7.3 Računanje s vektorima

Zbrajanje vektora - pravilo paralelograma

Istražimo

Mijenjajte krajnje točke vektora $\stackrel{\to }{OA}$ i $\stackrel{\to }{OB}$ te promatrajte čemu je jednak zbroj tih dvaju vektora.

Istražimo

U bilježnicu nacrtajte vektore različitih smjerova, duljine i orijentacije te odredite njihov zbroj po pravilu paralelograma.

Zbrajanje vektora - pravilo trokuta

Istražimo

Mijenjajte krajnje točke vektora $\stackrel{\to }{AB}$ i $\stackrel{\to }{BC}$ te promatrajte čemu je jednak zbroj tih dvaju vektora.

Istražimo

U bilježnicu nacrtajte vektore različitih smjerova, duljine i orijentacije te odredite njihov zbroj po pravilu trokuta.  

Zbrajanje vektora - koordinatna metoda

Vektore možemo prikazati u Kartezijevom koordinatnom sustavu pomoću

 

međusobno

 

vektora $\stackrel{\to }{i}$ i $\stackrel{\to }{j}.$
$\stackrel{\to }{i}$ je jedinični vektor u smjeru osi

 

, a $\stackrel{\to }{j}$ je jedinični vektor u smjeru osi

 

.

apscisa

jediničnih

ordinata

okomitih

null

null

Primjer 1.

Zbrojimo vektore $\stackrel{\to }{a}=2\stackrel{\to }{i}+3\stackrel{\to }{j}$ i $\stackrel{\to }{b}=2\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}.$

Pogledajmo to na grafičkom prikazu:

Računski ćemo ta dva vektora zbrojiti tako da posebno zbrojimo komponente uz $\stackrel{\to }{i}$ i posebno komponente uz $\stackrel{\to }{j}.$

$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}=2\stackrel{\to }{i}+3\stackrel{\to }{j}+2\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}=4\stackrel{\to }{i}+4\stackrel{\to }{j}\end{array}$

 

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora definira se kao zbrajanje sa suprotnim vektorom.

$\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}=\stackrel{\to }{a}+\left(-\stackrel{\to }{b}\right)$

$\stackrel{\to }{AB}-\stackrel{\to }{CD}=\stackrel{\to }{AB}+\stackrel{\to }{DC}$

Primjer 2.

Oduzmimo vektore $\stackrel{\to }{a}=2\stackrel{\to }{i}+3\stackrel{\to }{j}$ i $\stackrel{\to }{b}=2\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}.$

$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}=2\stackrel{\to }{i}+3\stackrel{\to }{j}-(2\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j})=2\stackrel{\to }{i}+3\stackrel{\to }{j}-2\stackrel{\to }{i}-\stackrel{\to }{j}=2\stackrel{\to }{j}\end{array}.$

Svojstva zbrajanja vektora

Istražimo

Pogledajte animaciju sa svojstvima zbrajanja vektora.

Svojstva operacije zbrajanja vektora

Za zbrajanje vektora $\stackrel{\to }{a}$ i $\stackrel{\to }{b}$ vrijede ova svojstva:

1. Komutativnost: $\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}=\stackrel{\to }{b}+\stackrel{\to }{a}.$

2. Asocijativnost: $\left(\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}\right)+\stackrel{\to }{c}=\stackrel{\to }{a}+\left(\stackrel{\to }{b}+\stackrel{\to }{c}\right).$

3. Svojstvo nulvektora: $\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{0}=\stackrel{\to }{a}.$

4. Svojstvo suprotnog vektora: $\stackrel{\to }{a}+\left(-\stackrel{\to }{a}\right)=\stackrel{\to }{0}.$

Primjer 3.

Odredimo zbroj vektora $\stackrel{\to }{AL}$ i $\stackrel{\to }{NJ}$ sa slike.

$\stackrel{\to }{AL}+\stackrel{\to }{NJ}=\stackrel{\to }{AL}+\stackrel{\to }{LH}=\stackrel{\to }{AH}$

Zadatak 4.

Odredite zbroj i razliku vektora određenih točkama u mreži.

a) $\stackrel{\to }{FG}+\stackrel{\to }{IN}$

b) $\stackrel{\to }{LS}+\stackrel{\to }{ID}$

c) $\stackrel{\to }{OM}+\stackrel{\to }{EI}$

d) $\stackrel{\to }{KM}-\stackrel{\to }{HD}$

e) $-\stackrel{\to }{GH}+\stackrel{\to }{JT}$

f) $\stackrel{\to }{AG}+\stackrel{\to }{IN}+\stackrel{\to }{ME}$

g) $\stackrel{\to }{AB}+\stackrel{\to }{LN}$ 

Rješenje

Istražimo

Nacrtajte dva vektora tako da bude:

$\left|\stackrel{\to }{a}\right|+\left|\stackrel{\to }{b}\right|=\left|\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}\right|$

$\left|\stackrel{\to }{a}\right|+\left|\stackrel{\to }{b}\right|=\left|\stackrel{\to }{a}\right|$

$\left|\stackrel{\to }{a}\right|+\left|\stackrel{\to }{b}\right|=\left|\stackrel{\to }{b}\right|$

$\left|\stackrel{\to }{a}\right|+\left|\stackrel{\to }{b}\right|<\left|\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}\right|$.

