Pojmovnik

Graf funkcije $f\left(x\right)=A\sin \left(bx+c\right)$ skiciramo uz pomoć grafa $g\left(x\right)=\sin x$.

Za funkciju $f\left(x\right)=A\sin \left(bx+c\right)$ potrebno je odrediti amplitudu, period i pomak.

1. Maksimalna tj. minimalna vrijednost funkcije jednaka je $A$, tj. $-A$, pa se graf funkcije nalazi između pravaca $y=A$ i $y=-A$.
2. Period funkcije jednak je $\frac{2\pi }{\left|b\right|}$, a nultočke se nalaze na početku i na kraju tog intervala i u polovištu.
3. Nultočke funkcije rješenje su jednadžbe $A\sin \left(bx+c\right)=0$.
   $x=\frac{k\pi -c}{b},k=0,\pm 1,\pm 2,...$
   Za $k=0$ dobijemo $x_0=-\frac{c}{b}$, što je pomak funkcije.

Asimptota je pravac kojemu se neka krivulja sve više približava a da ga ne dotakne (nedodirnica, nedotičnica).

Graf eksponencijalne funkcije $f\left(x\right)=a^x$ približava se osi apscisa, ali je ne siječe. Kažemo da je os apscisa (pravac $y=0$) asimptota eksponencijalne funkcije.

Za brojeve $n$, $k\in {\mathbf{N}}_{\mathbf{0}}$, $0\le k\le n$, definiramo binomni koeficijent $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ (čitamo en povrh ka):

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!·\left(n-k\right)!}$.

Brojevna kružnica je jedinična kružnica čijim točkama eksponencijalnim preslikavanjem pridružujemo realne brojeve.

Točka na brojevnoj kružnici ima koordinate $\left(\cos \alpha ,\sin \alpha \right)$, pri čemu je $\alpha$ kut određen tom točkom.

Neka je t po volji realan broj, a $T=E\left(t\right)$ njemu odgovarajuća točka na brojevnoj kružnici. Tada je $T=\left(\cos t,\sin t\right)$. Vrijednost funkcije kosinus jest apscisa, a vrijednost funkcije sinus jest ordinata točke $T=E\left(t\right)$.

Ako $n+1$ predmeta bilo kako rasporedimo u $n$ kutija, onda barem jedna kutija sadržava bar dva predmeta.

Domena obiju funkcija $f\left(x\right)=\sin x$ i $g\left(x\right)=\cos x$ jest cijeli skup $\mathbf{R}$, a slika interval $\left[-1,1\right]$.

Duljina vektora jednaka je duljini pripadajuće dužine. Ako su vektoru $\stackrel{\to }{AB}$ zadane početna točka $A\left(x_1,y_1\right)$ i krajnja točka $B\left(x_2,y_2\right)$, duljinu vektora računamo pomoću formule za udaljenost točaka.

$\left|\stackrel{\to }{AB}\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

Ako je vektor zadan kao $\stackrel{\to }{a}=a_x\stackrel{\to }{i}+a_y\stackrel{\to }{j}$, tada duljinu vektora računamo po formuli:

$\left|\stackrel{\to }{a}\right|=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2}$.

Pravac koji nije paralelan s osi y ima jednadžbu $y=kx+l$, pri čemu je $k$ koeficijent smjera ili nagib pravca, a $l$ odsječak na osi $y$. Jednadžbu zapisanu u ovom obliku zovemo eksplicitni oblik jednadžbe pravca.

Eksponencijalna funkcija jest funkcija $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ oblika $f\left(x\right)=a^x$, pri čemu je $a>0$, $a\ne 1$

Ovakvu jednadžbu, u kojoj je nepoznanica u eksponentu, nazivamo eksponencijalna jednadžba.

Riješiti eksponencijalnu jednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u jednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Nejednadžbe u kojima je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalne nejednadžbe. Riješiti eksponencijalnu nejednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u nejednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi bit će nam važna svojstva eksponencijalne funkcije.

