Na početku...

Zašto nam trebaju logaritmi vidjeli ste u prošloj jedinici. Bez logaritama je teško riješiti neke eksponencijalne jednadžbe. Međutim, ne mora to biti jedini razlog njihova korištenja. Postoje zakonitosti koje se mogu prikazati logaritamskom skalom. Sigurno ste čuli za Richterovu ljestvicu. Na slici vidite posljedice jednog od najrazornijih potresa u posljednjih $100$ godina, magnitude $8.2$ prema Richteru i 9 prema Mercallijevoj ljestvici. Taj potres pogodio je Meksiko 2017. godine.
Veza između oslobođene energije i magnitude potresa prikazana je formulom i $M = \frac{2}{3} \cdot (\log E - 4.8) .$ Možete li izračunati koliko je energije oslobođeno u tom potresu u Meksiku?

Posljedice razornog potresa u Meksiku — Posljedice potresa

Američki seizmolog Charles Richter — Charles Richter

Zanimljivost

Postoje dvije ljestvice za mjerenje jakosti potresa. Mercallijeva ljestvica definira pojave i promjene koje potresi izazivaju kod ljudi, životinja i na građevinama. U Hrvatskoj je u službenoj upotrebi od 1964.

Richterova ljestvica nam daje iznose magnituda koje označavaju sezmičku energiju proizašlu iz potresa. Ljestvica se procjenjuje prema logaritamskom zapisu najveće amplitude zapisane na seizmografu. Američki seizmolog Charles F. Richter prvi je definirao ovu ljestvicu 1935. godine.

Svojstva logaritma

Prisjetimo se svojstava logaritma.

Dopunite tekst povlačenjem brojeva, odnosno intervala na odgovarajuće mjesto.

Broj $\log_{a} x$ je iz skupa

. Argument

x

je iz skupa

, dok je baza

a

realan broj iz intervala

⟨0, \infty⟩ \ \{1\}

⟨0, \infty⟩

R

null

Za prethodno definirani logaritam vrijede neke jednakosti. Prisjetimo se i nekih posebnih logaritama. Povežite jednake izraze.

$\log_{a} 1$	$1$
$\log_{a} a$	$\ln x$
$\log_{10} x$	$0$
$\log_{e} x$	$\log x$

null

Ponovimo i pravila logaritmiranja. Povežite jednake izraze za baze $a, b > 0$ i $a, b \neq 1,$ argumente $x, y \in R^{+}$ te $p \in R .$

$\log_{a} b$	$\frac{\log x}{\log a}$
$\log_{a} (x \cdot y)$	$\log_{a} x - \log_{a} y$
$\log_{a} (\frac{x}{y})$	$p \log_{a} x$
$\log_{a} x$	$\log_{a} x + \log_{a} y$
$\log_{a} x^{p}$	$\frac{1}{\log_{b} a}$

null

Za rješavanje logaritamskih jednadžbi, osim uporabe džepnog računala i prethodno ponovljenih svojstava, često rabimo svojstvo injektivnosti logaritamske funkcije.

Za $a > 0,$ $a \neq 1$ i $x, y > 0$ vrijedi $\log_{a} x = \log_{a} y \Rightarrow x = y .$

Logaritamska jednadžba

Logaritamska jednadžba je jednadžba koja se može svesti na oblik $\log_{a} x = b,$ gdje je $x \in R^{+}$ nepoznanica, $a > 0,$ $a \neq 1$ baza i $b \in R .$

Primjer 1.

Riješimo jednadžbe.

$5 + \log_{3} (\frac{x}{9}) = 2$

$\ln x = 3$

Sredimo jednadžbu tako da logaritam ostane sam na jednoj strani, $\log_{3} (\frac{x}{9}) = - 3 .$ Zatim pretvorimo logaritam s bazom $3$ u dekadski logaritam i sredimo jednadžbu: $\frac{\log (\frac{x}{9})}{\log 3} = - 3 \Rightarrow \log (\frac{x}{9}) = - 3 \cdot \log 3 .$

S pomoću svojstva injektivnosti, nakon prebacivanja broja $- 3$ u eksponent iza logaritma dobijemo:

$\log (\frac{x}{9}) = \log 3^{- 3} \Rightarrow \frac{x}{9} = \frac{1}{27} \Rightarrow x = \frac{1}{3} .$

Provjerimo uvjet da je argument pozitivan broj.
$\frac{x}{9} > 0 \Rightarrow x > 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ zadovoljava uvjet pa jest rješenje jednadžbe.
Zadatak smo mogli riješiti i bez pretvaranja u dekadski logaritam. Svedemo logaritamsku na eksponencijalnu jednadžbu pa imamo $\frac{x}{9} = 3^{- 3} \Rightarrow x = \frac{9}{27} = \frac{1}{3} .$
Zadatak rješavamo uporabom džepnog računala. Pogledajte videozapis kako se koristiti džepnim računalom za rješavanje jednostavne logaritamske jednadžbe.

