Matematika 3 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Eksponencijalne i logaritamske funkcije imaju široku primjenu. Razvoj na tom području bio je dug, a nekoliko matematičara dalo je znatan doprinos: Euler, Napier, Briggs samo su neki od njih.

Primjena obiju funkcija može se pronaći u:

kemiji
biologiji
fizici
forenzici
astronomiji
arheologiji
geologiji
ekonomiji
...

pH skala

Porast vrijednosti novca

Virusi

Muzejski eksponat lubanje dinosaura

Leonhard Euler, švicarski matematičar, fizičar i astronom — Leonhard Euler

Zanimljivost

Leonhard Euler rođen je u Baselu, 15. travnja 1707. Bio je jedan od najvećih matematičara svojega doba. Radio je čak i onda kada je oslijepio na jedno oko (1735.) i kada je postao potpuno slijep (1770.). Napisao je oko 900 radova, od kojih su 473 objavljena tijekom njegova života.

Euler je prvi koji je za iracionalni broj $2.71828182845 ...$ uveo oznaku $e$ , pa ga nazivamo i Eulerovim brojem.

John Napier, škotski matematičar, jedan od tvoraca logaritama i logaritamskog računa — John Napier

Zanimljivost

John Napier je škotski matematičar te jedan od tvoraca logaritama i logaritamskoga računa. Sastavio je prve logaritamske tablice, te dao upute o sastavljanju. U Napierovim tablicama koristi se danas uobičajeni decimalni zapis brojeva, koji je predložio Simon Stevin, i one su najzaslužnije za njegovo brzo i opće prihvaćanje. U dopunama logaritamskih tablica iz 1618. naveo je logaritme kojima je baza bio poslije izračunani Eulerov broj.

Henry Briggs, engleski matematičar — Henry Briggs

Zanimljivost

Henry Briggs je engleski matematičar koji je prvi uočio veliku praktičnu vrijednost logaritama s bazom $10$ (prema njemu nazvani su Briggsovi logaritmi). Objavio je logaritme prve tisuće, tablice Logaritamska aritmetika (Arithmetica Logarithmica), koje sadržavaju logaritme prirodnih brojeva od $1$ do $30 000$ na $14$ decimala. Posmrtno su mu objavljene trigonometrijske tablice, izračunane na $15$ decimala, pod naslovom Britanska trigonometrija (Trigonometria Britannica, 1633).

Prirodni logaritam

Logaritam kojemu je

Eulerov broj $e,$ naziva se

, ili Napierov

i označava

\ln x .

logaritam

prirodni

baza

null

Definicija prirodnog logaritma ne objašnjava naziv "prirodni". Uz bazu $e$ nije nam jasno zašto je nazvan prirodnim.

To će biti jasnije u uvođenju pojma derivacija i integrala, Matematika 4.

$e^{x}$ i $\ln x$ su povezani:

$e^{x}$ je iznos, količina koja raste za $x$ vremenskih jedinica
$\ln x$ je vrijeme potrebno da iznos, količina dosegne $x$ jedinica.

Za detaljno objašnjenje prirodnog logaritma pogledajte videozapis u nastavku.

Rast i pad

Zanimljivost

Populacija je skupina ljudi, životinja, biljaka ili nekih organizama koji žive na određenom području i u određenom vremenu. Ljudi odavno nastoje dobiti model kojim će moći predvidjeti populaciju ljudi, ali i drugih organizama. Zašto?

Thomas Malthus (1766. – 1834., engleski demograf) modelirao je 1798. godine demografski rast bez migracija.

Razmislite je li taj model dobar model? Što ne uzima u obzir?

Eksponencijalna i logaritamska funkcija s bazom $e$ primjenjuju se u ekonomiji, psihologiji, biologiji...

Jedan od modela koji se koristi je Malthusov model.

$N = N_{0} e^{k t}$ uz $N_{0} = N (0)$

$k$ - koeficijent rasta ili pada

$t$ - vrijeme

$N_{0}$ - početni broj jedinki

Ako je $k$ negativan, riječ je o padu, a ako je $k$ pozitivan, riječ je o rastu. Uz $k = 0$ vrijednost ostaje jednaka.

Kako se bakterije razmnožavaju? — Bakterijska kolonija

Zadatak 1.

Model koji smo naveli moguće je primjeniti i na rast ili pad broja bakterija.

Primjenite Maltusov model da biste riješili zadatak.

Početni broj bakterija u kulturi je $1 000 .$ Koeficijent rasta je $0.7$ u jednom satu.

Napišite funkciju koja opisuje broj bakterija u satu.
Koliko je bakterija nakon jednog sata?
Koliko je bakterija nakon deset sati?