Preslikavanje koje realne brojeve  $\left(t\in \mathbf{R}\right)$ pridružuje točkama jedinične kružnice $\left(T\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{2}}\right)$ nazivamo eksponencijalno preslikavanje: $t\to E\left(t\right)=T$.

Za prirodni broj $n\ge 1$ simbolom $n!$ označujemo broj (en-faktorijela) definiran s $n!=n·\left(n-1\right)···3·2·1$.

Zamijetimo da je $1!=1$.

Dodatno definiramo $0!=1$.

Funkciju koja broju $t\in R\backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$ pridružuje broj $\mathrm{ctg}t\in \mathbf{R}$ nazivamo funkcija kotangens.

Funkciju koja broju $t\in R\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$ pridružuje broj $\mathrm{tg}t\in \mathbf{R}$ nazivamo funkcija tangens.

Mjera kuta $t$ za koju vrijedi $0\le t<2\pi$ ili $0\le t<360°$naziva se glavna mjera kuta.

Graf eksponencijalne funkcije $f$ skup je svih točaka u ravnini:

${\Gamma }_f=\left\{\left(x,f\left(x\right)\right):f\left(x\right)=a^x,x\in \mathbf{R},a>0,a\ne 1\right\}$.

Graf funkcije tangens skup je točaka u ravnini ${\Gamma }_f=\left\{\left(x,f\left(x\right)\right):f\left(x\right)=\mathrm{tg}x,x\in \mathbf{R},x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$ za $k\in \mathbf{Z}$. Graf funkcije tangens nazivamo tangensoida.

Graf logaritamske funkcije $f$  skup je točaka ravnine

${\Gamma }_f=\left\{\left(x,f\left(x\right)\right):f\left(x\right)={\log }_{a}x,x\in {\mathbf{R}}^{+},a>0,a\ne 1\right\}$.

Jednadžbu pravca možemo zapisati i u obliku $Ax+By+C=0$, pri čemu barem jedan od realnih brojeva $A$ ili $B$ mora biti različit od $0$. Tu jednadžbu zovemo implicitni oblik jednadžbe pravca.

Logaritamska funkcija $f\left(x\right)={\log }_{a}x$ jest injektivna, tj. iz ${\log }_a{x}_1={\log }_a{x}_2$ slijedi $x_1=x_2$.

Iracionalne jednadžbe su jednadžbe u kojima nepoznanica dolazi u bazi potencije s racionalnim eksponentom.

Za vektor $\stackrel{\to }{a_0}$ kažemo da je jedinični vektor ako je njegova duljina $\left|\stackrel{\to }{a_0}\right|=1$.

Ako vektor $\stackrel{\to }{a}$, različit od nulvektora, podijelimo s njegovom duljinom, dobili smo jedinični vektor jednakog smjera i orijentacije kao vektor $\stackrel{\to }{a}$.

$\stackrel{\to }{a_0}=\frac{\stackrel{\to }{a}}{\left|\stackrel{\to }{a}\right|}$.

${\left(x\pm r\right)}^2+{\left(y\pm r\right)}^2=r^2$.

${\left(x-p\right)}^2+{\left(y\pm r\right)}^2=r^2$.

${\left(x\pm r\right)}^2+{\left(y-q\right)}^2=r^2$. 

Jednadžba tangente na kružnicu ${\left(x-p\right)}^2+{\left(y-q\right)}^2=r^2$ u njezinoj točki $T_0\left(x_0,y_0\right)$ glasi $\left(x_0-p\right)\left(x-p\right)+\left(y_0-q\right)\left(y-q\right)=r^2$ .

Vektori $\stackrel{\to }{a}=a_x\stackrel{\to }{i}+a_y\stackrel{\to }{j}$ i $\stackrel{\to }{b}=b_x\stackrel{\to }{i}+b_y\stackrel{\to }{j}$ jednaki su onda i samo onda ako su im odgovarajuće koordinate jednake.

$\stackrel{\to }{a}=\stackrel{\to }{b}\iff a_x=b_x,a_y=b_y$

Ako su koeficijenti vektora suprotni brojevi, vektori su jednake duljine i smjera, a suprotne orijentacije. 

