1.1 Skupovi

Pojam skupa i oznake

Okupimo li neke objekte prema određenom načelu u jednu cjelinu, kažemo da smo odredili skup. Članovi ili objekti koji tvore skup nazivaju se elementi skupa.

U matematici se osnovni pojmovi kao što je skup ne definiraju nego se podrazumijevaju jer ih upotrebljavamo za izgradnju drugih matematičkih pojmova.

Zato podrazumijevamo da je skup mnoštvo nekih objekata sa zajedničkim svojstvom.

Elemente skupa obično zapisujemo unutar vitičastih zagrada, a nazive skupova označavamo velikim tiskanim slovima.

Primjer 2.

Kako bismo zapisali i označili skupove iz Primjera 1.?

Povezani sadržaji

Zapišite i označite slovom $A$ skup svih rijeka u Hrvatskoj koje utječu u Jadransko more, a slovom $B$ skup svih rijeka u Hrvatskoj koje utječu u rijeku Savu.

Katkad ne ispisujemo sve elemente skupa unutar vitičastih zagrada nego samo dio i pritom rabimo oznaku "…" ili zapis simbolima kao u sljedećem primjeru.

Primjer 3.

Skup zadan opisno	Nabrajanjem elemenata	Simbolima
Skup $A$ je skup svih slova abecede	$A=\left\{a,b,c,...ž\right\}$	$A=\{x:x\mathrm{j}e\mathrm{slovo}\mathrm{abecede}\}$ (čitaj: $A$ je skup svih elemenata $x$ sa svojstvom da je $x$ slovo abecede)

Skupove predočavamo Vennovim dijagramom, kao na sljedećoj slici koja predstavlja skup $A=\{2,3,5,11,19\}.$

Zanimljivost

Naziv Vennov dijagram potječe od prezimena engleskog logičara i filozofa Johna Venna koji je skupove 1881. godine predstavio u svojemu djelu Simbolička logika.

Broj $5$ pripada skupu $A\mathrm{=}\left\{\mathrm{2}\mathrm{,}\mathrm{3}\mathrm{,}\mathrm{5}\mathrm{,}\mathrm{11}\mathrm{,}\mathrm{19}\right\},$ što simbolima zapisujemo $5\in A$ i čitamo $5$ je element skupa $A.$

Broj $\mathrm{10}$ ne pripada skupu $A,$ što simbolima zapisujemo $\mathrm{10}\mathrm{\notin }A$ i čitamo $\mathrm{10}$ nije element skupa $A.$

Znak $\mathrm{\varnothing }$ simbol je za prazan skup ili skup bez elemenata.

Kardinalni broj

Primjer 4.

Koliko je $\mathrm{card}\left(A\right),$ ako je $A$ skup svih znamenki broja $1726355?$

Ispišimo prvo elemente skupa $A.$

$A=\left\{1,2,3,5,6,7\right\}$

Tada je $\mathrm{card}\left(A\right)=6.$

Podskup

Primjer 5.

Neka je $A=\left\{1,2,3\right\},$ $B=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}.$

Je li $A\mathrm{\subseteq }B$ ili je $B\mathrm{\subseteq }A?$

Svaki je element iz skupa $A$ element skupa $B$ pa vrijedi $\left\{1,2,3\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$ ili $A\mathrm{\subseteq }B.$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Obrazložite sljedeće tvrdnje.

a. Svaki je skup sam sebi podskup.

b. Prazan skup je podskup svakog skupa.

c. Ako je $A\mathrm{\subseteq }B$ i $B\mathrm{\subseteq }A,$ tada je $A\mathrm{=}B.$

Rješenje

Tvrdnje su točne, prema definiciji podskupa:

a. Svaki je element skupa $A$ ujedno element skupa $A,$ što znači da je svaki skup sam sebi podskup.

b. Kako prazan skup nema elemenata, svaki je "element" praznog skupa ujedno element bilo kojeg skupa pa je prazan skup podskup svakog skupa.

c. Ako je svaki element skupa $A$ ujedno element skupa $B$ , te svaki element skupa $B$ i element skupa $A,$ onda su ta dva skupa jednaka.

---

Zadatak 2.

Znate li pravilno upotrijebiti simbole $\mathrm{\in }\text{,}\mathrm{\notin }\mathrm{,}\mathrm{\subseteq }?$

Provjerite u sljedećem zadatku za skupove $A=\left\{2,3,5,7,11\right\}$ i $B=\left\{-0.5,0.5,1.2,4.5,10\right\}.$

Koji od ponuđenih simbola treba upisati tako da dana tvrdnja bude točna?

