Grafički prikaz funkcije kosinus pomoću brojevne kružnice

Prisjetimo se što znamo o kosinusu.

Apscisa točke $E (t)$ brojevne kružnice jednaka je

broja

t,

a ordinata točke

E (t)

brojevne kružnice jednaka je

broja

t .

null

Funkcija je $f (x) = \cos x$

.

null

Temeljni je period funkcije $f (x) = \cos x$

.

null

Istražimo

Pomičite točku $T$ na brojevnoj kružnici (ili pokrenite animaciju) i pratite promjenu u koordinatnmom sustavu. Točke u koordinatnom sustavu imaju koordinate $(x, \cos x) .$

Kako je temeljni period funkcije kosinus $2 π,$ graf se periodički ponavlja u intervalima širine $2 π$ na cijelom skupu $R$ .

Kosinusoida

Graf funkcije kosinus skup je točaka u ravnini $Γ_{f} = \{(x, f (x)) : f (x) = \cos x, x \in R\} .$

Zanimljivost

Graf funkcije kosinus ponekad se naziva i kosinusoida. No, s geometrijskog stajališta, ta je krivulja zapravo jednaka krivulji koja se dobiva kao graf funkcije sinus, dakle, sinusoidi. Kao što kružnicu ili parabolu nazivamo kružnicom ili parabolom, bez obzira gdje su smještene u koordinatni sustav, tako vrijedi i ovdje. S obzirom na koordinatni sustav, za graf funkcije kosinus još kažemo da je pomaknuta sinusoida.

Grafičko prikazivanje funkcije kosinus pomoću tablice

Izračunajte vrijednosti kosinusa za realne brojeve dane u tablici.

$t$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2}{3} π$	$\frac{3}{4} π$	$\frac{5}{6} π$	$π$
$\cos t$

$t$	$\frac{7}{6} π$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{3}{2} π$	$\frac{5 π}{3}$	$\frac{7}{4} π$	$\frac{11}{6} π$	$2 π$
$\cos t$

Ucrtamo li navedene točke u koordinatnom sustavu, dobit ćemo graf na intervalu $[0, 2 π]$ . Zbog temeljnog perioda funkcije kosinus $2 π,$ graf će se periodički ponavljati u intervalima širine $2 π$ na cijelom skupu R.

Grafičko prikazivanje funkcije kosinus pomoću funkcije sinus

Istražimo

Na brojevnoj kružnici pomičite točku $T$ i pratite vrijednosti $\cos t$ i $\sin (\frac{π}{2} + t) .$

Za svaki

t \in R

vrijedi

\cos t = \sin (\frac{π}{2} + t) .

Da

Ne

null

Pogledajte grafove funkcija sinus i kosinus.

Graf funkcije $f (x) = \cos x$ možemo dobiti iz grafa funkcije $g (x) = \sin x$ pomakom sinusoide za $\frac{π}{2}$ ulijevo.

Svojstva funkcije kosinus

Istražimo

Pogledajte ponovno graf funkcije kosinus. Pomičite točku $T$ duž grafa pa odgovorite na pitanja.

Domena funkcije kosinus skup je

. Slika funkcije kosinus jest

. za

k \in Z .

[- 1, 1]

R

null

Funkcija poprima maksimum u točkama oblika

, a minimum u točkama oblika

za

k \in Z .

(2 k π, 1)

((2 k + 1) π, - 1)

null

Nultočke su $\frac{π}{2} + 2 k π$ za $k \in Z .$ .

Da

Ne

null

Funkcija je parna pa je graf simetričan s obzirom na

i periodična s temeljnim periodom

.

2 π

y

os

null

Graf funkcije kosinus raste na intervalima

i pada na intervalima

za

k \in Z .