Vektori su jednaki ako su im duljina, smjer i orijentacija jednaki.

Dva su skupa jednaka ako je svaki element prvog skupa ujedno element drugog skupa, i obrnuto.

$A=B\iff \left(x\in A\mathrm{i}x\in B\right)$ 

Ako su pravci okomiti, tada su im koeficijenti smjera recipročni i suprotnog predznaka.

Ako su pravci paralelni, tada su im koeficijenti smjera jednaki.

Kombinacija $r$-tog razreda od $n$  elemenata je svaki podskup od $r$ elemenata $n$-članog skupa.

Ukupan broj kombinacija bez ponavljanja $r$-tog razreda od $n$ elemenata jednak je $K_n^r=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$.

Kombinacije s ponavljanjem $r$-tog razreda $n$-članog skupa je skup od $r$ elemenata koji se sastoji od elemenata zadanog $n$-članog skupa s time da se neki elementi mogu pojaviti i više puta.

Broj kombinacija s ponavljanjem $r$-tog razreda od $n$ različitih elemenata jednak je  $\overline{K_n^r}=\left(\begin{array}{c}n+r-1\\ r\end{array}\right)$.

Kombinatorika je grana matematike koja se bavi prebrojavanjem elemenata konačnih skupova, odnosno prebrojavanjem načina da se elementi konačnih skupova poredaju, rasporede, izaberu.

U izvođenju geometrijskih konstrukcija prolazimo sljedeće korake:

1. analiza problema

2. konstrukcija

3. dokaz

4. rasprava.

Graf funkcije kosinus skup je točaka u ravnini ${\Gamma }_f=\left\{\left(x,f\left(x\right)\right):f\left(x\right)=\cos x,x\in \mathbf{R}\right\}$.

Povucimo tangentu $p$ na brojevnu kružnicu u točki $\left(0,1\right)$. Taj je pravac paralelan s osi $x$ i dodiruje brojevnu kružnicu. Neka je $t\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z}$ po volji realan broj i $T=E\left(t\right)$ njezina pridružena točka trigonometrijske kružnice. Pravac $OT$ siječe tangentu kružnice u točki $T_1=\left(\mathrm{ctg}t,1\right)$. Kotangens broja $t$ jest apscisa točke $T_1$.

Središnja jednadžba kružnice sa središtem u ishodištu jest $x^2+y^2=r^2$. 

Kut je dio ravnine određen s dva polupravca, $p$ i $q$, sa zajedničkim vrhom $V$. Oznaka: $\sphericalangle pVq$.

Linearna kombinacija dvaju vektora jest svaki izraz oblika: $a\stackrel{\to }{u}+b\stackrel{\to }{v}$, pri čemu su $a$ i $b$ skalari i nazivamo ih koeficijentima, a $\stackrel{\to }{u}$ i $\stackrel{\to }{v}$ dva nekolinearna vektora.

Linearna kombinacija vektora jest novi vektor.

Dva vektora koji nemaju isti smjer zovu se linearno nezavisni vektori ili nekolinearni vektori.

Za dva vektora $\stackrel{\to }{a}$ i $\stackrel{\to }{b}$ $\left(\stackrel{\to }{a},\stackrel{\to }{b}\ne 0\right)$ istog smjera kažemo da su linearno zavisni ili kolinearni vektori.

Logaritam broja $y$ po bazi $a$ jest eksponent kojim treba potencirati zadanu bazu $a$ da bi se dobio $y$. Dakle,

ako je $a^x=y$, onda je ${\log }_{a}y=x$.

Logaritamska funkcija s bazom $a$ realna je funkcija oblika $f\left(x\right)={\log }_{a}x$, pri čemu je $a>0$ i $a\ne 1$. Domena logaritamske funkcije skup je pozitivnih realnih brojeva ${\mathbf{R}}^{+}$. Skup njezinih vrijednosti jest cijeli skup $\mathbf{R}$.

Logaritamska jednadžba je jednadžba koja se može svesti na oblik ${\log }_{a}x=b$, gdje je $x\in {\mathbf{R}}^{+}$ nepoznanica,  $a>0$, $a\ne 1$ baza i $b\in \mathbf{R}$.