$N (t) = 1 000 \cdot e^{0.7 \cdot t}$
$2 013$
$1 096 633$

Zadatak 2.

Izvedite formulu koja povezuje koeficijent rasta ili pada i vrijeme potrebno za udvostručenje.

$2 N_{0} = N_{0} e^{k T}$

$2 = e^{k T}$

$\ln 2 = \ln e^{k T}$

$\ln 2 = k T$

$T = \frac{\ln 2}{k}$

Koeficijent rasta i vrijeme udvostručavanja povezani su gornjom formulom i ne ovise o početnom broju jediniki.

Primjer 1.

U Kini je 1960. godine bilo $660$ milijardi stanovnika, a 2010. godine bilo ih je $1 320$ milijardi. Koliki je koeficijent rasta stanovništva?

U vremenu od 1960. do 2010., tj. za $50$ godina stanovništvo Kine se udvostručilo.

$k = \frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln 2}{50} = 0,014$

Koeficijent rasta je $0,014 .$

Pronađite još primjera i izračunajte koeficijente rasta.

Karta Kine

Zadatak 3.

Ako je koeficijent rasta stanovništa Indije $0,015,$ za koliko godina će broj stanovnika Indije biti dvostruko veći?

Koliko je stanovnika na svijetu u ovom trenutku? Možete li izračunati koeficijent rasta?

Mogu li to resursi s kojima raspolažemo podnijeti?

$T = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{0.015} = 46.21$ godina

Koeficijent rasta može se odrediti ako pronađemo za koliko godina se svjetska populacija udvostručila.

Logaritamske ljestvice

Što je logaritamska ljestvica i za što se upotrebljava?

Ako brojeve $0,$ $1,$ $10,$ $100,$ $1 000 ...$ trebamo prikazati na istom brojevnom pravcu, imat ćemo problem. Ako smanjimo razmak na $100,$ prvi brojevi neće biti vidljivi, tj. stopit će se u jedan broj. Tu je i problem veličine papira - nemamo tako velik papir da bismo uspjeli ucrtati sve veličine. Poigrajmo se malo logaritmima.

Povežite parove.

$\log 10$
$\log 100$
$\log 100$
$\log \frac{1}{10}$
$\log 0.01$

null

Logaritamska skala je skala na kojoj vrijednosti $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ predstavljaju vrijednosti

.
Logaritamska skala često se koristi da bi se pojednostavnili neki grafovi i tablice, gdje bi se inače promjene na donjem kraju skale teško razlikovale, npr. os grafa koja normalno ima vrijednosti od

prikazuje se s vrijednostima od

1

1 000 000

1,

10,

100,

1 000,

10 000

1

7

Primjer 2.

Kako se logaritamskom skalom koriste kemičari?

Jeste li čuli za pH?

Za kisele i lužnate namirnice.

Pogledajte kako to funkcionira.

pH skala

$pH$ se obično rabi da bi se izrazila kiselost u kemijskoj smjesi.

$pH$ je definiran kao $pH = - \log [H +],$ gdje je $H +$ koncentracija vodikovih iona.

Ako je $pH$ jednak $5,2,$ koliko je $[H +] ?$

Imamo jednakost:

$- 5.2 = \log [H +] .$

Ako upotrebljavamo vezu između logaritamske i eksponencijalne funkcije, gornji izraz možemo prikazati kao:

$10^{- 5.2} = [H+]$

$[H +] = 0.00000631$ $=$ $6.31 \cdot 10^{- 6} .$

Korelacija

Objasnimo pojam $pH$ još malo.

$pH$ je zapravo koncentracija vodikovih iona, a njihova koncentracija nam otkriva je li otopina kisela ili lužnata. Kako je $pH$ vrlo velik ili vrlo malen broj, rabimo logaritamsku skalu ili ljestvicu.

$pH$ skala ima raspon od $0$ do $14 .$ Ako je $pH = 7,$ otopina je neutralna. Destilirana voda ima $pH = 7 .$ Ako je $pH$ veći od $7,$ otopina je lužnata. Što je pH manji, to je otopina kiselija.

$pH$ se mjeri za tlo, vodu, krv, urin i mnoge druge otopine. $pH$ je važna vrijednost koja ima značenje i posljedice. Na primjer, $pH$ normalne ljudske krvi i tkiva je oko $7,4$ ako se taj $pH$ promijeni za $0,2$ ili više, gore ili dolje, to je za život opasna promjena. Idealan raspon za $pH$ vode u bazenu je od $7,2$ do $7,8 .$ Kad $pH$ vode u bazenu padne ispod $7,2,$ ljudi doživljavaju iritaciju očiju i kože, a oprema bazena korodira. Razine iznad $7,8$ inhibiraju sposobnost klora da neutralizira viruse, bakterije i druge zdravstvene rizike u vodi te također uzrokuju iritaciju očiju.