⟨π + 2 k π, 2 π + 2 k π⟩

⟨2 k π, π + 2 k π⟩

null

Svojstva funkcije kosinus

Svojstva funkcije kosinus: Graf funkcije kosinus ima sljedeća svojstva:

Funkcija je periodična s temeljnim periodom $2 π .$

Nultočke funkcije jesu $x = \frac{π}{2} + k π$ za $k \in Z .$

Graf funkcije kosinus poprima minimum -1 za $x = (2 k + 1) π$ i maksimum 1 za $x = 2 k π$ za $k \in Z .$

Zbog svojstva parnosti kosinusoida je simetrična s obzirom na os $y .$

Graf funkcije raste na intervalima $⟨π + 2 k π, 2 π + 2 k π⟩, k \in Z$ i pada na intervalima $⟨2 k π, π + 2 k π⟩, k \in Z .$

Graf funkcije $f (x) = Acos (bx+c) + d$

Istražimo

Pogledajmo kako broj $A$ utječe na izgled našeg grafa. Mijenjajte vrijednosti broja $A$ i pratite izgled grafa funkcije $f (x) = A \cos x$ s obzirom na graf funkcije $g (x) = \cos x .$

Primjer 1.

Pogledajmo graf funkcije $f (x) = 2 \cos x .$

Graf funkcije f(x)=2cos x

Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije $f (x) = 2 \cos x :$

Skup vrijednosti je $[- 2, 2] .$

Točke maksimuma su $(2 k π, 2), k \in Z .$

Točke minimuma su $(π + 2 k π, - 2), k \in Z .$

Nultočke su $x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z .$

Temeljni period iznosi $2 π .$

Realan broj $A \neq 0$ u zapisu funkcije $f (x) = A \cos x$ rasteže/steže graf funkcije $f (x) = \cos x$ duž

i

to za

A > 1

graf,

za

0 < A < 1

graf,

a za

A = - 1

zrcali s obzirom na

.

null

Razvrstajte svojstvo funkcije kosinus u dvije skupine: one koje se mijenjaju za $A \neq 0$ i one koje ostaju nepromijenjene kod funkcije $f (x) = A \cos x .$

nultočke

Mijenja se

Ne mijenja se

null

Istražimo

Pogledajmo kako broj $b$ utječe na izgled naše kosinusoide. MIjenjajte vrijednosti broja $b$ i pratite izgled grafa $f (x) = \cos (b x)$ s obzirom na graf funkcije $g (x) = \cos x .$

Primjer 2.

Pogledajmo graf funkcije $f (x) = \cos (2 x) .$

Graf funkcije f(x)=cos(2x)

Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije $f (x) = \cos (2 x) :$

Skup vrijednosti je $[- 1, 1] .$

Točke maksimuma su $(k π, 1), k \in Z .$

Točke minimuma su $(\frac{π}{2} + k π, - 1), k \in Z .$

Nultočake su $x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z .$

Temeljni period iznosi $\frac{2 π}{2} = π .$

Realan broj $b \neq 0$ u zapisu funkcije $f (x) = \cos b x$ "rasteže/ssteže" graf funkcije $f (x) = \cos x$ po

.

Pritom za

|b| > 1

kosinusoida se

,

a za

|b| < 1

kosinusoida se

.

null

Razvrstajte svojstva funkcije kosinus u dvije skupine: ona koja se mijenjaju za $b \neq 0$ i ona koja ostaju nepromijenjena kod funkcije $f (x) = \cos (b x) .$

parnost

Mijenja se

Ne mijenja se

null

Istražimo

Pogledajmo kako broj $c$ utječe na izgled našeg grafa. Mijenjajte vrijednosti broja $c$ i pratite izgled grafa funkcije $f (x) = \cos (x + c)$ s obzirom na graf funkcije $g (x) = \cos x .$

Primjer 3.

