Matematika 3 - 4.4 Svojstvo parnosti/neparnosti trigonometrijskih funkcija

Na početku...

Simetrije su svuda oko nas.

Prikaz simetrije na primjeru čaša. — Simetrija na primjeru čaša

Pogledajmo neke od matematičkih funkcija koje su simetrične.

Primjer 1.

Parabola $f (x) = x^{2}$ $f (x) = x^{2}$ simetrična je s obzirom na os $y .$ $y .$

Istaknute su točke $A$ $A$ i $B .$ $B .$ Pogledajte njihove koordinate. Uočavate li neku pravilnost?

Parabola

Apscise točaka $A$ $A$ i $B$ $B$

predznaka. Ordinate tih točka

predznaka.

null

Parna funkcija

Funkcija $f$ $f$ je parna ako je za svaki $x$ $x$ iz domene i $- x$ $- x$ u domeni funkcije $f$ $f$ i ako vrijedi $f (- x) = f (x)$ $f (- x) = f (x)$ za svaki $x \in D (f) .$ $x \in D (f) .$ Graf parne funkcije simetričan je s obzirom na $y$ $y$ os.

Primjer 2.

Graf funkcije $g (x) = \frac{1}{x}$ $g (x) = \frac{1}{x}$ simetričan je s obzirom na ishodište koordinatnog sustava.

Istaknute su točke $A$ $A$ i $B .$ $B .$ Pogledajte njihove koordinate. Uočavate li i kod njih neku pravilnost?

Graf funkcije g(x)=1/x

Apscise točaka $A$ $A$ i $B$ $B$

predznaka, a ordinate istaknutih točaka

predznaka.

null

Neparna funkcija

Funkcija $f$ $f$ je neparna ako je za svaki $x$ $x$ iz domene i $- x$ $- x$ u domeni funkcije $f$ $f$ i ako vrijedi $f (- x) = - f (x)$ $f (- x) = - f (x)$ za svaki $x \in D (f) .$ $x \in D (f) .$ Graf neparne funkcije simetričan je s obzirom na ishodište koordinatnog sustava.

Da bismo provjerili je li neka funkcija parna ili neparna, računamo $f (- x) .$ $f (- x) .$ Ako dobijemo jednako početnom, kažemo da je funkcija parna, ako dobijemo suprotni izraz, funkcija je neparna. Ako ne uspijemo dobiti ni isti ni suprotni izraz, funkcija nije ni parna ni neparna (kad nacrtamo njezin graf u koordinatnom sustavu, ona nije simetrična ni s obzirom na $y$ $y$ os ni s obzirom na ishodište).

Zadatak 1.

Razvrstajte funkcije s obzirom na parnost.

f (x) = \frac{x - 2}{x^{2}}

$f (x) = \frac{x - 2}{x^{2}}$

f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$

f (x) = 2 x - 1

$f (x) = 2 x - 1$

f (x) = x^{6} - x^{4}

$f (x) = x^{6} - x^{4}$

f (x) = x^{3} - x

$f (x) = x^{3} - x$

f (x) = x |x|

$f (x) = x |x|$

f (x) = |x| + x

$f (x) = |x| + x$

f (x) = |x| - 2

$f (x) = |x| - 2$

f (x) = \frac{x^{2}}{1 - x^{2}}

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 - x^{2}}$

Parne

Neparne

Ni parna ni neparna

null

Zanimljivost

Naziv parnost odnosno neparnost funkcije su dobile zahvaljujući funkciji $f (x) = x^{n} .$ $f (x) = x^{n} .$ Ako je $n$ $n$ paran broj, funkcija $f (x) = x^{n}$ $f (x) = x^{n}$ je parna, a ako je $n$ $n$ neparan, funkcija je neparna.

Istražimo

Pogledajte grafove funkcija $f (x) = x^{n}$ $f (x) = x^{n}$ za $n$ $n$ od $1$ $1$ do $5 .$ $5 .$ Neparne funkcije su centralno simetrične s obzirom na ishodište dok su parne osno simetrične s obzirom na os y.

Grafovi potencija 1/5

Grafovi potencija 2/5

Grafovi potencija 3/5

Grafovi potencija 4/5

Grafovi potencija 5/5

Kutak za znatiželjne

Postoji li funkcija koja je istovremeno i parna i neparna?

