4.5 Rješavanje linearnih nejednadžbi

Nejednadžbu $500-21x\ge 70+35$ trebamo riješiti. Što znači riješiti nejednadžbu?

Riješiti nejednadžbu znači odrediti sve nejednakostnejednadžbunepoznaniceistinituvrijednostirealnog broja $x$ koje uvrštene u nejednakostistinituvrijednostinejednadžbunepoznaniceumjesto vrijednostinepoznaniceistinitunejednadžbunejednakost $x$  daju vrijednostinepoznanicenejednadžbuistinitunejednakostnejednakost.

null

null

Pri rješavanju linearnih nejednažbi provodit ćemo računske radnje tako da nejednakost bude očuvana. Podsjetimo se.

Navedenim smo transformacijama dobivali ekvivalentne nejednadžbe. To su nejednadžbe koje imaju jednake skupove rješenja.

Riješimo nejednadžbu iz uvodnog primjera.

$500-21x\ge 70+35$

Prvo ćemo od obiju strana oduzeti $500.$

$-21x\ge 70+35-500,$ odnosno

$-21x\ge -395.$

Sada ćemo nejednadžbu podijeliti s $-21$ . Znamo da se znak nejednakosti okreće kada dijelimo s negativnim brojem.

$x\le \frac{395}{21}$ , odnosno

$x\le 18.80952381.$

Ako Matej svaki dan za užinu potroši najviše $18.80$ kuna, imat će dovoljno novca za koncert.

Primjer 1.

Riješimo linearnu nejednadžbu​ $12\ge 11\left(x-2\right).$

Prvo ćemo izraz s desne strane srediti.

$12\ge 11x-22/-11x$

$-11x+12\ge -22/-12$

$-11x\ge -34/:\left(-11\right)$

$x\le \frac{34}{11}$

Skup je rješenja nejednadžbe $\left.⟨-\infty ,\frac{34}{11}\right].$

Jesmo li zadatak mogli drukčije riješiti? Objasnite.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Riješite nejednadžbe.

Zadatak 2.

Uparite zadatke s rješenjima.

$x\le -2$ 

$x<-\frac{9}{2}$ 

$\left.⟨-\infty ,-2\right]$ 

$x\le \frac{3}{5}$  ​

$⟨-\infty ,-\frac{9}{2}⟩$ 

$\left.⟨-\infty ,\frac{3}{5}\right]$ 

$⟨\frac{7}{2},\infty ⟩$ 

$x>\frac{7}{2}$  ​

$3x-2>x+5$  ​

$2\le 5\left(1-x\right)$  ​

$8x+7<6x-2$ 

$3\left(5-2x\right)\ge 27$  ​

 

null

Zatvori

Grafički prikaz rješenja linearne nejednadžbe

Rješenje nejednadžbe možemo prikazati na brojevnom pravcu. Pogledajmo.

Primjer 2.

Riješimo linearnu nejednadžbu $2x+7<3-5x.$

$2x+7<3-5x/-7$

$2x<3-5x-7/+5x$ 

$2x+5x<3-7$

$7x<-4/:7$

$x<-\frac{4}{7}$

Skup je rješenja nejednadžbe​ $⟨-\infty ,-\frac{4}{7}⟩.$

Prikažimo rješenje na brojevnom pravcu.

Zadatak 3.

Odaberite pravu linearnu nejednadžbu za prikaz rješenja na brojevnom pravcu.

Broj rješenja linearne nejednadžbe

Podsjetimo se kakve linearne jednadžbe mogu biti s obzirom na broj rješenja. Neke imaju jedinstveno rješenje, neke nemaju rješenja, a nekima je rješenje cijeli skup realnih brojeva.

Što se može dogoditi u linearnim nejednadžbama? Ima li svaka nejednadžba rješenje?

Pogledajmo u sljedećoj animaciji kako ćemo riješiti nejednadžbu $5x+6<2+5x.$

Što možemo zaključiti?

Ako transformacijama nejednadžbe dobijemo nejednakost koja ne vrijedi, odnosno koja nije istinita, tada početna nejednadžba nema rješenje.

Zadatak 4.

Podsjetite se koje su nejednakosti istinite, a koje nisu.

A što ako transformacijama dobijemo nejednakost koja uvijek vrijedi? Pogledajmo sljedeći primjer.

Rješenje linearne nejednadžbe može biti interval realnih brojeva, može biti skup svih realnih brojeva, a može se dogoditi da linearna nejednadžba nema rješenja.

Ako pri rješavanju linearne jednadžbe dobijemo nejednakost koja nije istinita, nejednadžba nema rješenja.

Ako pri rješavanju nejednadžbe dobijemo nejednakost koja uvijek vrijedi, tada je rješenje nejednadžbe skup svih realnih brojeva.

Kutak za znatiželjne

Za dva pozitivna realna broja $a$ i $b$ definiramo harmonijsku sredinu $H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}},$ geometrijsku sredinu $G=\sqrt{ab},$ aritmetičku sredinu $A=\frac{a+b}{2}$ i kvadratnu sredinu $K=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$

Dokažite da je $H\le G\le A\le K.$