9.1 Trigonometrijski omjeri u pravokutnom trokutu

Sličnost pravokutnih trokuta

Promotrimo pravokutni trokut.

Zadatak 1.

Odgovorite na pitanja o pravokutnom trokutu.

Uspoređivali smo trokute i govorili o sukladnim i sličnim trokutima. Za dva trokuta kojima su sukladne odgovarajuće stranice i odgovarajući kutovi kažemo da su sukladni. Kada su dva trokuta slična?

Zadatak 2.

Ponovimo definiciju sličnih trokuta i poučke o sličnim trokutima.

Primjer 1.

Neka su trokuti $△ABC$ i $△A\text{'}B\text{'}C$ slični. Tada su odgovarajuće stranice proporcionalne: $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}.$ Usporedimo omjere duljina stranica trokuta $△ABC$ i omjere duljina stranica sličnog trokuta $△A\text{'}B\text{'}C\text{'}.$ Pogledajte sljedeću animaciju.

 

Zadatak 3.

Što ste zaključili? Odgovorite na pitanja.

Možemo li pokazati da se omjeri duljina stranica u sličnim trokutima ne mijenjaju? Ako su trokuti slični, onda je $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}},$ iz čega slijedi $\frac{a}{b}=\frac{a\text{'}}{b\text{'}}.$ Analogno se može pokazati i za ostale omjere duljina stranica.

Trigonometrijski omjeri

Trigonometrija (grč. trigonon = trokut i metron = mjera) dio je geometrije koji proučava odnose između stranica i kutova trokuta. Mi ćemo se baviti trigonometrijom pravokutnog trokuta.

Zanimljivost

Povijesne crtice

• Početci trigonometrije javljaju se već kod starih Babilonaca i Egipćana, u vezi s promatranjima i istraživanjima gibanja zvijezda po nebeskom svodu.
• U Europu su Arapi donijeli znanje o trigonometriji.

Neki od poznatih matematičara zaslužni za razvoj trigonometrije jesu: François Viète (16. st.), Napier i Bürgi (17. st.), Ruđer Bošković (1711. – 1787.) te posebno Leonhard Euler (1707. – 1783.), koji je u trigonometriju uveo današnje oznake.

„Eulerov rad je svestran i raznovrstan. Bavio se gotovo svim što se ticalo matematike u njegovo vrijeme.”

N. I. Vavilov, ruski botaničar i genetičar

Uvedimo nazive za katete s obzirom na šiljasti kut koji promatramo u trokutu (kao na slici).

Zadatak 4.

Povežite oznake i nazive stranica s obzirom na kut  $\phi$ trokuta na slici.

$r$	nasuprotna katetapriležeća katetahipotenuza
$s$	nasuprotna katetapriležeća katetahipotenuza
$t$	nasuprotna katetapriležeća katetahipotenuza

null

null

Zadatak 5.

Odaberite nazive stranica s obzirom na kut $\phi$ na slici.

 

nasuprotna kateta i hipotenuza

priležeća kateta i hipotenuza

priležeća i nasuprotna kateta

null

null

 

nasuprotna kateta i hipotenuza

 priležeća kateta i hipotenuza

nasuprotna i priležeća kateta

null

null

nasuprotna kateta i hipotenuza

priležeća kateta i hipotenuza

nasuprotna i priležeća kateta

null

 

Omjeri duljina stranica pravokutnog trokuta, kako smo vidjeli, ne ovise o veličini samih stranica, nego isključivo o veličini šiljastog kuta trokuta. Definirajmo trigonometrijske omjere u ovisnosti o kutu $\alpha$ $.$

Primjer 2.

Odredimo trigonometrijske omjere kuta $\alpha$ pravokutnog trokuta $ABC$ ako je duljina nasuprotne katete jednaka $6,$ a priležeće $8$ jedinica.

Pri rješavanju takvih zadataka najprije zapišimo što je zadano i što se traži te napravimo skicu.