Logaritamska nejednadžba je nejednadžba u kojoj je nepoznanica argument ili baza logaritma.

Mjerne jedinice kuta mogu biti radijan i stupanj.

STUPNJEVI

Ako se početna i završna zraka preklapaju, kažemo da zatvaraju kut od $0°$ili $360°$ .

$\mathbf{1}\mathbf{°}$ (čitamo: jedan stupanj) možemo definirati kao $1/360$ punog kuta.

RADIJANI

Radijan je veličina određena omjerom duljine luka kružnice $\left(l\right)$ sa središtem u vrhu kuta i polumjera $\left(r\right)$ te kružnice $\left(\alpha \mathrm{rad}=\frac{l}{r}\right)$. $\mathbf{1}\mathbf{rad}$ (čitamo: jedan radijan) jest kut kojemu je duljina luka jednaka polumjeru kružnog isječka kojim je kut definiran.

Množimo li vektor $\stackrel{\to }{a}$ realnim brojem $k\ne 0$, dobijemo vektor $k\stackrel{\to }{a}$ sa sljedećim svojstvima:

1. Duljina mu je jednaka umnošku apsolutne vrijednosti realnog broja i duljine vektora $\left|k\stackrel{\to }{a}\right|=\left|k\right|·\left|\stackrel{\to }{a}\right|$.

2. Smjer mu je jednak smjeru vektora $\stackrel{\to }{a}$.

3. Orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora $\stackrel{\to }{a}$ za $k>0$, a suprotna orijentaciji vektora $\stackrel{\to }{a}$ za $k<0$.

Logaritamska funkcija $f\left(x\right)={\log }_{a}x$ strogo je rastuća za $a>1$, tj. za $x_1<x_2$ vrijedi ${\log }_a{x}_1<{\log }_a{x}_2$.

Logaritamska funkcija $f\left(x\right)={\log }_{a}x$ strogo je padajuća za $0<a<1$, tj. za $x_1<x_2$ vrijedi ${\log }_a{x}_1>{\log }_a{x}_2$.

Neka promatrana dva konačna skupa, $A$ i $B$ nemaju zajedničkih elemenata $\left(A\cap B=\varnothing \right)$. Tada je ukupan broj elemenata unije $A\cup B$ jednak zbroju elemenata skupa $A$ i skupa $B$.

$\mathrm{card}\left(A\cup B\right)=\mathrm{card}\left(A\right)+\mathrm{card}\left(B\right)$

Funkcija $f$ je neparna ako je za svaki $x$ iz domene i $-x$ u domeni funkcije $f$ i ako vrijedi $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ za svaki $x\in D\left(f\right)$. Graf neparne funkcije simetričan je s obzirom na ishodište koordinatnog sustava.

Pravac koji prolazi diralištem tangente i okomit je na nju.

1. Ako je $n$ parni prirodni broj i $a>0$, tada je $n$-ti korijen iz realnog broja $a$ pozitivni realni broj $\sqrt[n]{a}$  za koji vrijedi ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$.
   
2. Ako je $n$ neparni prirodni broj i $a\in \mathrm{R}$, tada je $n$-ti korijen iz realnog broja $a$ realni broj $\sqrt[n]{a}$  za koji vrijedi ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$.
   

Za $a$ = $0$,  $\sqrt[n]{0}=0$.

U izrazu  $\sqrt[n]{a}$  broj $n$  nazivamo eksponent korijena ili korijenski eksponent, a broj $a$ broj pod korijenom ili radikand. Dogovorno se za $n=1$ i $n=2$ i piše $\sqrt[1]{a}=a$, $\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}$.​

Napomena: Ako je $n$ parni prirodni broj i $a<0$ , tada $\sqrt[n]{a}$ nije realan broj.

Vektor koji ima duljinu jednaku nuli, odnosno počinje i završava u istoj točki, zovemo nulvektor.

Oduzimanje vektora definira se kao zbrajanje sa suprotnim vektorom.

