4.1 Brojevna kružnica

Kut i mjera kuta

Ponovimo osnovne pojmove o kutu. Posložite zadane pojmove na pravo mjesto u tekstu.

Polupravac $p$ nazivamo

 

kuta, a polupravac $q$ je

 

kuta.
Mjera kuta $\sphericalangle AVB$ je

 

, dok je mjera kuta $\sphericalangle BVA$ 

 

.
Kutovi za koje vrijedi $\alpha +\beta =180°$ kažemo da su

 

, a za kutove čiji zbroj iznosi  $90°$ kažemo da su

 

. Za točku $V$ kažemo da je

 

kuta.

završni krak

početni krak

$\alpha$

$360°-\alpha$

komplementarni

suplementarni

vrh

null

Pozitivan smjer za označavanje kuta jest u smjeru kazaljke na satu.

Da

Pozitivan smjer jest smjer suprotan kazaljci na satu.

Ne

null

null

Mjerne jedinice kuta

Mjerne jedinice kuta mogu biti radijan i stupanj.

STUPNJEVI

Ako se početna i završna zraka preklapaju, kažemo da zatvaraju kut od $0°$ili $360°$ .

$\mathbf{1}\mathbf{°}$ (čitamo: jedan stupanj) možemo definirati kao $1/360$ punog kuta.

RADIJANI

Radijan je veličina određena omjerom duljine luka kružnice $\left(l\right)$ sa središtem u vrhu kuta i polumjera $\left(r\right)$ te kružnice $\left(\alpha \mathrm{rad}=\frac{l}{r}\right).$ $\mathbf{1}\mathbf{rad}$ (čitamo: jedan radijan) jest kut kojemu je duljina luka jednaka polumjeru kružnog isječka kojim je kut definiran.

Kolekcija zadataka #1

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

S obzirom na definiciju radijana, možemo zaključiti da za duljinu luka  $l$ vrijedi jedna od tvrdnji.

$l>\alpha$

$l=\alpha$

$l<\alpha$

$l=r$

ništa od navedenoga

null

null

Opseg kružnice računamo formulom

 

. Naša kružnica polumjera $1$ ima opseg

 

. S druge strane, promatramo li opseg kružnice kao luk kružnice pripadajuće mjere kuta (u stupnjevima)

 

, lako je zaključiti da za puni kut vrijedi $360°=$

 

.

$2\pi$

$o=2r\pi$

$360°$

$2\pi \mathrm{rad}$

null

null

Ako je $360°=2\pi \mathrm{rad},$ koliko je $1°$ radijana?

$1°=1\mathrm{rad}$

$1°=180\pi \mathrm{rad}$

$1°=\frac{\pi }{180}\mathrm{rad}$

$1°=\frac{\pi }{360}\mathrm{rad}$

$1°=\frac{180}{\pi }\mathrm{rad}$

null

null

$\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}$	$90°$
$1\mathrm{rad}$	$\frac{180°}{\pi }$
$\pi \mathrm{rad}$	$180°$
$\frac{\pi }{180}\mathrm{rad}$	$1°$

null

null

Iskažite formulu za prijelaz iz radijana u stupnjeve i obrnuto.

Povežite u istinite tvrdnje.

$\alpha °=$	$\frac{180°}{\pi }·\alpha$
$\alpha \mathrm{rad}=$	$\frac{\pi }{180°}·\alpha °$

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Primjer 1.

1. Odredimo mjeru kuta $\alpha =125°$ u radijanima.
2. Odredimo mjeru kuta $\alpha =\frac{5\pi }{12}\mathrm{rad}$ u stupnjevima.

Riješimo zadatak uvrštavanjem u prethodno dobivene formule za prijelaz iz stupnjeva u radijane množenjem stupnjeva s $\frac{\pi }{180°},$ odnosno za prijelaz iz radijana u stupnjeve množenjem radijana sa $\frac{180°}{\pi }.$

1. $\alpha =125°=125°·\frac{\pi }{180°}=\frac{25\pi }{36}\mathrm{rad }\approx 2.18\mathrm{rad}$  
2. $\alpha =\frac{5\pi }{12}\mathrm{rad=}\frac{5\pi }{12}·\frac{180°}{\pi }=75°$
   

Brojevna kružnica

Praktična vježba

Pokušajte napraviti sličnu simulaciju namatanja pravca oko kružnice. Budite kreativni, ali i strpljivi.

Potreban alat:

• izrezana kružnica od kartona polumjera $1$ jedinice (sami odredite veličinu jedinice)
• tanki konopac ili konac (ili nešto savitljivo) × $2$ (za pozitivne i negativne brojeve)
  
• mali post it papirići na kojima ćete ispisati brojeve $(...,-3,-2,-1.5,-1,0.5,0,0.5,1,1.5,2,3,\mathrm{4,..}.)$ i zalijepiti ih na konopac tako da čine brojevni pravac (s točno zadanom jediničnom dužinom).
  

