Neka je t po volji realan broj, a
T=E(t) njemu odgovarajuća točka na brojevnoj kružnici. Tada je
T=(cost,sint). Vrijednost funkcije kosinus jest apscisa, a vrijednost funkcije sinus jest ordinata točke
T=E(t).
Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću radijana
Zanimljivost
Funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens zovu se trigonometrijske funkcije. Trigonometrijske funkcije nazivaju se još kružne ili cirkularne funkcije.
Funkciju
sin:R→R koja broju
t∈R pridružuje broj
sint∈R nazivamo sinus, a funkciju
cos:R→R koja broju
t∈R pridružuje broj
cost∈R nazivamo kosinus.
Zadatak 1.
Za svaku je točku istaknuta vrijednost sinusa ili kosinusa broja. Pridruži vrijednosti istaknutim dužinama.
sinπ3
cos54π
cos56π
sin74π
null
null
Primjer 1.
Na brojevnoj kružnici odredimo točku E(t) tako da jecost=13 i sint>0.
Kosinus je apscisa točke E(t)
. Na brojevnoj kružnici postoje dvije točke čiji je kosinus 13, ali iz uvjeta da je
sint>0 odabrat ćemo onu koja se nalazi iznad osi x.
Kutovi za koje je kosinus 1/3
Zadatak 2.
Na brojevnoj kružnici odredite točku E(t) tako da je sint=-14 i cost<0.
Sinus od -1/4
Pogledajmo koje vrijednosti poprimaju sinus i kosinus nekih istaknutih brojeva.
Primjer 2.
Odredimo na brojevnoj kružnici
E(t) za
t=π6.
Uočimo trokut
OTT1. On čini pola jednakostraničnog trokuta pa je
|TT1|=12, tj. pola duljine stranice tog trokuta, a
|OT1| je visina tog trokuta. Stoga je
sinπ6=12, a
cosπ6=√32.
Sinus i kosinus od Pi/6
Primjer 3.
Odredimo na brojevnoj kružnici
E(t) za
t=π3.
Uočimo trokut
OTT1. On čini pola jednakostraničnog trokuta pa je
|TT1| visina jednakostraničnog trokuta, a
|OT1|=12 polovica je duljine stranice jednakostraničnog trokuta. Stoga je
sinπ3=√32, a
cosπ3=12.
Sinus i kosinus od Pi/3
Primjer 4.
Odredimo na brojevnoj kružnici
E(t) za
t=π4.
Uočimo trokut
OTT1. To je jednakokračni pravokutni trokut - polovina kvadrata s dijagonalom duljine 1. Budući da su katete jednakih duljina, slijedi da su vrijednosti sinusa i kosinusa jednake. Dijagonala kvadrata određuje se kao
a√2 pa je
a=1√2·√2√2=√22. Stoga je
sinπ4=√22 i
cosπ4=√22.
Sinus i kosinus od Pi/4
Zadatak 3.
Prepišite zadatak na papir i riješite ga.
Popunite tablicu s vrijednostima sinusa i kosinusa za neke istaknute brojeve.
t
0
π6
π4
π3
π2
sint
cost
t
0
π6
π4
π3
π2
sint
0
12
√22
√32
1
cost
1
√32
√22
12
0
Istražimo
Pomičite točku Tpo kružnici i pogledajte kakve vrijednosti poprimaju sinus i kosinus.
Razvrstajte jednakosti prema tome postoji li realan broj t koji zadovoljava jednakost ili ne postoji.
sint=-0.3
sint=π4
sint=-3.3
cost=-π2
cost=π3
cos t=1√3
Postoji
realan broj t
koji zadovoljava jednakost.
Ne postoji realan broj t koji zadovoljava jednakost.
null
null
Zanimljivost
U nekim zemljama osim sinusa i kosinusa u upotrebi su još dvije funkcije. To su sekans, koji se definira kao secx=1cosx, i kosekans, koji iznosi cscx=1sinx.
Možemo li odrediti vrijednosti funkcijaf(x)=sinx i g(x)=cosx za bilo koji x?
Primjer 5.
Odredimo
sin416π i
cos416π.
Svedemo li
416π na glavnu mjeru, dobijemo da je
E(416π)=E(56π). Na brojevnoj kružnici ta se točka nalazi u 2. kvadrantu.
