6.5 Modeliranje linearnom funkcijom

Cijena

Primjer 2.

U cijenu usluge prijevoza taksijem ulazi određeni iznos u kunama za početak vožnje (start) i određeni iznos u kunama za svaki prijeđeni kilometar.

Ana je za $7$ kilometara vožnje taksijem platila ukupno $52$ kune, a Dora za $9.5$ kilometara vožnje $67$ kuna. Odredite cjenik usluge taksija prijevoznika $A,$ kojim su se vozile i Ana i Dora?

Koliko iznosi cijena vožnje taksijem prijevoznika $A$ duljine $5.5$ kilometara? Procijenite, a zatim izračunajte je li povoljnija vožnja taksijem prijevoznika $B,$ koji nudi besplatna prva dva kilometra, a svaki sljedeći kilometar naplaćuje $6$ kuna, uz cijenu za početak vožnje (start) od $15$ kuna?

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Marku su pri zapošljavanju za radno mjesto prodavača elektroničkih uređaja u  međunarodnoj tvrtki nudili dvije opcije obračunavanja godišnje plaće uz ograničenje od $30000\mathrm{€}.$ ​

Opcija $A:$ Osnovna plaća od $14000\mathrm{€}$ godišnje plus $10\%$ provizije na iznos od prodaje uređaja.

Opcija $B:$ Osnovna plaća od $18500\mathrm{€}$ godišnje plus $4\%$ provizije na iznos od prodaje uređaja.

1. Ako je $x$​ iznos u eurima dobiven od prodaje elektroničkih uređaja, opišite funkcijom $A=A\left(x\right)$ Markovu plaću za opciju $A$ te funkcijom $B=B\left(x\right)$ za opciju $B.$
   
   $A\left(x\right)=$

    

   , $B\left(x\right)=$

    

    

   $0.04x+18500$

   $0.1x+14000$

   

   null

   null
2. Ako je Marko procijenio da će prve godine prosječno prodati elektroničke uređaje u vrijednosti od $45000€,$ povoljnija mu je opcija .

   

   null

   null
3. Marko bi godišnje trebao prodati elektroničke uređaje najmanje u vrijednosti od   $\mathrm{€}$ tako da mu godišnja plaća ne bude manja od $25000\mathrm{€}?$ Koja je to opcija?

   

   null

   null
4. Vrijednost prodanih uređaja koja će Marku omogućiti da dosegne godišnju granicu plaće ako odabere opciju $A,$ iznosi $€$, a ako odabere opciju $B,$ iznosi   $€$ .

   

   null
5. Domena funkcije $A$ je skup

    

   .
   Slika funkcije ​ $A$ je skup

    

   .
   Domena funkcije $B$ je skup

    

   .
   Slika funkcije $B$ je skup

    

   .

   $\left[14\mathrm{000,30}000\right]$

   $\left[18\mathrm{500,30}000\right]$

   $\left[\mathrm{0,287}500\right]$

   $\left[\mathrm{0,160}000\right]$

   

    
   

   null

6. U kojem će slučaju Marku biti povoljnija opcija $A?$
   

   Ako je ​ $x=75000.$

   Ako je $x<75000.$

   Ako je $x>75000.$ 

   

   null

Zadatak 2.

Za izgradnju tunela poduzeće Ceste traži $5$ milijardi kuna za pripremu gradnje te za svaki izgrađeni kilometar još $1.2$ milijarde kuna, a poduzeće Beton računa cijenu gradnje po formuli $B\left(x\right)=1.6x+3$ u milijardama kuna.

1. Napišite formulu koja računa cijenu gradnje tunela $C\left(x\right)$ za $x$ izgrađenih kilometara u poduzeću Ceste. Što je domena funkcije $C?$ ​
2. Koliko je kilometara dugačak tunel čija je gradnja u poduzeću Ceste plaćena $17$ milijardi $\mathrm{kn}?$
3. Kolika je cijena po kilometru u poduzeću Beton? Kolika je cijena pripreme gradnje u poduzeću $B?$
4. Kako ćete odrediti koje poduzeće ima povoljniju cijenu?
   

Rješenje

1. ​ $C\left(x\right)=1.2x+5.$ Domena te funkcije su svi pozitivni realni brojevi.
2. Duljina je tunela $10\mathrm{km}.$
3. Cijena je po kilometru $1.6$ kune, a priprema košta $3$ milijarde kuna.

4. Odgovor ovisi o broju izgrađenih kilometara. Ako je taj broj manji od $5,$ povoljnija je cijena poduzeća Beton, a ako je veći od $5,$ povoljnija je cijena poduzeća Ceste.

