Prisjetite se kako smo određivali najmanji zajednički višekratnik dvaju ili više brojeva. Gdje smo upotrebljavali najmanji zajednički višekratnik?
Najprije smo zadane brojeve rastavili na proste faktore. Za svaki prosti broj koji se pojavljuje u rastavima odredili smo najveći broj pojavljivanja. Toliko će se puta taj prosti broj pojaviti u najmanjemu zajedničkom višekratniku. Najmanji zajednički višekratnik upotrebljavali smo pri zbrajanju razlomaka.
Na sličan način možemo odrediti najmanji zajednički višekratnik algebarskih izraza. Pogledajte animaciju.
Primjer 1.
Odredimo najmanji zajednički višekratnik algebarskih izraza 6x8y i 4x6y7z2.
Algebarski su izrazi zapisani u faktoriziranom obliku. Promotrimo redom jednake faktore i njihove potencije: x8,x6 zatim y,y7 i z2. Za jednake faktore uzmimo potenciju s najvećim eksponentom.
Dobivamo: x8,y7,z2. Odredimo nzv(6,4)=12.
Pomnožimo dobivene izraze i broj: nzv(6x8y,4x6y7z2)=12x8y7z2.
Uparite algebarske izraze s njihovim najmanjim zajedničkim višekratnikom.
x3-27,2x3-6x2
|
2x2(x+3)2(x-3) |
x4+6x3+9x2,2x3-18x
|
2x2(x+3)(x-3) |
2x2+6x,x3-3x2
|
2x2(x-3)(x2+3x+9) |
2x2-18,x2+3x
|
2x(x+3)(x-3) |
Odredite najmanji zajednički višekratnik triju algebarskih izraza. Upišite eksponente na odgovarajuća mjesta.
Primjer 2.
Određivali smo najmanji zajednički višekratnik prirodnih brojeva. Možemo li odrediti najmanji zajednički višekratnik u skupu cijelih brojeva? Koji bi broj bio najmanji višekratnik brojeva 4 i -4? Najmanji cijeli broj koji je višekratnik brojeva 4 i -4 ne postoji jer su višekratnici ...-20, -16, -12, -8, -4, 4, 8, 12...
Zato ćemo reći da je najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva najmanji prirodni broj koji je višekratnik jednoga i drugoga broja. Tako je nzv(-4,4)=4.
Odredimo nzv(x,-x) i nzv(1-x,-1+x). Vidimo da se traži najmanji zajednički višekratnik suprotnih izraza. Ne možemo odrediti koji je od tih izraza pozitivan pa možemo reći da je nzv(x,-x)=x ili nzv(x,-x)=-x, odnosno nzv(1-x,-1+x)=1-x ili nzv(1-x,-1+x)=-1+x.
Odredite
nzv(1-x2,x3-1).
1-x2=(1-x)(1+x)
x3-1=(x-1)(x2+x+1)
Vidimo da se u rastavima na faktore pojavljuju suprotni izrazi
1-x i
x-1 pa ćemo u zajednički višekratnik kao faktor uzeti jednog od njih, na primjer
x-1
. Zato je:
nzv(1-x2,x3-1)=(x-1)(x+1)(x2+x+1).
Zaključimo.
Pri određivanju najmanjega zajedničkog višekratnika algebarskih izraza treba provesti nekoliko koraka:
U osnovnoj ste školi naučili zbrajati i oduzimati brojevne razlomke. Možemo li na sličan način zbrajati i oduzimati algebarske razlomke? Pogledajte videozapis.
Primjer 3.
Zbrojimo algebarske razlomke
72x-x2+4x2-4+53x+6.
Odredimo najmanji zajednički nazivnik.
2x-x2=x(2-x)
x2-4=(x-2)(x+2)
3x+6=3(x+2)
Vidimo da se u rastavima na faktore pojavljuju suprotni izrazi 2-x i x-2 pa ćemo u zajednički višekratnik kao faktor uzeti jednog od njih, na primjer x-2. Zato je:
nzv(2x-x2,x2-4,3x+6)=3x(x-2)(x+2). Odredili smo zajednički nazivnik.
Odredimo izraze kojima proširujemo razlomke.
Nazivnik je prvog razlomka bio
x(2-x), a novi je nazivnik
3x(x-2)(x+2)
pa prvi razlomak treba proširiti izrazom 3x(x-2)(x+2)x(2-x)=-3(x+2).
Nazivnik je drugog razlomka bio
(x-2)(x+2), a novi je nazivnik
3x(x-2)(x+2)
pa drugi razlomak treba proširiti izrazom 3x(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)=3x.