1. $5$ ∉∈  $A,$
   
2. $8$ ∈∉ $B,$
   
3. $\frac{1}{2}$ ∉∈ $B,$
   
4. $\sqrt{9}$ ∈∉ $A,$
   
5. $8$ ∉∈ $\varnothing ,$
   
6. $-7$ ∈∉ $B,$
   
7. $10$ ∉∈ $A,$
   
8. $\frac{9}{2}$ ∉∈ $B,$
   
9. $7.0$ ∉∈ $A,$
   
10. $4.5$ ∈∉ $A$.

null

null

Zadatak 3.

1. Koje su od sljedećih tvrdnji točne, a koje netočne?
   

   $\left\{3,7\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4,5,6,7\right\}$
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

2. $\left\{1,2,3\right\}\subseteq \left\{1,2\right\}$

   Da

   Ne

   

   null

   null

3. $\left\{-4,3,4\right\}\subseteq \left\{-4,-3,0,4\right\}$
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

4. $\left\{2,4,6\right\}\subseteq \left\{2,4,6\right\}$

   Da

   Ne

   

   null

   null

5. $\varnothing \subseteq \left\{3,4,7\right\}$

   Da

   Ne

   

   null

   null

6. $\left\{3\right\}\subseteq \left\{3,4,7\right\}$
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

7. ​ $\left\{3\right\}\subseteq \varnothing$ 

   Da

   Ne

   

   null

   null

Zatvori

Univerzalni skup

Ako unutar nekog skupa $U$ promatramo odnose među njegovim podskupovima, skup $U$ nazivamo univerzalni skup.

U prikazu Vennovim dijagramima obično pravokutnik predstavlja univerzalni skup, a krugovi (ili elipse) njegove podskupove.

Računske radnje među skupovima

Može li se računati sa skupovima? Promatrajući odnose između elemenata skupova, definirat ćemo računske radnje među njima.

Unija skupova

Presjek skupova

Ako je $A\cap B=\varnothing ,$ kažemo da su skupovi $A$ i $B$ disjunktni skupovi.

Razlika skupova

Komplement skupa

Kako odrediti uniju, presjek, razliku i komplement skupova zapisanih s pomoću vitičastih zagrada? Provjerite u sljedećem zadatku.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Neka je $U=\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$ univerzalni skup, a skupovi $A=\left\{0,2,4,6,8\right\}$ i $B=\left\{2,3,5,6\right\}$ su njegovi podskupovi. Uparite sljedeće skupove s njihovim elementima:

$\stackrel{-}{A}=$	{3, 5}{0, 4, 8}{0, 1, 4, 7, 8, 9}{2, 6}{0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}{1, 3, 5, 7, 9}
$\stackrel{-}{B}=$	{3, 5}{0, 4, 8}{0, 1, 4, 7, 8, 9}{2, 6}{0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}{1, 3, 5, 7, 9}
$A\cup B=$	{3, 5}{0, 4, 8}{0, 1, 4, 7, 8, 9}{2, 6}{0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}{1, 3, 5, 7, 9}
$A\cap B=$	{3, 5}{0, 4, 8}{0, 1, 4, 7, 8, 9}{2, 6}{0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}{1, 3, 5, 7, 9}
$A\backslash B=$	{3, 5}{0, 4, 8}{0, 1, 4, 7, 8, 9}{2, 6}{0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}{1, 3, 5, 7, 9}
$B\backslash A=$	{3, 5}{0, 4, 8}{0, 1, 4, 7, 8, 9}{2, 6}{0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}{1, 3, 5, 7, 9}

null

null

Zadatak 5.

Osjenčajte područje koje predočuje zadani skup klikom na jedno ili više područja na slici.

Zatvori

Kolekcija zadataka 3

Katkad će nam određeni prikaz skupova biti korisniji za rješavanje zadatka u odnosu prema onome u kojem su skupovi zadani u zadatku. Primjerice, ako su skupovi zapisani s pomoću vitičastih zagrada, a nemaju preveliki broj elemenata, Vennov je dijagram pregledniji i jednostavniji prikaz za određivanje njihove unije, presjeka, razlike ili komplementa. Kako elemente skupova rasporediti unutar Vennova dijagrama? Provjerite u sljedećem zadatku.

Zadatak 6.

Gdje mi je mjesto?

Zadatak 7.

Kako izgleda određivanje unije ili presjeka koristeći se Vennovim dijagramom za tri skupa?