   Do odgovora možemo doći promatrajući grafove funkcija $B\mathrm{i}C$ ili rješavanjem nejednadžbe $B\left(x\right)>C\left(x\right)\mathrm{ili}C\left(x\right)>B\left(x\right).$

---

Zadatak 3.

Jedna tvrtka iznos mjesečnog računa za fiksni telefon računa po formuli ​ $R\left(t\right)=0.39t+75,$ gdje je $t$ broj započetih minuta razgovora, a $R\left(t\right)$  iznos računa u kunama.

1. Interpretirajte koeficijente $0.39$ i $75.$
2. Koliki je najmanji, a koliki najveći iznos mjesečnog računa?
3. Što je domena, a što slika funkcije​ $R?$ Raspravite o tome.

Rješenje

1. Koeficijent smjera dane linearne funkcije je broj $0.39$ i predstavlja iznos u kunama po minuti razgovora jer za svaku dodatnu minutu razgovora iznos računa naraste za $0.39$ kuna. Početna vrijednost funkcije $R$ je $75$ kuna ili $R\left(0\right)=75\mathrm{kn},$ što možemo interpretirati kao mjesečnu pretplatu, odnosno fiksni trošak.
2. Iznos računa ne može biti manji od mjesečne pretplate, što znači da je najmanji iznos računa $75$ kuna. Najveći ćemo iznos računa dobiti ako razgovaramo neprekidno cijeli mjesec, odnosno za ​ $t=30·24·60=43200$ minuta (ili $31·24·60=44640$ minuta ako je mjesec od $31$ dana) i račun tada iznosi $16923$ kune (ili $17 484.6\mathrm{kn}$).

3. Domena slijedi iz prethodnog razmatranja: $\begin{array}{l}\left\{\mathrm{0,1,2,...43}200\right\}\mathrm{ili}\left\{\mathrm{0,1,2,...44}640\right\}.\end{array}$

   Slika funkcije ​ $R$ je $\left[75,16923\right]\mathrm{ili}\left[75,17484.6\right].$
   

---

Zatvori

Temperatura

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Tina je ljetos razgovarala s prijateljicom Anom iz Toronta u Kanadi. Dok se Tina žalila na vrućine, Ana je rekla da uživa na ugodnih $62°\mathrm{F}$ (Fahrenheita). Tina nije imala predodžbu o tome kolika je to temperatura u $°\mathrm{C},$ ali zna da je veza linearna i da je negdje vidjela tablicu:

temperatura u $°\mathrm{F}$	$32$	$212$
temperatura u $°\mathrm{C}$	$0$	$100$

Pomozite Tini otkriti kolika je temperatura u Torontu u $°\mathrm{C}.$

1. Ako je ​ $t$ temperatura u $°\mathrm{F},$ $f\left(t\right)=at+b$ je temperatura u $°\mathrm{C}.$ Tada koeficijent $a$ predstavlja
   

   promjenu temperature u $°\mathrm{F}$ kad temperatura naraste za $1°\mathrm{C}$

   promjenu temperature u $°\mathrm{C}$ kad temperatura naraste za $1°\mathrm{F}$

   odsječak na osi ordinata

   odsječak na osi apscisa.

   

   null

   null

2. Koeficijent smjera funkcije $f$ je:​

   $\frac{5}{9}$

   $-\frac{5}{9}$

   $-\frac{160}{9}$  ​

   $\frac{160}{9}.$

   

   null

   null

3. Veza između $°\mathrm{F}$ i $°\mathrm{C}$ dana je formulom:
   

   $f\left(t\right)=\frac{9}{5}t+32$

   
   $f\left(t\right)=-\frac{5}{9}t+32$ 
   
   

   $f\left(t\right)=\frac{9}{5}t-32$

   $f\left(t\right)=\frac{5}{9}t-\frac{160}{9}.$

   

   null

   null

Zadatak 5.

Trkač $A$ krenuo je trčati i od početne je pozicije trčao konstantnom brzinom od $8$ kilometara na sat. Trkač $B$ krenuo je $10$ minuta kasnije u istom pravcu i trčao konstantnom brzinom od $12$ kilometara na sat.

$t$ ( $\min$)	$0$	$15$	$30$	$60$
$s$ ( $\mathrm{km}$)	$0$	$2$	$4$	$8$

Prikazana tablica vrijednosti opisuje gibanje

 

$t$ ( $\min$)	$10$	$15$	$30$	$60$
$s$ ( $\mathrm{km}$)	$0$	$1$	$4$	$10$

Prikazana tablica vrijednosti opisuje gibanje

 

trkača $B$

trkača $A$

null

null

Zadatak 6.