Istražite pojam "kiselih kiša"

Zadatak 4.

Ako uzorak tekućine ima $pH = 5,$ kolika je koncentracija vodikovih iona?
Koliko puta je koncentracija vodikovih iona veća u tekućini s $pH = 5$ od one s $pH = 7 ?$
Koncentracija vodikovih iona u pitkoj vodi je između $3.16 \cdot 10^{- 9}$ i $10^{- 6} .$ Odredite granice $pH$ za pitku vodu.
Koncentracija vodikovih iona u otopini je $10^{4} .$ Je li ta otopina više ili manje kisela od vode za piće?

$10^{- 5}$
$100$ puta
Između $6$ i $8.5$
$pH = 4 .$ Ta otopina je kiselija od vode.

Projekt

Napierove kosti ili logaritamski štapići

John Napier nije samo tvorac teorije o logaritmima. On je osmislio i način računanja koji se sastoji od drvene pitagorine tablice, s pomičnim stupcima. Njih rabimo kako bi računske radnje množenja, dijeljenja i potenciranja postale brže.

Mehanizam se sastoji od deset stupaca podijeljenih u devet kvadrata. Svaki od stupaca ima u gornjem kvadratu jedan od brojeva iz baze deset, a ispod njime povezanu tablicu množenja. Kvadrati iz tablice podijeljeni su dijagonalom koja dijeli desetice od jedinica, gdje su desetice u gornjem trokutu, a jedinice u donjem. Mehanizam sadrži osnovni stupac koji se sastoji od brojeva od $1$ do $9 .$

Poseban slučaj – množenje uz pomoć Napierovih kostiju — Postupak množenja pomoću Napierovih kostiju

Zadatak 5.

S pomoću crteža i Napierovih štapića provedite množenje brojeva $8 457$ i $7 .$

Spojimo stupce $8,$ $4,$ $5$ i $7$ i slijeva stavimo bazni stupac. U redu $7$ (broj kojim množimo) čitamo rezultate zdesna nalijevo zbrajajući brojeve na dijagonalama u tom redu i vodeći računa o prijenosu desetice na sljedeći zbroj.

Dobit ćemo sljedeći rezultat:

$9$ (jedini broj $1 .$ dijagonale)

$9$ ( $4 + 5$ u $2 .$ dijagonali)

$1$ ( $8 + 3 = 1$ i $1$ dalje, u $3 .$ dijagonali)

$9$ ( $6 + 2 + 1$ (prijenos) $= 9$ u $4 .$ dijagonali)

$5$ (jedini broj iz $6 .$ dijagonale).

Dobiveni broj pišemo obrnutim redoslijedom $59 199 .$

...i na kraju

U uvodu smo već naveli dva važna matematičara koji su zaslužni za razvoj logaritamske funkcije.

John Napier:

uveo naziv logaritma,
uveo prirodne logaritme po bazi $e$ , uz oznaku $\ln .$

Henry Briggs:

uveo logaritme s bazom $10$ do $1 000,$
1642. godine izdao je tablice s logaritmima od $14$ znamenka brojeva do $20 000$ te od $90 000$ do $100 000,$
dekadski logaritmi po njemu se nazivaju Briggsovi.

Kutak za znatiželjne

Istražite kako je Napier došao do tablica i koriste li se one danas.

Možete se koristiti sljedećom mrežnom stranicom.

Ritam logaritama

Briggsove tablice koristile su se sve do pojave prvih džepnih računala s funkcijom računanja logaritma s bazom $10$ i prirodnog logaritma.

Vaši očevi i majke koristili su se knjžicom "Logaritamske tablice". Pronađite Logaritamske tablice kod kuće ili u knjižnici svoje škole.

Primjer 3.

Koristeći se Logaritamskim tablicama, odredit ćemo logaritme nekoliko različitih brojeva.

Scan Briggsovih logaritama

Iz prve tablice čitamo da je:

$\log 21 = 1.32222$

$\log 95 = 1.97772$

Iz dijela druge tablice možemo pročitati:

$\log 6.93 = 0.84073 .$

U prvom stupcu potražili smo broj $693 .$ Prve dvije decimale očitali smo iz stupca L. i to su $84 .$ Zbog jednoga cijelog mjesta karakteristika će biti $0,$ pa čitamo $073 .$

Objasnite zašto je $\log 6.99 = 0.84448 .$

S pomoću uputa iz tablice odredite $\log 0.75$ i $\log 0.075 .$

Na kraju pogledajte zašto su logaritmi bili važni i što je potaknulo njihovo otkrivanje.