Razmislite: može li duljina zbroja dvaju vektora biti veća od zbroja duljina tih dvaju vektora?

Množenje vektora realnim brojem

Primjer 4.

Pogledajmo zadatak iz mreže: $\stackrel{\to }{AB}+\stackrel{\to }{LN}.$

Rješenje je $\stackrel{\to }{AD}.$ Na ilustraciji možemo uočiti da vektori $\stackrel{\to }{AD}$ i $\stackrel{\to }{AB}$ imaju isti smjer i orijentaciju, ali različite duljine. No duljina vektora $\stackrel{\to }{AD}$ jednaka je 3 puta duljini vektora $\stackrel{\to }{AB}$. Stoga vrijedi da je vektor $\stackrel{\to }{AD}=3\stackrel{\to }{AB}$.

Množenje vektora realnim brojem

Množimo li vektor $\stackrel{\to }{a}$ realnim brojem $k\ne 0,$ dobijemo vektor $k\stackrel{\to }{a}$ sa sljedećim svojstvima:

1. Duljina mu je jednaka umnošku apsolutne vrijednosti realnog broja i duljine vektora $\left|k\stackrel{\to }{a}\right|=\left|k\right|·\left|\stackrel{\to }{a}\right|.$

2. Smjer mu je jednak smjeru vektora $\stackrel{\to }{a}.$

3. Orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora $\stackrel{\to }{a}$ za $k>0,$ a suprotna orijentaciji vektora $\stackrel{\to }{a}$ za $k<0.$

Neka je vektor $\stackrel{\to }{a}=a_x\stackrel{\to }{i}+a_y\stackrel{\to }{j}$ i $k\ne 0$ realan broj. Tada je umnožak vektora $\stackrel{\to }{a}$ i realnog broja $k$ vektor $k\stackrel{\to }{a}=k{a}_x\stackrel{\to }{i}+k{a}_y\stackrel{\to }{j}.$

Koji vektori imaju duljinu veću ili jednaku vektoru $\stackrel{\to }{a}?$

$2\stackrel{\to }{a}$

$-\stackrel{\to }{a}$

$-\frac{3}{2}\stackrel{\to }{a}$

$0.2\stackrel{\to }{a}$

null

null

Koji vektori imaju istu orijentaciju kao vektor $\stackrel{\to }{a}?$

$2\stackrel{\to }{a}$

$-\stackrel{\to }{a}$

$-\frac{3}{2}\stackrel{\to }{a}$

$0.2\stackrel{\to }{a}$

null

null

Odredite vektor koji je umnožak realnog broja $2$ i vektora $-2\stackrel{\to }{i}+3\stackrel{\to }{j}.$

$-4\stackrel{\to }{i}+3\stackrel{\to }{j}$

$4\stackrel{\to }{i}+6\stackrel{\to }{j}$

$-4\stackrel{\to }{i}+6\stackrel{\to }{j}$

$4\stackrel{\to }{i}-6\stackrel{\to }{j}$

null

null

Svojstva množenja vektora realnim brojem

Primjer 5.

Zadani su vektori $\stackrel{\to }{a}=2\stackrel{\to }{i}+3\stackrel{\to }{j}$ i $\stackrel{\to }{b}=\stackrel{\to }{i}+4\stackrel{\to }{j}$ te realni brojevi $\alpha =2$ i $\beta =3.$ Odredite:

1. $1·\stackrel{\to }{a}$
   
2. $\alpha \left(\beta ·\stackrel{\to }{a}\right)$ i $\left(\alpha ·\beta \right)·\stackrel{\to }{a}$
   
3. $\left(\alpha +\beta \right)·\stackrel{\to }{a}$ i $\alpha \stackrel{\to }{a}+\beta \stackrel{\to }{a}$
   
4. $\alpha ·\left(\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}\right)$ i $\alpha \stackrel{\to }{a}+\alpha \stackrel{\to }{b}$
5.   $\left|\alpha \stackrel{\to }{a}\right|$ i $\left|\alpha \right|·\left|\stackrel{\to }{a}\right|.$
   

Rješenje

Svojstva množenja vektora realnim brojem

Za množenje vektora realnim brojem vrijede svojstva:

a) $1·\stackrel{\to }{a}=\stackrel{\to }{a}$

b) $\alpha \left(\beta ·\stackrel{\to }{a}\right)=\left(\alpha ·\beta \right)·\stackrel{\to }{a}$

c) $\left(\alpha +\beta \right)·\stackrel{\to }{a}=\alpha \stackrel{\to }{a}+\beta \stackrel{\to }{a}$

d) $\alpha ·\left(\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}\right)=\alpha \stackrel{\to }{a}+\alpha \stackrel{\to }{b}$

e) $\left|\alpha \stackrel{\to }{a}\right|=\left|\alpha \right|·\left|\stackrel{\to }{a}\right|$