Provjerite u sljedećem zadatku. Zapišite osjenčani dio Vennovog dijagrama kao uniju ili presjek skupova $A,$ $B$ i $C$ pa označite točan odgovor.

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Skupovi mogu imati beskonačno mnogo elemenata ili tako veliki broj da bi njihovo ispisivanje unutar Vennova dijagrama bilo nepregledno. No i u tom će nam slučaju Vennov dijagram pomoći pri utvrđivanju njihovih međusobnih odnosa. Provjerite u sljedećem zadatku.

Zadatak 8.

Na slici je prikazan Vennov dijagram za skupove ​ $U,A,B,C.$ Koje su od sljedećih tvrdnji istinite za prikazani dijagram?

$C\subseteq \left(\begin{array}{l}A\cup B\end{array}\right)$

$A\cap C=\varnothing$​

$C\subseteq \bar{C}$ 

$C\cap \bar{C}=\varnothing$

$C\cup B=C$  ​

$C\cup B=B$

$C\cap B=C$  ​

$A\subseteq \bar{C}$  ​

null

 

Zatvori

Primjena skupova

Povezani sadržaji

Prikažite Vennovim dijagramom međusobni odnos sljedećih skupova u geometriji:

$U=\left\{\mathrm{svi\; četverokuti}\right\},$

$P=\left\{svipravokutnici\right\},$

$K=\left\{\mathrm{svi\; kvadrati}\right\},$

$L=\{\mathrm{svi}\mathrm{paralelogrami\},}$

$R=\left\{\mathrm{svi\; rombovi}\right\}\text{,}$

$T=\left\{\mathrm{svi\; trapezi}\right\}.$

Primjer 6.

Jedna je internetska trgovina sportske obuće zaprimila ukupno $200$ narudžbi za dva različita modela obuće A i B. Od toga je $125$ narudžbi modela A, a $102$ modela B. Trgovina je prodavala samo modele A i B.

1. Koliko je bilo narudžbi obaju modela? ​
2. Koliko je narudžbi samo modela A, a koliko samo modela B?

Neka skup $A$ predstavlja narudžbe modela A, a skup $B$ narudžbe modela B.

Povežimo sljedeće rečenice s njihovim simboličkim zapisom i brojčanim iznosom.

Broj narudžbi...

samo modela B.	$\mathrm{card}(B\backslash A)=75$
obaju modela, i A i B.	$\mathrm{card}(A\cup B)=200$
samo modela A.	$\mathrm{card}(A\backslash B)=98$
barem jednog od modela A ili B.	$\mathrm{card}(A\cap B)=27$

 

 

Pri rješavanju takvih zadataka uobičajeno je dane podatke pregledno prikazati Vennovim dijagramom i jednostavno pročitati rješenje u nekom od područja. Obično se prvo upisuje podatak za broj zajedničkih elemenata, a zatim se dalje popunjava područje po područje.

Kako bi to izgledalo u našem primjeru?

Postoji li veza između $\mathrm{card}\left(\begin{array}{l}A\cup B\end{array}\right)$ i $\mathrm{card}\left(\begin{array}{l}A\cap B\end{array}\right)?$ ​

Kardinalni broj unije i presjeka

Istražite kako su povezani kardinalni broj unije i presjeka s pomoću Vennovih dijagrama. Odredite kardinalne brojeve skupova $A,B,A\cup B,A\cap B.$ Upišite dobivene vrijednosti na odgovarajuća mjesta. Primjećujete li neku pravilnost?

Zadatak 9.

Opći brojevi $a,b,c$ na slici označavaju broj elemenata područja (dio skupa) u kojem su napisani. Zapišite s pomoću brojeva $a,b,c:$
$\mathrm{card}\left(A\right)=$
$\mathrm{card}\left(B\right)=$
$\mathrm{card}\left(\begin{array}{l}A\cap B\end{array}\right)=$
$\mathrm{card}(A\cup B)=$ 
$\mathrm{card}\left(A\right)+\mathrm{card}\left(B\right)-\mathrm{card}\left(A\cap B\right)=$ =  .

null

null

Za broj elemenata unije skupova $A$ i $B$ vrijedi formula:

$\begin{array}{l}\mathrm{card}\left(\begin{array}{l}A\cup B\end{array}\right)=\mathrm{card}\left(A\right)+\mathrm{card}\left(B\right)-\mathrm{card}\left(\begin{array}{l}A\cap B\end{array}\right).\end{array}$

Kutak za znatiželjne

Kako glasi slična formula za tri skupa? Istražite.

Zadatak 10.

 Riješite zadatke.