Zapišite pravila pridruživanja $s\left(t\right)$ koja opisuju gibanja trkača $A$ i trkača $B$ iz prethodnog zadatka. Hoće li trkač $B$ dostići trkača $A?$ Kako ćete to provjeriti?

Rješenje

Trkač $A,$ ovisno o vremenu $t$ (sati) nakon početne pozicije, prijeđe put $s\left(t\right)=8t$ ​(kilometara).

Trkač $B,$ ovisno o vremenu $t$ (sati) nakon početne pozicije, prijeđe put $s\left(t\right)=12\left(t-\frac{1}{6}\right)=12t-2$ ​(kilometara).

Trkač $B$ će dostići trkača $A$ u trenutku $t=0.5\mathrm{h}$ i to kada budu $4\mathrm{km}$ od početne pozicije. Iz tablica vrijednosti se vidi kako su obojica za $t=0.5\mathrm{h}$ na istoj poziciji. ​

---

Zatvori

Linearna povezanost

Zadatak 7.

Lea je u potrazi za grafičkim studijem u kojem će tiskati reklamne majice. Na mrežnim stranicama studija Leonardo pronašla je tablicu s cijenama po broju naručenih komada majici.

Kakva je veza između cijene tiskanja i broja naručenih komada? Kako će Lea znati koliko iznosi cijena majice po komadu?

U prethodnom smo zadatku tražili vezu između dviju veličina u skupu podataka zadanih tablicom. U koordinatnom smo sustavu taj skup točaka mogli povezati s pravcem koji će prolaziti kroz sve nacrtane točke. Zaključili smo da je veza između dviju veličina linearna. Da je njihova veza linearna, upućuju i konstantne razlike susjednih vrijednosti u tablici.

Otkrivanje veze između dviju veličina omogućuje računanje ili predviđanje nekih vrijednosti koje nisu navedene unutar ili izvan zadanog skupa podataka.

U realnim situacijama vrlo često točke, koje prikazuju neki skup podataka, ne leže sve na  pravcu, ali su vrlo blizu nekog pravca. I takvu ćemo vezu smatrati linearnom vezom.

Pravac regresije

Primjer 3.

Promotrimo tablicu s podatcima o broju kućanstava unutar Europske unije ( $28$ zemalja) koja imaju internetski pristup. Podatci obuhvaćaju posljednjih $10$ godina i izraženi su u postotku u odnosu na ukupan broj kućanstava.

(Izvor: EUROSTAT, poveznica)

Prikažimo grafički dane podatke. Što primjećujemo?

Zadatak 8.

Raspravite o oznakama, jedinicama i grafičkom prikazu u koordinatnom sustavu.

Nacrtali smo takozvani dijagram rasipanja. Primjećujemo da broj kućanstava s internetskim pristupom raste s vremenom. Je li taj rast linearan? Postoji li pravac, odnosno graf linearne funkcije koji će povezati nacrtane podatke?

Zadatak 9.

U bilježnici povucite neki pravac za koji mislite da dobro povezuje nacrtane točke. Napišite jednadžbu tog pravca, odnosno pravilo pridruživanja linearne funkcije $f$ koja povezuje postotak kućanstava s brojem godina.

Jeste li svi dobili isto pravilo? Izračunajte $f\left(0\right),f\left(11\right)if\left(12\right).$ Protumačite i usporedite dobivene rezultate.

Traženi ćemo pravac vrlo precizno odrediti s pomoću tehnologije. Možemo se koristiti gotovim računalnim programima ili grafičkim džepnim računalom. Sljedeći je pravac dobiven proračunskim tablicama.

Kažemo da smo upotrebljavali linearnu regresiju, a dobiveni pravac zovemo pravac regresije.

Postoje razni kriteriji po kojima se određuje koji pravac najbolje aproksimira zadane točke. Jedan od najčešćih je takozvana metoda najmanjih kvadrata. Ideja je metode da se minimizira zbroj kvadratnih odstupanja eksperimentalnih $y$ vrijednosti (dobivenih podataka-točaka) od teoretskih $y_t$  (pravac). Onaj pravac za koji je zbroj kvadrata udaljenosti ${\left(y-y_t\right)}^2$ svih točaka od pravca najmanji je pravac regresije.

Formule kojima se računaju njegovi koeficijenti su nešto složenije, kako za izvesti tako i za korištenje. Stoga ćemo mi za određivanju pravca regresije koristiti gotove računalne programe ili grafičko džepno računalo koji prilikom računanja uglavnom upotrebljavaju metodu najmanjih kvadrata.

Zadatak 10.

Raspravite o sljedećem pitanju!

U prethodnom smo primjeru uočili da se postotak kućanstava s internetskim pristupom linearno povećavao posljednjih $10$ godina. Možemo li to očekivati i u sljedećih $10$ godina?