$\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}=\stackrel{\to }{a}+\left(-\stackrel{\to }{b}\right)$

$\stackrel{\to }{AB}-\stackrel{\to }{CD}=\stackrel{\to }{AB}+\stackrel{\to }{DC}$

Za svaki realan broj $t$ vrijedi

$-1\le \sin t\le 1$,

$-1\le \cos t\le 1$.

Vektor je, osim duljinom i smjerom, određen i orijentacijom.

Sve vektore istog smjera možemo podijeliti u dvije vrste:  jednake i suprotne orijentacije.

Orijentaciju vektora pokazuje strelica na kraju vektora.

Funkcija $f$ je parna ako je za svaki $x$ iz domene i $-x$ u domeni funkcije $f$ i ako vrijedi $f(-x)=f\left(x\right)$ za svaki $x\in D\left(f\right)$. Graf parne funkcije simetričan je s obzirom na $y$ os.

Sinus je neparna funkcija, a kosinus je parna funkcija. Za svaki $t\in \mathbf{R}$ vrijedi $\sin (-t)=-\sin t$ i $\cos (-t)=\cos t$.

Tangens i kotangens neparne su funkcije. Za svaki realan broj $t$ za koji su definirane vrijedi $\mathrm{tg}(-t)=-\mathrm{tg}t$ i $\mathrm{ctg}(-t)=-\mathrm{ctg}t$.

Za funkciju $f$ kažemo da je periodična s periodom $T$, ako vrijedi

$f\left(x\right)=f\left(x+T\right)$, $T\in \mathbf{R}$, $x$, $x+T\in D_f$.

Najmanji takav pozitivan broj $T$ naziva se temeljni period.

Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus periodične su s temeljnim periodom $2\pi$. Vrijedi:

$\sin \left(t+2\pi \right)=\sin t$.

$\cos \left(t+2\pi \right)=\cos t$, $\forall t\in \mathbf{R}$.

Općenito, $\forall t\in \mathbf{R}$, $\mathbf{\forall }k\in \mathbf{Z}$ vrijedi

$\sin \left(t+2k\pi \right)=\sin t$.

$\cos \left(t+2k\pi \right)=\cos t$.

Za trigonometrijske funkcije tangens i kotangens $\mathbf{\forall }t\in \mathbf{R}$, $\mathbf{\forall }k\in \mathbf{Z}$ vrijedi:

$\mathrm{tg}\left(t+k\pi \right)=\mathrm{tg}t$,

$\mathrm{ctg}\left(t+k\pi \right)=\mathrm{ctg}t$.

Tangens i kotangens periodične su funkcije s temeljnim periodom $\pi$.

Permutacija ili premještanje elemenata $n$-članog skupa je uređena $n$-torka svih elemenata (važan je poredak elemenata).

Broj permutacija s ponavljanjem skupa od $n$  elemenata gdje je $n_1$ jednakih elemenata prve vrste, $n_2$ jednakih elemenata druge vrste pa sve do $n_k$ jednakih elemenata $k$-te vrste jednak je $$ $P_n^{n_1,n_2,...,n_k}=\frac{n!}{n_1!·n_2!·...·n_k!}$.

Pravac regresije jest pravac koji najbolje povezuje (aproksimira) zadane točke grafa.

Jednadžba pravca usporednog s osi​ $x$ jest $y=l$, pri čemu je $l$ odsječak na osi ordinata.

Jednadžba pravca usporednog s osi $y$ jest $x=a$, pri čemu je $a\in \mathbf{R}$.

Ako zadani vektori $\stackrel{\to }{OA}$ i $\stackrel{\to }{OB}$ imaju zajedničku početnu točku $O$, onda oni određuju tri vrha paralelograma. Zbroj vektora $\stackrel{\to }{OA}$ i $\stackrel{\to }{OB}$ jest vektor $\stackrel{\to }{OC}$, pri čemu je $\stackrel{\to }{OC}$ dijagonala paralelograma $OACB$. Pišemo $\stackrel{\to }{OC}=\stackrel{\to }{OA}+\stackrel{\to }{OB}$.