Pogledajmo graf funkcije $f (x) = \cos (x + \frac{π}{4}) .$

Graf funkcije f(x)=cos(x+c)

Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije $f (x) = \cos (x + \frac{π}{4}) :$

Skup vrijednosti je $[- 1, 1] .$

Točke maksimuma su $(2 k π - \frac{π}{4}, 1), k \in Z .$

Točke minimuma su $(2 k π + \frac{3 π}{4}, - 1), k \in Z .$

Nultočake su $x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z .$

Temeljni period iznosi $2 π .$

Realan broj $c \neq 0$ u zapisu funkcije $f (x) = \cos (x + c)$ "pomiče" graf funkcije $f (x) = \cos x$ po

i

to ulijevo za

i

udesno za

.

null

Razvrstajte svojstva funkcije kosinus u dvije skupine: ona koja se mijenjaju za $c \neq 0$ i ona koja ostaju nepromijenjena za funkciju $f (x) = \cos (x + c) .$

maksimum i minimum

x

koordinate maksimuma i minimuma

Mijenjaju se

Ne mijenjaju se

null

Istražimo

Nacrtajmo graf funkcije $g (x) = \cos x .$ U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo graf funkcije $f (x) = \cos x + d .$ Pogledajmo kako broj $d$ utječe na izgled grafa. Mijenjajte vrijednosti broja $d$ i pratite izgled grafa funkcije $f (x) = \cos x + d$ s obzirom na graf funkcije $g (x) = \cos x .$

Primjer 4.

Pogledajmo graf funkcije $f (x) = \cos x + 2 .$

Graf funkcije f(x)=cosx+d

Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije $f (x) = \cos x + 2$ :

Skup vrijednosti je $[1, 3] .$

Točke maksimuma su $(2 k π, 3)$ za $k \in Z .$

Točke minimuma su $((2 k + 1) π, 1), k \in Z .$

Nultočaka nema.

Temeljni period iznosi $2 π .$

Realni broj $d \neq 0$ u zapisu funkcije $f (x) = \cos x + d$ "pomiče" graf funkcije $f (x) = \cos x$ po

prema

gore za

,

a prema dolje za

.

null

Razvrstajte svojstva funkcije kosinus u dvije skupine: ona koja se mijenjaju za $d \neq 0$ i ona koja ostaju nepromijenjena kod funkcije $f (x) = \cos x + d$ .

slika funkcije

Mijenjaju se

Ne mijenjaju se

null

Vidjeli smo nekoliko načina na koje možemo prikazati graf funkcije kosinus. Odaberite način koji vam se najviše sviđa te riješite sljedeći zadatak.

Zadatak 1.

Nacrtajte graf funkcije $f (x) = - 2 \cos (x - \frac{π}{2}),$ ispišite nultočke i ekstreme te rast i pad funkcije.

Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije $f (x) = - 2 \cos (x - \frac{π}{2})$ :

Nultočke su $x = k π, k \in Z .$

Točke maksimuma su $(\frac{3}{2} π + 2 k π, 2), k \in Z .$

Točke minimuma su $(\frac{π}{2} + 2 k π, - 2), k \in Z .$

Graf funkcije rastući je na intervalima $⟨\frac{π}{2} + 2 k π, \frac{3}{2} π + 2 k π⟩, k \in Z .$

Graf funkcije padajući je na intervalima $⟨- \frac{π}{2} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π⟩, k \in Z .$

...i na kraju

Posložite redoslijed kojim možemo nacrtati graf funkcije $f (x) = A \cos (b x + c) + d = A \cos (b (x + \frac{c}{b})) + d$ iz grafa funkcije $f (x) = \cos x$ pomacima u koordinatnom sustavu.

Pomaknemo za $\frac{c}{b}$ ulijevo/udesno duž $x$ osi i dobijemo $f_{2} (x) = \cos (b (x + \frac{c}{b})) .$
Nacrtajmo graf funkcije $f (x) = \cos x$ .
Odredimo temeljni period i funkciju tako da rastegnemo ili stegnemo po osi $x .$ Dobijemo $f_{1} (x) = \cos b x .$
Rastegnemo/stegnemo duž osi $y$ za faktor $A$ i dobijemo $f_{3} (x) = A \cos (b (x + \frac{c}{b})) .$
Pomaknemo po osi $y$ i dobijemo $f_{4} (x) = A \cos (b (x + \frac{c}{b})) + d .$

null

5.2 Graf i svojstva funkcije kosinus

Na početku...

Grafički prikaz funkcije kosinus pomoću brojevne kružnice