Nacrtajte graf funkcije $f (x) = 0 .$ $f (x) = 0 .$

Parnost/neparnost trigonometrijskih funkcija

Istražimo

Na brojevnoj su kružnici istaknute točke $T_{1} = E (t)$ $T_{1} = E (t)$ i $T_{2} = E (- t)$ $T_{2} = E (- t)$ koje određuju kutove $α$ $α$ i $- α .$ $- α .$ Pomičite točku $T_{1}$ $T_{1}$ po kružnici i pratite vrijednosti sinusa kutova $α$ $α$ i $- α$ $- α$ i kosinusa kutova $α$ $α$ i $- α .$ $- α .$ Što uočavate?

Vrijednosti sinusa kutova $α$ $α$ i $- α$ $- α$

su brojevi, stoga je funkcija sinus

funkcija. Vrijednosti kosinusa kutova

α

$α$ i

- α

$- α$

su brojevi, stoga je funkcija kosinus

funkcija.

parna

suprotni

neparna

jednaki

null

Istražimo

Na brojevnoj kružnici istaknute su točke $T_{1} = E (t)$ $T_{1} = E (t)$ i $T_{2} = E (- t)$ $T_{2} = E (- t)$ koje određuju kutove $α$ $α$ i $- α .$ $- α .$ Pomičite točku $T_{1}$ $T_{1}$ po kružnici i pratite vrijednosti tangensa kutova $α$ $α$ i $- α$ $- α$ i kotangensa kutova $α$ $α$ i $- α .$ $- α .$

Vrijednosti tangensa kutova $α$ $α$ i $- α$ $- α$
su
brojevi, stoga je funkcija tangens
funkcija.
Vrijednosti kotangensa kutova $α$ $α$ i $- α$ $- α$
su
brojevi, stoga je funkcija kotangens
funkcija.

null

Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija

Sinus je neparna funkcija, a kosinus je parna funkcija. Za svaki $t \in R$ $t \in R$ vrijedi $\sin (- t) = - \sin t$ $\sin (- t) = - \sin t$ i $\cos (- t) = \cos t .$ $\cos (- t) = \cos t .$

Tangens i kotangens neparne su funkcije. Za svaki realan broj $t$ $t$ za koji su definirane vrijedi $tg (- t) = - tg t$ $tg (- t) = - tg t$ i $ctg (- t) = - ctg t .$ $ctg (- t) = - ctg t .$

Neparnost trigonometrijskih funkcija tangens i kotangens možemo pokazati i algebarski koristeći parnost funkcije kosinus i neparnost funkcije sinus.

$tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$tg (- x) = \frac{\sin (- x)}{\cos (- x)} = \frac{- \sin x}{\cos x} = - tg x$ $tg (- x) = \frac{\sin (- x)}{\cos (- x)} = \frac{- \sin x}{\cos x} = - tg x$

$ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$

$ctg (- x) = \frac{\cos (- x)}{\sin (- x)} = \frac{\cos x}{- \sin x} = - ctg x$ $ctg (- x) = \frac{\cos (- x)}{\sin (- x)} = \frac{\cos x}{- \sin x} = - ctg x$

Primjer 3.

Provjerimo je li funkcija $f (x) = \sin^{2} x$ $f (x) = \sin^{2} x$ parna funkcija.

Uvrstimo li za argument funkcije $- x,$ $- x,$ imamo $f (- x) = \sin^{2} (- x) = {(\sin (- x))}^{2} = {(- \sin x)}^{2} = \sin^{2} x = f (x) .$ $f (- x) = \sin^{2} (- x) = {(\sin (- x))}^{2} = {(- \sin x)}^{2} = \sin^{2} x = f (x) .$ S obzirom na to da je $f (- x) = f (x),$ $f (- x) = f (x),$ funkcija je parna.

Zadatak 2.

Provjerite neparnost funkcije $f (x) = \sin x - tg x .$ $f (x) = \sin x - tg x .$

$f (- x) = \sin (- x) - tg (- x) = - \sin x + tg x = - (\sin x - tg x) = - f (x)$ $f (- x) = \sin (- x) - tg (- x) = - \sin x + tg x = - (\sin x - tg x) = - f (x)$

Funkcija je neparna.