Vektori kojima se završetak prvog podudara s početkom drugog vektora, nazivaju se ulančani vektori. Zbroj ulančanih vektora $\stackrel{\to }{\mathrm{AB}}$ i $\stackrel{\to }{BC}$ jest vektor $\stackrel{\to }{AC}$ kojemu je početak jednak početku prvog vektora, a završetak jednak završetku drugog vektora. Pišemo $\stackrel{\to }{AB}+\stackrel{\to }{BC}=\stackrel{\to }{AC}$.

$a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)} \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)$, $a>0$, $a\ne 1$.

Racionalizirati nazivnik zadanog razlomka znači odrediti razlomak jednak početnom, u kojem je nazivnik cijeli broj.

Eksponencijalne nejednadžbe koje možemo svesti na nejednakost dviju potencija iste baze rješavamo primjenom svojstava monotonosti.

• $a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)<g\left(x\right),a>1$ 
• $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)>g\left(x\right),a>1$ 
• $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)<g\left(x\right),0<a<1$ 
• $a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)>g\left(x\right), 0<a<1$
  

Neka su točke $\left(m,0\right)$ i $\left(0,n\right)$, $m$ $n\ne 0$ presjeci pravca s koordinatnim osima. Onda taj pravac ima jednadžbu $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$. Takav oblik jednadžbe pravca nazivamo segmentni oblik.

Brojevi $m$ i $n$ jesu segmenti ili odsječci koje pravac odsijeca na koordinatnim osima.

Pravac koji siječe kružnicu u dvjema točkama naziva se sekanta. U tom je slučaju udaljenost središta kružnice od pravca manja od polumjera kružnice.

Graf funkcije $f\left(x\right)=A\sin \left(bx+c\right)+d$ nazivamo sinusoida.

Skalarni umnožak dvaju vektora jednak je umnošku njihovih modula i kosinusa kuta između njih.

$\stackrel{\to }{a}·\stackrel{\to }{b}=\left|\stackrel{\to }{a}\right|\left|\stackrel{\to }{b}\right|\cos \phi$ 

Skalarni umnožak dvaju vektora zadanih pomoću koordinata dobije se tako da se njihove istoimene koordinate pomnože i dobiveni umnošci zbroje.

  $\stackrel{\to }{a}·\stackrel{\to }{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y$ 

Smjer vektora određuje pravac na kojem vektor leži. Vektori koji leže na istim ili paralelnim pravcima istog su smjera.

Za sve vektore koji leže na paralelnim pravcima kažemo još i da su kolinearni.

Primjerice, vektori sila kojima konji vuku kočiju djeluju duž istog pravca ili duž paralenih pravaca te su kolinearni, tj. imaju isti smjer.

Primijetite da se pojam smjera vektora razlikuje od pojma smjera koji koristimo u svakodnevnoj komunikaciji.

Vektori jednakog smjera i duljine, ali suprotne orijentacije jesu suprotni vektori.

Suprotne vektore zapisujemo na sljedeći način: $\stackrel{\to }{AB}=-\stackrel{\to }{BA}$ i $\stackrel{\to }{a}\ne -\stackrel{\to }{a}$.

To znači da vektori $\stackrel{\to }{a}$ i $-\stackrel{\to }{a}$ imaju istu duljinu i leže na istom pravcu ili na paralelnim pravcima. Orijentacija im je suprotna.

Svojstva funkcije kosinus: Graf funkcije kosinus ima sljedeća svojstva:

1. Funkcija je periodična s temeljnim periodom $2\pi$.
2. Nultočke funkcije jesu $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ za $k\in \mathbf{Z}$.
3. Graf funkcije kosinus poprima minimum -1 za $x=\left(2k+1\right)\pi$ i maksimum 1 za $x=2k\pi$ za $k\in \mathbf{Z}$.
4. Zbog svojstva parnosti kosinusoida je simetrična s obzirom na os $y$.
5. Graf funkcije raste na intervalima $⟨\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi ⟩,k\in \mathbf{Z}$ i pada na intervalima $⟨2k\pi ,\pi +2k\pi ⟩,k\in \mathbf{Z}$.
   