Primjer 2.

Riješimo jednadžbu: $\log (x - 3) + \log (x - 2) = \log (2 x + 24) .$

Tu ćemo jednadžbu riješiti primjenom pravila za zbroj logaritama, $\log (x - 3) (x - 2) = \log (2 x + 24)$ i upotrebom injektivnosti: $(x - 3) (x - 2) = 2 x + 24 .$

Sređivanjem jednakosti dobije se kvadratna jednadžba: $x^{2} - 7 x - 18 = 0 \Rightarrow x_{1} = 9, x_{2} = - 2 .$ Još preostaje provjeriti zadovoljavaju li rješenja početnu jednadžbu.

Uvjeti su sljedeći.

$\begin{array}{l} x - 3 > 0 \\ x - 2 > 0 \\ 2 x + 24 > 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{r} \begin{array}{l} x > 3 \\ x > 2 \\ x > - 12 \end{array} \end{array}\} \Rightarrow x > 3$

Zaključak: Jednadžba ima jedno rješenje, $x = 9 .$

Svaku logaritamsku jednadžbu možemo riješiti primjenom injektivnosti, pravila logaritmiranja i svojstva da je $\log_{a} a = 1 .$

Npr. $\log x + \log (x - 1) = 2 \Rightarrow \log x (x - 1) = \log 10^{2} .$ Riješite jednadžbu do kraja.

Riješite jednadžbe i pridružite ih pripadajućim rješenjima.

$\log_{2} (x + 1) = \log_{3} 27$	$x = 7$
$\ln 10 - \ln (7 - x) = \ln x$	$x = - 4$
$\log_{2} (x^{2} - 6 x) = 3 + \log_{2} (1 - x)$	$x = \frac{e - 2}{1 - e}$
$\ln (x + 2) - \ln (x + 1) = 1$	$x_{1} = 2, x_{2} = 5$

null

...i na kraju

Naučili smo kako rješavati eksponecijalne i logaritamske jednadžbe. Vidjeli smo da su usko povezane. U sljedećoj ćemo jedinici još malo govoriti o prijelazu iz jednog oblika jednadžbe u drugi.

No, prije toga odgovorite na pitanja: Kolika je energija oslobođena tijekom potresa u Meksiku 2017. godine? Pogledajte sliku. Možete li utvrditi u koju kategoriju spada taj potres, umjeren, veliki ili razarajući? Istražite!

Richterova ljestvica razaranja s ljudskim i materijalnim posljedicama. — Richterova ljestvica (magnitudna ljestvica)

Uz magnitudu $M = 8.2$ i $\log E = 4.8 + 1.5 \cdot M$ možemo izračunati da je energija koju je taj potres oslobodio jednaka $E = 1.3 \cdot 10^{17} J .$

Procijenite svoje znanje

U jednadžbi $3 \ln (x + 1) + 2 = 8$ nakon sređivanja s pomoću pravila

dobije se

\ln (x + 1) = 2 \ln e

te uz uporabu pravila redom

slijedi

x + 1 = e^{2} \Rightarrow x = e^{2} - 1 .

n \ln x = \ln x^{n}

\ln e = 1

\ln x = \ln y \Rightarrow x = y

null

Je li dobiveni $x$ rješenje jednadžbe? Provjerite uvjet.

null

Iz kojeg je skupa moguće rješenje ovog zadatka?

x \in R

x > 0

x > - 1

x < - 1

null

Znanstvenici su s pomoću povijesnih podataka pokazali da se životni vijek čovjeka produljuje. Neka je formulom

f (x) = 40 + 10 \ln x

dana duljina životnog vijeka ljudi gdje je

x

vrijeme od 1900. godine izraženo u godinama. Izračunajte životni vijek za 2020. godinu.
Rezultate zaokružite na najbliži cijeli broj

Uvrstite

x = 2020 - 1900 = 120

i zaokružite na najbliži cijeli broj.

Koje godine bi čovjekov životni vijek dosegnuo 90 godina?
Napišite najmanju godinu kada će se to dogoditi.

Koja je prva sljedeća godina kada umjesto

f (x)

uvrstite

90 ?

Pripazite na početnih 1900 koje treba dodati rezultatu.

null

Rasporedite elemente na označena mjesta kako biste dobili svojstvo injektivnosti.

Podloga za kviz pitanje o svojstvu injektivnosti logaritma

\log x

\log y

x

y

null

3.2 Rješavanje jednostavnih logaritamskih jednadžbi

Na početku...

Zanimljivost

Svojstva logaritma

Logaritamska jednadžba

Logaritamska jednadžba

Primjer 1.

Primjer 2.

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: