Matematika 1 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Zbog jakog vjetra, morskih struja, a najviše zbog ljudskog neiskustva i neopreznosti, ljeti se često događaju nesreće na moru. Organiziraju se traganja i spašavanja brodova i ljudi, a najčešće „hrabrih ” turista.

Lučka kapetanija Split zaprimila je dojavu o nestanku stranog turista u Bračkom kanalu. Krenuli su u potragu trima brodovima, od kojih je jedan bio u Milni, na otoku Braču, jedan u Rogaču, na otoku Šolti, a treći je krenuo iz Splita. Pred njima je težak zadatak. Krenimo u potragu!

Pickova formula

Ako u koordinatnom sustavu nacrtamo sve točke čije su koordinate cijeli brojevi, dobit ćemo kvadratnu mrežu, a nacrtane točke nazivamo čvorovi mreže.

Spajamo li redom niz točaka tako da se dobivene linije ne presijecaju i vratimo se u početnu točku, dobit ćemo jednostavan poligon kojemu se u svakom vrhu ili čvoru sastaju samo dvije linije. Spojnice dvaju vrhova ili čvorova još nazivamo bridovi poligona.

Neki će čvorovi mreže pritom biti na nacrtanoj liniji koju ćemo nazvati rub poligona, neki unutar poligona, a neki izvan poligona. Čvorove na rubu (i izvan) ispunit ćemo bojom („pune” točke), a u unutrašnjosti bijelom bojom („prazne” točke).

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Nacrtani su poligoni u kvadratnoj mreži.

Na slici je prikaz nekoliko poligona u kvadratnoj mreži.

Koliko ima čvorova na rubu, a koliko unutar svakog od poligona?
Izračunajte površinu prikazanih poligona. Kakav ste broj dobili za površinu?

Broj ćemo rubnih čvorova označivati s $r ili r (P),$ a broj unutarnjih s $u ili u (P) .$

Tada je:

$r (P 1) = 3, u (P 1) = 0, p (P 1) = 0.5$

$r (P 2) = 4, u (P 2) = 0, p (P 2) = 1$

$r (P 3) = 8, u (P 3) = 4, p (P 3) = 7$

$r (P 4) = 4, u (P 4) = 0, p (P 4) = 1$

$r (P 5) = 4, u (P 5) = 0, p (P 5) = 1$

$r (P 6) = 14, u (P 6) = 6, p (P 6) = 12 .$

Zadatak 9.

Postoji li neka veza među dobivenim brojevima $r, u i p ?$ Nacrtajte još poligona u kvadratnoj mreži i za svaki od njih odredite ta tri broja. Sve podatke zapišite pregledno u tablicu i pokušajte uočiti pravilnost. Počnite od jednostavnijih poligona prema složenijima.

Sljedeća će vam GeoGebrina interakcija u tome pomoći.

Odaberite znak računske radnje tako da dobijete točnu tvrdnju. Za dijeljenje upotrijebite znak /, a za množenje ×.
$p = r$ 2 $u$ 1.

null

Zatvori

Pickova formula:

Ako svi vrhovi jednostavnoga povezanog poligona imaju cjelobrojne koordinate, tada vrijedi:

$p = \frac{r}{2} + u - 1,$

gdje je $r$ broj vrhova na rubu poligona, $u$ broj vrhova unutar poligona, a $p$ površina poligona.

Ta se formula naziva Pickova formula.

Zanimljivost

Fotografija G.A.Pick. — Georg Alexander Pick

Georg Alexander Pick (10. kolovoza 1859. – 26. srpnja 1942.) austrijski je matematičar. Poznat je po svojoj jednostavnoj formuli koju je otkrio još davne 1899. godine, ali objavio tek 1969. u knjizi Mathematical Snapshots by Steinhaus.

Manje je poznata, ali zanimljiva činjenica da je Georg Pick imao važnu ulogu u karijeri čuvenog fizičara Alberta Einsteina. Naime, jedan je od najzaslužnijih za njegovo imenovanje na njemačkom sveučilištu u Pragu 1911. godine. Tijekom dvije godine zajedničkog rada bili su nerazdvojni prijatelji, a osim znanosti povezivala ih je i glazba. Pick, koji je svirao u kvartetu, uveo je Einsteina u znanstvene i glazbene praške krugove. Govorilo se da je Pick imao veliku ulogu u razvoju Einsteinove opće teorije relativnosti te da je Pick upoznao Einsteina s dostignućima diferencijalne geometrije toga vremena. Einstein je dobio mjesto na Sveučilištu Princeton u SAD-u, a Georg Pick poslan je u nacistički logor Theresienstadt, u kojemu je umro 1942. godine.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Primjeri poligona za koje vrijedi i ne vrijedi Pickova formula.

Provjerite vrijedi li Pickova formula za prikazane poligone.

Pickova formula ne vrijedi za posljednji, plavi poligon jer postoji vrh iz kojeg izlazi više od dvaju bridova, odnosno nije jednostavan poligon.

Pickova formula ne vrijedi ni za prvi, ljubičasti poligon jer ima „rupu ” , nije povezan poligon.

Pickova formula vrijedi za srednji, crveni poligon.

Zadatak 11.

U novome hotelskom naselju gradi se veliki park površine $250 m^{2}$ i treba postaviti prskalice za vodu kako bi se trava lakše zalijevala i imala lijepu zelenu boju.

Tijekom projektiranja u vrtu su kolcima i špagom napravili kvadratnu mrežu. Posebnom su špagom oko $10$ kolaca označili rub područja unutar kojeg će postaviti prskalice. To područje obuhvaća $64 %$ površine cijelog parka, a prskalice će postaviti u čvorove mreže. Kolci su međusobno razmaknuti $4$ metra (horizontalno i vertikalno). Koliko prskalica treba postaviti unutar označenog područja?

Na slici je prikaz područja na koji treba smjestiti prskalice. — Primjer skice područja na koje treba postaviti prskalice

Površina označenog područja je

m^{2} .

U kvadratnoj mreži to je kvadratnih jedinica.

Na rubu područja je

10

čvorova, a unutar područja čvorova.

Treba postaviti ukupno prskalica unutar označenog područja.

null

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Pickova je formula vrlo jednostavna formula s kojom ste se možda susreli i u ranijoj dobi. Primjerice, dok ste učili i istraživali na geoploči.

Matematičari vole jednostavne stvari, ali isto tako vole za sve što naslute ili upotrebljavaju znati jasan razlog zašto je to tako. Jeste li se pitali zašto vrijedi Pickova formula? Možemo li je objasniti jednostavnim matematičkim argumentima?

Njezin dokaz nije tako kratak i jednostavan kao sama formula, ali mnoge dijelove možete razumjeti i samostalno napraviti.

Istražite različite pristupe u dokazivanju – od geometrijskoga, algebarskoga do induktivnog pristupa – za one koji žele još malo više.

Možda će vam pritom pomoći sljedeći zadatak i GeoGebrin interaktivni zadatak koji ste upotrebljavali na početku istraživanja.

Zadatak 12.

Crtež kao pomoć pri dokazu Pickove formule za trokut i pravokutnik.

Dokažite Pickovu formulu za pravokutnik.
Dokažite Pickovu formulu za pravokutni trokut.
Dokažite Pickovu formulu za proizvoljan trokut.

Neka su stranice pravokutnika $a,$ odnosno $b$ jediničnih dužina kvadratne mreže.

Uočite da na svakoj stranici pravokutnika postoji jedan rubni čvor više nego što je njezina duljina. Ukupan broj rubnih čvorova jednak je zbroju čvorova na stranicama umanjenom za $4$ jer smo svaki vrh pravokutnika brojili dva puta (jer se nalazi na dvjema stranicama). Zato je ukupan broj rubnih čvorova jednak opsegu, odnosno $r = 2 a + 2 b .$

Isto tako $u = (a - 1) (b - 1) = a b - a - b + 1 .$

Tada je $\frac{2 a + 2 b}{2} + a b - a - b + 1 - 1 = a b = p .$
Dokaz se svodi na prethodni slučaj, odnosno pravokutnik ako pokažete da broj čvorova na hipotenuzi možemo zanemariti! Zašto?

(Uputa: Pretpostavite da postoji $k$ čvorova na hipotenuzi.)
Proizvoljan se trokut može u kvadratnoj mreži promatrati kao dio pravokutnika kojem se oduzme nekoliko pravokutnih trokuta. Tako se taj slučaj svodi na prethodne uz malo računanja s algebarskim izrazima. Provedite računanje.

...i na kraju

Zabavimo se...

U kvadratnoj mreži ucrtano je

30

točaka koje su vrhovi

9

kvadrata. Šest je točaka označeno crvenom bojom. To su vrhovi koji su zajednički za dva kvadrata.

Pronađite svih devet kvadrata.

brod Split	$(- 2, - 2)$
brod Milna	$(0, - 3.5)$
brod Rogač	$(0, 0)$

brod Rogač $(2)$	$(- 3, - 1)$
brod Milna $(2)$	$(1, - 2)$
brod Split $(2)$	$(- 0.5, - 1.5)$

Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Potraga

Zadatak 1.

Svega pomalo

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Povezani sadržaji

Zadatak 7.