Funkcija $f\left(x\right)=\sin x$ ima sljedeća svojstva:

1. Nultočke funkcije brojevi su $k\pi ,k\in \mathrm{Z}$.
2. Za sve brojeve oblika $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathrm{Z}$ funkcija poprima maksimalnu vrijednost jednaku $1$. Za sve brojeve oblika $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathrm{Z}$ funkcija poprima minimalnu vrijednost jednaku $-1.$
   
3. Period funkcije iznosi $2\pi$.
4. Tijek je funkcije na intervalu $\left[0,2\pi \right]$ sljedeći:

Za množenje vektora realnim brojem vrijede svojstva:

a) $1·\stackrel{\to }{a}=\stackrel{\to }{a}$

b) $\alpha \left(\beta ·\stackrel{\to }{a}\right)=\left(\alpha ·\beta \right)·\stackrel{\to }{a}$

c) $\left(\alpha +\beta \right)·\stackrel{\to }{a}=\alpha \stackrel{\to }{a}+\beta \stackrel{\to }{a}$

d) $\alpha ·\left(\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}\right)=\alpha \stackrel{\to }{a}+\alpha \stackrel{\to }{b}$

e) $\left|\alpha \stackrel{\to }{a}\right|=\left|\alpha \right|·\left|\stackrel{\to }{a}\right|$

Za pozitivne realne brojeve $a$ i $b$ i $n,m\in \mathrm{N}$ vrijedi:

1. $\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a·b}$
2. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},b\ne 0$
3. $\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$
4. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m·n]{a}$​
5. $\sqrt[m·n]{a^m}=\sqrt[n]{a}$

Napomena:

Za bilo koje realne brojeve $a$ i $b$ svojstva vrijede ako su $m$ i $n$ neparni prirodni brojevi.

Za zbrajanje vektora $\stackrel{\to }{a}$ i $\stackrel{\to }{b}$ vrijede ova svojstva:

1. Komutativnost: $\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}=\stackrel{\to }{b}+\stackrel{\to }{a}$.

2. Asocijativnost: $\left(\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}\right)+\stackrel{\to }{c}=\stackrel{\to }{a}+\left(\stackrel{\to }{b}+\stackrel{\to }{c}\right)$.

3. Svojstvo nulvektora: $\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{0}=\stackrel{\to }{a}$.

4. Svojstvo suprotnog vektora: $\stackrel{\to }{a}+\left(-\stackrel{\to }{a}\right)=\stackrel{\to }{0}$.

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi s različitim bazama primjenjujemo monotonosti logaritamske funkcije.

Ako je

$a>1$ i $x>y$  $\Rightarrow {\log }_{a}x>{\log }_{a}y$

$0<a<1$  i $x>y\Rightarrow {\log }_{a}x<{\log }_a\mathrm{y,}$ 

također vrijedi:

$a>1$ i ${\log }_{a}x<{\log }_{a}y\Rightarrow x<y$

$0<a<1$ i ${\log }_{a}x<{\log }_{a}y\Rightarrow x>y$.

Za binomne koeficijente vrijedi sljedeće svojstvo:

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} n\\ k+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1\\ k+1\end{array}\right)$, $k=0,1,...n-1;$ 

Za binomne koeficijente vrijedi svojstvo simetrije:

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n\\ n-k\end{array}\right)$.

Povucimo tangentu $p$ na brojevnu kružnicu u točki $\left(1,0\right)$. Taj je pravac okomit na os $x$ i dodiruje brojevnu kružnicu. Neka je $t\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$ po volji realan broj i $T=E\left(t\right)$ njezina pridružena točka trigonometrijske kružnice. Pravac $OT$ siječe tangentu kružnice u točki $T_1=\left(1,\mathrm{tg}t\right)$ . Tangens broja $t$ jest ordinata točke $T_1$.

Pravac koji dodiruje kružnicu u samo jednoj točki naziva se tangenta kružnice. U tom je slučaju  udaljenost središta kružnice od pravca jednaka polumjeru kružnice. 