Pogledamo li vrijednosti sinusa i kosinusa, možemo uočiti da je sinus jednak sinusu broja
π6, dok je kosinus suprotnog predznaka, ali iste apsolutne vrijednosti.
Domena obiju funkcija
f(x)=sinx i
g(x)=cosx jest cijeli skup R,a slika interval
[-1,1].
Predznaci funkcija sinus i kosinus
Istražimo
Poigrajte se ponovno s točkom Tna brojevnoj kružnici. Pratite kako se mijenjaju predznaci vrijednosti sinusa i kosinusa s obzirom na kvadrante.
Za kutove u 1. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su
.
Za kutove u 1. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
.
null
null
Za kutove u 2. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su
.
Za kutove u 2. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
.
null
null
Za kutove u 3. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su
.
Za kutove u 3. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
.
null
null
Za kutove u 4. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su
.
Za kutove u 4. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
.
null
null
Predznaci funkcija sinus i kosinus1/4
Predznaci funkcija sinus i kosinus2/4
Predznaci funkcija sinus i kosinus3/4
Predznaci funkcija sinus i kosinus4/4
Određivanje vrijednosti kuta
Primjer 6.
Odredimo kut čija je vrijednost sinusa
12.
Potražite rješenje pomičući točku
T kružnice.
Možemo uočiti da na jediničnoj kružnici postoje 2 broja (2 kuta) čiji je sinus
12.
To su
π6 i
π-π6=56π. Prođemo li jedanput po kružnici, i brojevi
136π i
176π imaju isti sinus, krenemo li u suprotnom smjeru po kružnici, i brojevi
-76π,-116π imaju sinus
12...
Sve moguće vrijednosti čiji je sinus
12 čine skup
{π6+2kπ,56π+2kπ,k∈Z}. Prikažemo li kutove u stupnjevima, rješenje čini skup
{30°+360°k,150°+360°k,k∈Z}.
Kutovi za koje je vrijednost sinusa 0.5
Primjer 7.
Odredimo kut čija je vrijednost kosinusa
12.
Potražite rješenje pomičući točku
T kružnice.
Možemo uočiti da na jediničnoj kružnici postoje 2 broja (2 kuta) čiji je kosinus
12.
To su
π3 i
53π. Prođemo li jedanput po kružnici, i brojevi
73π i
113π imaju isti kosinus, krenemo li u suprotnom smjeru po kružnici, i brojevi
-13π,-53π imaju kosinus
12 ...
Sve moguće vrijednosti čiji je kosinus
12 čine skup
{π3+2kπ,53π+2kπ,k∈Z}. Ako kutove prikažemo u stupnjevima, rješenje čini skup
{60°+360°k,300°+360°k,k∈Z}.
Kutovi za koje je vrijednost kosinusa 0.5
Zadatak 5.
Odredite sve kutove čiji je sinus √32.
{60°+360°k,120°+360°k,k∈Z}
{π3+2kπ,23π+2kπ,k∈Z}
Zadatak 6.
Odredite sve kutove čiji je kosinus
√22.
{π4+2kπ,74π+2kπ,k∈Z}
{45°+360°k,315°+360°k,k∈Z}.
Veza između sinusa i kosinusa
Istražimo
Pogledajmo ponovno brojevnu kružnicu.
Uočite pravokutni trokut
OTT1. Odgovorite na sljedeća pitanja.
Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću radijana
Ako znamo vrijednost sinusa, možemo izračunati vrijednost kosinusa i obratno, iz poznate vrijednosti kosinusa možemo odrediti vrijednost sinusa pomoću formula:
sint=±√1-cos2t
cost=±√1-sin2t.
Predznak biramo prema kvadrantu u kojem se nalazi točkaE(t).
Primjer 8.
Odredimo vrijednost
sint ako je
cost=-45, a kut
t se nalazi u 3. kvadrantu.
sint=±√1-cos2t=±√1-(-45)2=±√1-1625=±√925=±35
Budući da se kut
t nalazi u 3. kvadrantu, a vrijednosti sinusa u cijelom su kvadrantu negativne, kao rješenje uzimamo
sint=-35.
Zadatak 7.
Odredite vrijednost
cost ako je sint=2425, a kut tse nalazi u 2. kvadrantu.