Iskoristimo Pitagorin poučak za računanje duljine hipotenuze:

$\left.\begin{array}{l}a=6\\ b=8\end{array}\right\}c=\sqrt{a^2+b^2}=10.$

Nasuprotna kateta kuta $\alpha$ je stranica $a,$ priležeća je $b,$ pa prema definiciji vrijedi:

• $\sin \alpha =\frac{a}{c}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},$
• $\cos \alpha =\frac{b}{c}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},$
• $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},$
  
• $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{b}{a}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$

Odredimo trigonometrijske omjere za komplementarni kut $\beta .$ Nasuprotna kateta kuta $\beta$ je stranica $b,$ priležeća je $a,$ pa prema definiciji vrijedi:

• $\sin \beta =\frac{b}{c}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},$
  
• $\cos \beta =\frac{a}{c}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},$
  
• $\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},$
  
• $\mathrm{ctg}\beta =\frac{a}{b}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$

Zadatak 6.

Duljina jedne katete pravokutnog trokuta iznosi  $9,$ a hipotenuze $41.$ Odredite trigonometrijske omjere šiljastih kutova toga trokuta.

Zadatak 7.

 Povežite nazive stranica u trokutu s odgovarajućim trigonometrijskim omjerom.

nasuprotna i priležeća kateta	kosinustangenssinus
nasuprotna kateta i hipotenuza	kosinustangenssinus
priležeća kateta i hipotenuza	kosinustangenssinus

null

null

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 8.

Provjerite koliko ste usvojili vezu između kutova i stranica pravokutnog trokuta.

1. S obzirom na trigonometrijski omjer $\sin \mathrm{\phi }= \frac{m}{p},$ označite stranice zadanog trokuta povlačenjem pripadajućih oznaka na sredinu stranice.
   

   

   $m$

   $n$
   

   $p$

   

    
   

    
   

2. Pridružite ispravan naziv stranicama trokuta $x,$ $y$ i $z$ u odnosu prema kutu  $\alpha$ ako vrijedi ​ $\mathrm{tg}\mathrm{\alpha }= \frac{x}{y}.$
   

   $x$	nasuprotna katetapriležeća katetahipotenuza
   $y$	nasuprotna katetapriležeća katetahipotenuza
   $z$	nasuprotna katetapriležeća katetahipotenuza

   

3. U trokutu sa stranicama $p,$  $q$ i $r$ i kutovima $\alpha$ i $\beta$ vrijedi $\sin \mathrm{\alpha }= \frac{p}{r}.$ Tada je $\cos \mathrm{\beta }=$

   $\frac{p}{q}$  ​

   $\frac{q}{r}$  ​

   $\frac{p}{r}$  ​

   $\frac{r}{p}$  ​

   $\frac{q}{p}.$  ​

   

4. Ako su katete pravokutnog trokuta ​ $p=12$ i $q=35,$ povežite trigonometrijske omjere za kut ​ $\alpha$ nasuprot stranici $p.$

   $\mathrm{tg}\alpha$  ​	$\frac{12}{37}$  ​
   $\mathrm{ctg}\alpha$	$\frac{12}{35}$  ​
   $\cos \alpha$	$\frac{35}{37}$  ​
   $\sin \alpha$	$\frac{35}{12}$  ​

   

Zadatak 9.

Zadan je pravokutni trokut s katetama $2\mathrm{i}4.$ Ako mu se dvije stranice produže kao na slici, dobije se novi trokut s katetama $3$ i $x.$ Razmislite i odgovorite na pitanja.

1. Jesu li trokuti slični?
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

2. Za kut $\phi ,$ nasuprotna je kateta većeg trokuta:
   

   $3$

   $2$

   $x$  ​

   $4.$

   

   null

3. Omjer stranica većeg trokuta, $\frac{x}{3},$ jednak je:
   

   $\sin \phi$  ​

   $\cos \phi$  ​

   $\mathrm{tg}\phi$  ​

   $\mathrm{c}\mathrm{tg}\phi .$

   

   null
4. Isto tako vrijedi i $\mathrm{tg}\phi =$
   

   $\frac{2}{3}$  ​

   $\frac{1}{2}$  ​

   $2$  

   $\frac{4}{3}$  ​

   $\frac{3}{x}.$

   

   Pomoć:

   U manjem trokutu je isti kut i vrijedi ​ $\mathrm{tg}\phi =\frac{\mathrm{nasuprotna}\mathrm{kateta}}{\mathrm{priležeća}\mathrm{kateta}}.$
   

   null
5. Koristeći jednakost tangensa, izračunajte $x.$ $x=$

   Kvadrat hipotenuze manjeg trokuta je  , a kvadrat hipotenuze većeg trokuta je .

   

   null

Zatvori

Trigonometrijskim omjerima do pravokutnog trokuta

Primjer 3.