Pogledajte sljedeći video. Možda dobijete ideju kako izraditi kružnicu i pravac koji se namata oko kružnice.

Promatrajte što se događa s točkama nakon što jedanput prođemo cijelu kružnicu.

Primjer 2.

Kada bismo nastavili namatati pravac nakon punog kruga (dio pravca duljine $2\pi$), točki kojoj smo u prvom krugu eksponencijalnim preslikavanjem pridružili broj $\frac{\pi }{6}$ sada bismo pridružili broj $2\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{13\pi }{6}.$ Dakle, vrijedi  $E\left(\frac{\pi }{6}\right)=E\left(\frac{13\pi }{6}\right).$
Jednako tako, ako bismo namatali dio pravca s negativnim brojevima u smjeru kazaljke na satu, realan broj $-\frac{\pi }{2}$ pridružili bismo istoj točki kojoj je pridružen broj $\frac{3\pi }{2}$, odnosno vrijedi $E\left(-\frac{\pi }{2}\right)=E\left(\frac{3\pi }{2}\right).$

$\begin{array}{ll}E\left(5\pi \right)& =E\left(\pi \right),E\left(\frac{7\pi }{2}\right)=E\left(\frac{3\pi }{2}\right),E\left(\frac{16\pi }{3}\right)=E\left(\frac{4\pi }{3}\right),E\left(\frac{13\pi }{4}\right)=E\left(\frac{5\pi }{4}\right),E\left(\frac{25\pi }{6}\right)=\\ & =E\left(\frac{\pi }{6}\right),E\left(-\frac{\pi }{6}\right)=E\left(\frac{11\pi }{6}\right),E\left(-\frac{4\pi }{3}\right)=E\left(\frac{2\pi }{3}\right),E\left(-\pi \right)=E\left(\pi \right)\end{array}.$

Glavna mjera kuta

Primjer 3.

Koliko puta trebamo obići puni krug $\left(2\pi \right)$ da bismo točki brojevne kružnice pridružili broj $\frac{37\pi }{4}?$

Zadatak ćemo riješiti tako da izračunamo koliko puta ide $2\pi$ u zadani broj. Pokušajmo s mješovitim brojem danog razlomka. Dijeljenjem $37\pi$ s $4$ dobijemo $9\pi$ s ostatkom. Budući da s $9\pi$ nismo završili puni krug, rastavit ćemo razlomak na $8\pi$ i ostatak.

$\frac{37\pi }{4}=8\pi +\frac{5\pi }{4}=\mathbf{4}·2\pi +\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}$

Ovim smo računom dobili dvije informacije o broju.

• Namatali smo pravac 4 puna kruga dok nismo našli točku kojoj smo pridružili zadani broj.
  
• Vrijedi $E\left(\frac{37\pi }{4}\right)=E\left(\frac{5\pi }{4}\right).$

Koliko puta trebamo obići puni krug $\left(360°\right)$ da bismo točki brojevne kružnice pridružili broj $810°?$

$810°=2·360°+90°$

Dakle, $810°$ na kružnici je u točki gdje i pravi kut nakon $2$ prolaska po cijeloj kružnici, tj. $E\left(810°\right)=E\left(90°\right).$

Razvrstajte ponuđene brojeve ovisno koliko puta treba obići puni krug (pozitivan smjer kretanja), tj koliko puta treba dodati $2\pi$ broju iz intervala $\left[0,2\pi \right.⟩$  kojoj pripada ista točka na kružnici.

$-\frac{\pi }{6}$

$\frac{13\pi }{4}$

$\frac{25\pi }{6}$

$-\pi$

$1500°$

$500°$

$-45°$

$730°$

$\frac{50\pi }{6}$

$5\pi$

  $\frac{171\pi }{3}$

$1000°$

$\frac{99\pi }{4}$

$290°$

$-\frac{11\pi }{4}$

$1090°$

$\frac{7\pi }{2}$

$-\frac{4\pi }{3}$

$-366°$

$\frac{16\pi }{3}$

$0$ punih krugova

$1$ puni krug

$2$ puna kruga

$3$ i više punih krugova

null

null

Glavnu mjeru kuta  $t$ dobijemo tako da mjeru kuta  $t_1$ podijelimo s $2\pi$ ili $360°,$ zatim najmanji cijeli broj rezultata toga dijeljenja označimo s $k$ i izračunamo:

$t=t_1-k·2\pi$ ako se radi o radijanskoj mjeri kuta odnosno

$t=t_1-k·360°$ ako se radi o mjeri kuta u stupnjevima.