Ako znamo vrijednost sinusa, možemo izračunati vrijednost kosinusa i obratno, iz poznate vrijednosti kosinusa možemo odrediti vrijednost sinusa pomoću formula:

$\sin t=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}t}$

$\cos t=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}t}$.

Predznak biramo prema kvadrantu u kojem se nalazi točka $E\left(t\right)$.

Upamtimo i ovo!

Neka su $t$, $b$, $c\in \mathbf{R}$, $b\ne 0$.

Ako trigonometrijska funkcija sinus ili kosinus ima oblik $\sin \left(bt+c\right)$ ili $\cos \left(bt+c\right)$, njezin je temeljni period $T=\frac{2\pi }{\left|b\right|}$.

Ako trigonometrijska funkcija tangens ili kotangens ima oblik $\mathrm{tg}\left(bt+c\right)$ ili $\mathrm{ctg}\left(bt+c\right)$, njezin je temeljni perod $T=\frac{\pi }{\left|b\right|}$.

Više o određivanju temeljnog perioda naučit ćete prilikom crtanja trgonometrijskih funkcija.

Trigonometrijske jednadžbe jesu jednadžbe u kojima se nepoznanica pojavljuje kao argument neke trigonometrijske funkcije. 

Varijacija bez ponavljanja $r$-tog razreda u $n$-članom skupu svaka je uređena $r$-torka različitih elemenata danog skupa.

Broj varijacija bez ponavljanja $r$-tog razreda od $n$ elemenata jednak je

$V_n^r=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)·...·\left(n-\left(r-1\right)\right)$.

Varijacija s ponavljanjem $r$-tog razreda u $n$-članom skupu svaka je uređena $r$-torka elemenata danog skupa gdje se elementi mogu ponavljati.

Broj varijacija s ponavljanjem $r$-tog razreda od $n$ elemenata jednak je $\overline{{V_n}^r}=n^r$ .

Vektor je usmjerena dužina kod koje razlikujemo početnu i završnu točku. Vektor kod kojeg je točka $A$ početna, a $B$ krajnja (završna) točka zapisujemo kao $\stackrel{\to }{AB}$ i čitamo "vektor $AB$".

Vektore možemo označavati i malim slovima latinične abecede npr.: $\stackrel{\to }{a},\stackrel{\to }{b},\stackrel{\to }{c},\stackrel{\to }{u},...$

U Kartezijevom koordinatnom sustavu istaknimo dva nekolinerana jedinična vektora:

$\stackrel{\to }{i}$ - jedinični vektor na osi apscisa

$\stackrel{\to }{j}$ - jedinični vektor na osi ordinata.

Vektor $\stackrel{\to }{OT}$ (s početkom u ishodištu), nazivamo radijvektor točke $T(x,y)$ i prikazujemo ga kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora $\stackrel{\to }{i}$ i $\stackrel{\to }{j}$.

$\stackrel{\to }{OT}=x\stackrel{\to }{i}+y\stackrel{\to }{j}$ 

Realne brojeve $x$ i $y$ nazivamo koordinate vektora $\stackrel{\to }{OT}$.

Općenito možemo zapisati:

Vektor $\stackrel{\to }{AB}$ s početkom u točki $A\left(x_1, y_1\right)$ i završetkom u točki $B\left(x_{2,}{y}_2\right)$ ima prikaz:

$\stackrel{\to }{AB}=\left(x_2-x_1\right)\stackrel{\to }{i}+\left(y_2-y_1\right)\stackrel{\to }{j}$.

Neka su zadani vektori $\stackrel{\to }{a}=a_x\stackrel{\to }{i}+a_y\stackrel{\to }{j}$ i $\stackrel{\to }{b}=b_x\stackrel{\to }{i}+b_y\stackrel{\to }{j}$.

Zbroj tih vektora jest vektor čije su komponente jednake zbroju pripadnih komponenata, tj.

$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}=\left(a_x+b_x\right)\stackrel{\to }{i}+\left(a_y+b_y\right)\stackrel{\to }{j}\end{array}$.