​Duljina je jedne katete pravokutnog trokuta  $24,$ a sinus šiljastog kuta uz tu katetu jednak je ​ $\frac{5}{13}.$ Odredimo duljinu druge katete i hipotenuze.

Promotrimo trokut sličan traženom sa stranicama duljine $5$ i $13.$ Sinus je omjer nasuprotne katete i hipotenuze pa je stranica duljine $5$ nasuprotna kateta, a stranica duljine $13$ hipotenuza. Odredimo priležeću katetu:

$\left|B^{\text{'}}{C}^{\text{'} }\right|= \sqrt{{13}^{\mathrm{2 }}- 5^{\mathrm{2 }}}= 12.$

Iz jednakosti trigonometrijskih omjera i oznake kao na slici dobit ćemo duljine ostalih stranica traženog trokuta.

$\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{12}{13}=\frac{24}{\left|AC\right|}\Rightarrow \left|AC\right|=\frac{13·\cancel{24}}{\cancel{12}}=26\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathrm{tg}\alpha =\frac{5}{12}=\frac{\left|AB\right|}{24}\Rightarrow \left|AB\right|=\frac{5·\cancel{24}}{\cancel{12}}=10\end{array}$

Duljina je druge katete $10,$ a hipotenuze $26.$

Jesmo li mogli na neki drugi način dobiti rješenje? Kako?

Zadatak 10.

Znamo li konstruirati trokut iz prethodnog primjera?

Prisjetimo se konstrukcije trokuta. Koliko je najmanje elemenata trokuta potrebno znati za konstrukciju trokuta? Čime je trokut jednoznačno određen? Ako znamo izračunati duljine stranica i veličine kutova, možemo li uvijek konstruirati taj trokut?

Za konstrukciju pravokutnog trokuta iz primjera potrebna su nam još dva podatka. U prethodnom smo primjeru imali zadanu duljinu jedne katete ( $24$), a drugi bi podatak trebao biti kut koji zapravo ne znamo. Znamo samo omjer koji proizlazi iz veličine kuta. Međutim, možemo konstruirati trokut sličan zadanom, čija je kateta nasuprot zadanom kutu duljine $5,$ a hipotenuza duljine $13.$ Zatim priležeću katetu produljimo do $24$te konstrukcijom paralela dobijemo traženi trokut.

Pogledajte animaciju napravljenu u GeoGebri, a zatim pokušajte sami.

Katkad se u zadatcima traži samo konstrukcija kuta (prvi dio naše konstrukcije iz prethodnog primjera). Za konstrukciju trokuta, uz trigonometrijski omjer, potreban je još jedan element trokuta.

Kutak za znatiželjne

1. Konstruirajte na papiru:

   1. kut za koji vrijedi ​ $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$

   2. pravokutni trokut $ABC$ ako je $\mathrm{tg}\alpha =\frac{4}{5},v=\frac{7}{2}.$

2. Za koje realne brojeve $x\mathrm{i}y$ postoje trigonometrijske vrijednosti?

1. $\sin \alpha =\frac{10x}{x^2+25}$

2. $\cos \beta =\frac{1}{2-y}$

1. 1. $\sin \phi =\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

      Prisjetite se konstrukcije korijena te konstruirajte stranicu $a=\left|BC\right|,$ zatim konstruirajte iz vrha $C$ okomicu na $a$ i na kraju kružnicu sa središtem u vrhu $B$ polumjera $2.$ Vrh $A$ traženog kuta sjecište je kružnice i okomice.

   2. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a\text{'}}{b\text{'}}=\frac{4}{5},v=\frac{7}{2}$

      Konstruirate trokut $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$s katetama duljina $4\mathrm{i}5,$ konstruirajte visinu $v\text{'}$ iz vrha $C\text{'},$ produljite $v\text{'}$ do $\frac{7}{2}.$ Dobili ste točku na hipotenuzi, konstruirajte okomicu na visinu u toj točki. Dobili ste pravac na kojemu je stranica $c.$ Nacrtajte traženi trokut.

2. Sinus i kosinus definirani su kao omjer duljina katete i hipotenuze pa je nazivnik uvijek veći od brojnika. Zato je razlomak realan broj između nula i jedan pa se zadatak svodi na rješavanje nejednadžbi.

   1. $0<\frac{10x}{x^2+25}<1\Rightarrow x>0,x\ne 5$
      

   2. $0<\frac{1}{2-y}<1\Rightarrow y<1$