Primjer 4.

Marin i Ante odlučili su tijekom ljeta zaraditi džeparac prodajom sladoleda i hot-dogova pokraj gradskog parka. Kao početnici u organizaciji poslovanja nisu znali kako odrediti potrebnu količinu robe, što je tijekom ljetnih vrućina vrlo važno. Zato su tijekom određenog vremena bilježili kako prodaja ovisi o dnevnoj temperaturi zraka. Dobili su sljedeće podatke za deset dana:

Temperatura zraka $(°\mathrm{C})$	Broj prodanih sladoleda	Broj prodanih hot-dogova
$20$	$35$	$86$
$25$	$55$	$65$
$27$	$68$	$64$
$29$	$80$	$43$
$30$	$91$	$36$
$34$	$121$	$24$
$33$	$126$	$27$
$22$	$50$	$78$
$26$	$70$	$70$
$37$	$146$	$18$

Grafički prikažite podatke, posebno za prodaju sladoleda, posebno za prodaju hot-dogova.

U prethodnom smo primjeru lako vizualno odredili da je veza ili korelacija između dvaju skupova podataka (kao što su temperature zraka i broj prodanih sladoleda) linearna te da će pravac regresije prilično precizno povezati točke na grafu.

Ako pravac regresije ima negativan nagib, kažemo da je veza ili korelacija među promatranim skupovima podataka negativna.

Ako pravac regresije ima pozitivan nagib, kažemo da je veza ili korelacija među promatranim skupovima podataka pozitivna.

Pearsonov koeficijent korelacije

Neke skupove podataka možemo bolje, a neke lošije opisati linearnom funkcijom. Koliko je dobra ili jaka povezanost, odnosno korelacija među danim podatcima?

Linearnu povezanost mjerimo Pearsonovim koeficijentom korelacije $\left(r\right).$

Njegove su vrijednosti: $-1\le r\le 1$. Pritom, što je vrijednost koeficijenta korelacije bliže broju $1$ ili $-1,$ povezanost je bolja. Ako je $r=0,$ nema povezanosti. Na sljedećoj su slici zorno prikazane neke korelacije i vrijednosti koeficijenta korelacije  $r.$

Kutak za znatiželjne

Istražite tko je bio Pearson. Kako se računa Pearsonov koeficijent korelacije, po kojoj formuli? Izračunajte koeficijent korelacije temperature zraka i broja prodanih sladoleda . Isto tako, izračunajte koeficijent korelacije temperature zraka i broja prodanih hot-dogova. Koje značenje ima $r^2,$ odnosno koeficijent determinacije?

Zadatak 11.

Dani su podatci o prosječnim plaćama u građevinarstvu za razdoblje od 2000. do 2013. godine. Koristeći se interaktivnom Geogebrinom aktivnosti, nacrtajte grafički prikaz tih podataka. Zatim odredite pravac regresije i koeficijent korelacije.

Možete li odgovoriti koliko je iznosila prosječna plaća u građevinarstvu u 2014., 2015. i 2016. godini? Koliko će iznositi 2020. godine?

Ima li smisla predviđati (i koliko daleko) upotrebljavajući dobivene podatke?

Prosječna je plaća 2014. iznosila $10643.25$ kuna, a 2015. $10965.86$ kuna.

Primjenjujući dobivenu formulu i za 2020. godinu, dobit ćemo iznos od $12578.91$ kuna. Koliko god nam to izgleda realno u stvarnosti, dugoročnije prognoze treba uzeti s velikom rezervom jer tu je niz drugih činjenica koje utječu na rezultat: ekonomskih, migracijskih, klimatskih, političkih...

Projekt

Olimpijski rekordi

Pronađite podatke o olimpijskim rekordima (poveznica) u:

• skoku uvis za žene i za muškarce do 2000. godine
  
• trčanju na $100$ metara za žene i za muškarce do 2000. godine.
  

1. Prikažite dobivene podatke grafički u ovisnosti o vremenu. Postoji li korelacija vremena i skupa podataka? Opišite korelaciju.​
2. Koristeći se aktivnošću za računanje linearne regresije (ili grafičkim džepnim računalom), odredite jednadžbe pravaca regresije i koeficijente korelacije.
3. Prema dobivenim jednadžbama odredite rekorde u promatranim disciplinama na olimpijadama u razdoblju od 2004. do 2016. Koliko se te vrijednosti razlikuju od stvarno postignutih zlatnih rezultata?
4. Usporedite rezultate za žene i rezultate za muškarce. Mogu li se u nekom trenutku podudarati? Raspravite o svojim zapažanjima i napišite kratak osvrt i zaključak. ​