Primjer 4.

Provjerimo parnost/neparnost funkcije $f (x) = \frac{x^{3} - 2 x}{\cos x} .$ $f (x) = \frac{x^{3} - 2 x}{\cos x} .$

Uvrstimo li kao argument funkcije $- x$ $- x$ dobijemo:

$\begin{array}{ll} f (- x) = \frac{{(- x)}^{3} - 2 \cdot (- x)}{\cos (- x)} = \frac{- x^{3} + 2 x}{\cos x} = - \frac{x^{3} - 2 x}{\cos x} = - f (x) \end{array} .$ $\begin{array}{ll} f (- x) = \frac{{(- x)}^{3} - 2 \cdot (- x)}{\cos (- x)} = \frac{- x^{3} + 2 x}{\cos x} = - \frac{x^{3} - 2 x}{\cos x} = - f (x) \end{array} .$

Kako je $f (- x) = - f (x)$ $f (- x) = - f (x)$ zadana funkcija je neparna.

Zadatak 3.

Provjerite parnost/neparnost funkcije

$f (x) = \frac{\sin^{2} x - 2}{x^{2} + 1} .$ $f (x) = \frac{\sin^{2} x - 2}{x^{2} + 1} .$

$f (- x) = \frac{\sin^{2} (- x) - 2}{(- x)^{2} + 1} = \frac{{(- \sin x)}^{2} - 2}{x^{2} + 1} = \frac{\sin^{2} x - 2}{x^{2} + 1} = f (x)$ $f (- x) = \frac{\sin^{2} (- x) - 2}{(- x)^{2} + 1} = \frac{{(- \sin x)}^{2} - 2}{x^{2} + 1} = \frac{\sin^{2} x - 2}{x^{2} + 1} = f (x)$

Funkcija je parna.

Zadatak 4.

Rasporedite funkcije s obzirom na parnost.

f (x) = \frac{tg x}{ctg x}

$f (x) = \frac{tg x}{ctg x}$

f (x) = \sin x + 3

$f (x) = \sin x + 3$

f (x) = \frac{tg x + 1}{\cos x}

$f (x) = \frac{tg x + 1}{\cos x}$

f (x) = \sin^{3} x

$f (x) = \sin^{3} x$

f (x) = \cos^{3} x

$f (x) = \cos^{3} x$

f (x) = \frac{tg x}{\cos x}

$f (x) = \frac{tg x}{\cos x}$

f (x) = \sin x + \cos x

$f (x) = \sin x + \cos x$

f (x) = 2 \cos x - {tg}^{2} x

$f (x) = 2 \cos x - {tg}^{2} x$

f (x) = \sin x \cdot \cos x

$f (x) = \sin x \cdot \cos x$

Parne

Neparne

Ni parne ni neparne

null

...i na kraju

Ponovimo

Funkcija $f$ $f$ je parna ako je za svaki $x$ $x$ iz domene i $- x$ $- x$ u domeni funkcije $f$ $f$ i ako vrijedi

, za svaki

x \in D (f) .

$x \in D (f) .$
Funkcija

f

$f$ je neparna ako je za svaki

x

$x$ iz domene i

- x

$- x$ u domeni funkcije

f

$f$ i ako vrijedi

, za svaki

x \in D (f) .

$x \in D (f) .$

f (- x) = f (x)

$f (- x) = f (x)$

f (- x) = - f (x)

$f (- x) = - f (x)$

null

Trigonometrijska funkcija sinus je

Trigonometrijska funkcija kosinus je

Trigonometrijska funkcija tangens je

Trigonometrijska funkcija kotangens je

null

Na početku...

Primjer 1.

Parna funkcija

Primjer 2.

Neparna funkcija

Zadatak 1.

Parne

Neparne

Ni parna ni neparna

Zanimljivost

Istražimo

Kutak za znatiželjne

Projekt

Parnost/neparnost trigonometrijskih funkcija

Istražimo

Istražimo

Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija

Primjer 3.

Zadatak 2.

Primjer 4.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Parne

Neparne

Ni parne ni neparne

...i na kraju