Nazivnik je trećeg razlomka bio
3(x+2), a novi je nazivnik
3x(x-2)(x+2)
pa treći razlomak treba proširiti izrazom 3x(x-2)(x+2)3(x+2)=x(x-2).
Zbroj je tada:
72x-x2+4x2-4+53x+6=-7·3(x+2)+4·3x+5·x(x-2)3x(x-2)(x+2)=-21x-42+12x+5x2-10x3x(x-2)(x+2)=5x2-19x-423x(x-2)(x+2).
Označite izraz kojim proširujemo algebarski razlomak kako bismo od starog dobili novi nazivnik.
Nazivnik
7x2+x3 proširen je na
x3(7+x)(7-x)
množenjem izrazom
Nazivnik
x3+343 proširen je na
x(x+7)2(x2-7x+49) množenjem izrazom
Nazivnik
x3-14x2+49x proširen je na
x(x-7)2(x2-7x+49) množenjem izrazom
Nazivnik
x3-7x2+49x proširen je na
x(x-7)2(x2-7x+49)
množenjem izrazom
Uparite algebarske izraze tako da vrijedi znak jednakosti.
3a3-1-2aa2=
|
2a2-a+3a3 |
a-112-a+110=
|
11a+160
|
a-112+a+110=
|
-2a2+a+3a3 |
3a3+1-2aa2=
|
-a-1160 |
a2a-6-a-23a-9=
|
a+46(a-3) |
a2a-6+a-23a-9=
|
5a-46(a-3) |
3a2-25-2a2+5a=
|
a+10a(a-5)(a+5) |
3a2-25+2a2+5a=
|
5a-10a(a-5)(a+5) |
Zbrojite algebarske razlomke.
3a2b-2ab2+1ab=
2x3-x+5xx-3=
b-aa2b-a-bab2=
Postupak:
b(b-a)-a(a-b)a2b2=b2-ab-a2+aba2b2=b2-a2a2b2
1-aa2+8a+16+2a-12a2+8a=
31-y3+1y-1-y1+y+y2=
Uparite algebarske izraze tako da vrijedi znak jednakosti.
13a-1-11+3a+9a2+9a2+6a1-27a3=
|
12x2(3x+1)(3x-1)2 |
2x9x2-1+2x9x2-6x+1=
|
-4x(3x+1)(3x-1)2 |
2x9x2-1-2x9x2-6x+1=
|
6a-1(1-3a+9a2)(1+3a)2 |
11-3a+9a2-11+27a3-11+6a+9a2=
|
-21+3a+9a2 |
Istražite Leibnizov harmonijski trokut brojeva. Za brojeve
1,12,13,14... kažemo da se nalaze na prvoj dijagonali Leibnizova trokuta. Svaki je od njih zbroj dvaju brojeva koji se nalaze neposredno ispod njega.
Izračunajte brojeve koji se nalaze u prvih nekoliko redova Leibnizova trokuta.
Druga dijagonala Leibnizova trokuta počinje brojem 12. Istražite kojeg je oblika broj koji se nalazi u n-tom redu trokuta na drugoj dijagonali.
Treća dijagonala Leibnizova trokuta počinje brojem
13. Istražite kojeg je oblika broj koji se nalazi u
n-tom redu trokuta na trećoj dijagonali. Dokažite da se svi brojevi na trećoj dijagonali mogu zapisati u obliku razlomka s brojnikom 1.
Dokažite jednakosti.
Izračunajte i zapišite rješenja u obliku potpuno skraćenog razlomka.
Promotrite niz pribrojnika i rješenja u prethodnom zadatku. Uočavate li pravilnost?
Ako bismo nastavili na isti način, koji bi bio sljedeći zadatak? A rješenje?
Zapišite deseti zadatak i njegovo rješenje pa provjerite jeste li dobro pretpostavili.
Zapišite n-ti zadatak i njegovo rješenje. Provjerite jeste li dobro pretpostavili.
Sljedeći bi zadatak bio 49+199, a njegovo je rješenje 511.
Deseti bi zadatak bio 102·10+1+1(2·10+1)(2·10+3)=1021+1483, a rješenje 10+12·10+3=1123.
n-ti zadatak je n2n+1+1(2n+1)(2n+3) i njegovo rješenje n+12n+3.
Provjera:
n2n+1+1(2n+1)(2n+3)=n(2n+3)+1(2n+1)(2n+3)=2n2+3n+1(2n+1)(2n+3)=(2n+1)(n+1)(2n+1)(2n+3)=n+12n+3.