null
    null

Određivanje vrijednosti kuta

Primjer 6.

Odredimo kut čija je vrijednost sinusa 12.

Potražite rješenje pomičući točku T kružnice.

Možemo uočiti da na jediničnoj kružnici postoje 2 broja (2 kuta) čiji je sinus 12.

To su π6 i π-π6=56π. Prođemo li jedanput po kružnici, i brojevi 136π i 176π imaju isti sinus, krenemo li u suprotnom smjeru po kružnici, i brojevi -76π, -116π imaju sinus 12...

Sve moguće vrijednosti čiji je sinus 12 čine skup {π6+2kπ,56π+2kπ,kZ}. Prikažemo li kutove u stupnjevima, rješenje čini skup {30°+360°k,150°+360°k,kZ}.

Kutovi za koje je vrijednost sinusa 0.5
Kutovi za koje je vrijednost sinusa 0.5

Primjer 7.

Odredimo kut čija je vrijednost kosinusa 12.

Potražite rješenje pomičući točku T kružnice.

Možemo uočiti da na jediničnoj kružnici postoje 2 broja (2 kuta) čiji je kosinus 12.

To su π3 i 53π. Prođemo li jedanput po kružnici, i brojevi 73π i 113π imaju isti kosinus, krenemo li u suprotnom smjeru po kružnici, i brojevi -13π, -53π imaju kosinus 12 ...

Sve moguće vrijednosti čiji je kosinus 12 čine skup {π3+2kπ,53π+2kπ,kZ}. Ako kutove prikažemo u stupnjevima, rješenje čini skup {60°+360°k,300°+360°k,kZ}.

Kutovi za koje je vrijednost kosinusa 0.5
Kutovi za koje je vrijednost kosinusa 0.5

Zadatak 5.

Odredite sve kutove čiji je sinus 32.

{60°+360°k,120°+360°k,kZ}

{π3+2kπ,23π+2kπ, kZ}


Zadatak 6.

Odredite sve kutove čiji je kosinus 22.

{π4+2kπ,74π+2kπ,kZ}

{45°+360°k,315°+360°k,kZ}.


Veza između sinusa i kosinusa

Istražimo

Pogledajmo ponovno brojevnu kružnicu.

Uočite pravokutni trokut OTT1. Odgovorite na sljedeća pitanja.

Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću radijana
Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću radijana

Koje su jednakosti točne?

null
null

Temeljna veza između sinusa i kosinusa

Ako znamo vrijednost sinusa, možemo izračunati vrijednost kosinusa i obratno, iz poznate vrijednosti kosinusa možemo odrediti vrijednost sinusa pomoću formula:

sint=±1-cos2t

cost=±1-sin2t.

Predznak biramo prema kvadrantu u kojem se nalazi točka E(t).

Primjer 8.

Odredimo vrijednost sint ako je cost=-45, a kut t se nalazi u 3. kvadrantu.

sint=±1-cos2t=±1-(-45)2=±1-1625=±925=±35

Budući da se kut t nalazi u 3. kvadrantu, a vrijednosti sinusa u cijelom su kvadrantu negativne, kao rješenje uzimamo sint=-35.

Zadatak 7.

Odredite vrijednost cost ako je sint=2425, a kut t se nalazi u 2. kvadrantu.

cost=±1-sin2t=±1-(2425)2=±1-576625=±49625=±725

Budući da se kut t nalazi u 2. kvadrantu, a vrijednosti kosinusa u cijelom su kvadrantu negativne, kao rješenje uzimamo cos t=-725.


...i na kraju

Pogledajmo što smo naučili u ovoj jedinici.

00:00
00:00
Povratak na vrh