4.4 Svojstva uređaja u skupu R i intervali

Uređaj na skupu realnih brojeva

Realne smo brojeve smjestili na brojevni pravac. Realni broj može biti pozitivan, negativan ili nula.

Pozitivni realni brojevi su manjivećiod nule. Na brojevnom su pravcu smješteni lijevodesnood nule. Negativni su realni brojevi manjivećiod nule. Na brojevnom su pravcu smješteni desnolijevood nule.

null

null

Ako je realni broj $a$ pozitivan, pišemo​

 

.
Ako je realni broj $a$ negativan, pišemo

 

.

$a>0$

$a<0$

null

null

Usporedili smo realni broj s nulom. Na isti način možemo usporediti dva realna broja.

Opisali smo kako realne brojeve možemo uspoređivati po veličini pa kažemo da smo u skup realnih brojeva uveli uređaj. Pogledajmo koja su svojstva uređaja u skupu realnih brojeva.

Za svaka dva realna broja $a,b$ vrijedi jedna od mogućnosti:

$a<b$ ili $a=b$ ili $a>b.$

Zadatak 1.

Odaberite točan odgovor.

 Vrijedi: $-5$ je većemanjejednako od $-1$ i $-1$ je manjejednakoveće od $3$ pa je $-5$  većemanjejednako od $3$

null

null

Ako za realne brojeve $a,b,c$ vrijedi $a<b$ i $b<\mathrm{c,}$ onda je $a<c.$

Uređaj i računske radnje

Rješavali ste linearne jednadžbe. Koja ste pritom svojstva jednakosti primjenjivali? Prisjetimo se.

Za realne brojeve $a,b,c$ za koje vrijedi $a=b$ vrijedi i $a+c=b+c.$

Za realne brojeve $a,b,c,$ $c\ne 0$ za koje vrijedi $a=b$ vrijedi i $a·c=b·c.$

Vrijede li slična svojstva i za nejednakosti? Pogledajmo.

Zaključimo.

Ako su $a,b,c$ realni brojevi za koje vrijedi $a<b,$ onda vrijedi i $a+c<b+c.$

Ako su $a,b,c$ realni brojevi i $c>0$ te vrijedi $a<b,$ onda vrijedi i $a·c<b·c.$

Ako su $a,b,c$ realni brojevi i $c<0$ te vrijedi $a<b,$ onda vrijedi $a·c>b·c.$

Svojstva uređaja i računskih radnji možemo iskazati i riječima.

Ako objema stranama nejednakosti dodamo isti broj, znak se nejednakosti ne mijenja.

Ako obje strane nejednakosti pomnožimo s istim pozitivnim brojem, znak se nejednakosti ne mijenja.

Ako obje strane nejednakosti pomnožimo s istim negativnim brojem, znak se nejednakosti okreće.

Uvedimo još jednu oznaku.  

Zadatak 5.

Označite točan odgovor.

Intervali

Primjer 1.

Prikažimo na brojevnom pravcu skup $A$ svih realnih brojeva većih od $2.$

Brojevi veći od $2$ nalaze se na brojevnom pravcu desno od broja $2.$ Broj $2$ nije veći od $2$ pa $2\notin A.$ Na brojevnom ćemo pravcu označiti sve brojeve desno od $2,$ a na mjestu broja $2$  stavit ćemo prazan kružić.

Skupove koje opisujemo s pomoću nejednakosti nazvat ćemo intervalima. Uvest ćemo oznake za intervale, intervale ćemo prikazivati na brojevnom pravcu i određivati unije, presjeke i razlike intervala.

Skup svih realnih brojeva većih od $2$ možemo zapisati:

1. s pomoću oznaka za skupove: $\left\{x\in \mathbf{R}:x>2\right\}$ ​
2. s pomoću oznaka za interval: $⟨2,\infty ⟩.$
   

Oznaka $⟨2$ ​znači da broj $2$ ne pripada intervalu.​

Primjer 2.

Prikažimo na brojevnom pravcu skup $B$ svih realnih brojeva većih od $\mathrm{2 }$ili jednakih $2.$

Brojevi veći od $2$ nalaze se na brojevnom pravcu desno od broja $2.$ Broj $2$ jednak je $2$ pa vrijedi $2\ge 2$ te je $2\in B.$ Na brojevnom ćemo pravcu označiti sve brojeve desno od $2,$ a na mjestu broja $2$ stavit ćemo puni kružić.

Skup $B$ zapisat ćemo ovako: $\left\{x\in \mathbf{R}:x\ge 2\right\}=\left[2,\infty \right.⟩.$
Oznaka $\left[2\right.$ znači da broj $2$ pripada intervalu.

Odaberite pravi zapis intervala za svaki brojevni pravac.

$⟨-\infty ,2⟩$  

$\left.⟨-\infty ,2\right]$ 

$⟨3,\infty ⟩$

$\left[3,\infty \right.⟩$  

null

null

$\left[3,\infty \right.⟩$ 

$⟨3,\infty ⟩$

$\left.⟨-\infty ,2\right]$

$⟨-\infty ,2⟩$

null

null

$⟨-\infty ,2⟩$

$\left.⟨-\infty ,2\right]$

$⟨3,\infty ⟩$

$\left[3,\infty \right.⟩$  

null

null

$⟨3,\infty ⟩$

$\left[3,\infty \right.⟩$

$⟨-\infty ,2⟩$

$\left.⟨-\infty ,2\right]$

null

null

Primjer 3.

Prikažimo na brojevnom pravcu skup $C$ svih realnih brojeva većih od $2$ i manjih od $5.$

Brojevi veći od $2$ nalaze se na brojevnom pravcu desno od broja $2.$ Brojevi manji od $5$ nalaze se na brojevnom pravcu lijevo od broja $5.$ Elementi skupa $C$ moraju istodobno biti veći od $2$ i manji od $5$ pa ćemo označiti dio brojevnog pravca desno od $2$ i lijevo od $5.$ Brojevi $2$ i $5$ ne pripadaju skupu $C$ pa ćemo ih označiti praznim kružićem.

Skup $C$ zapisat ćemo ovako: $\left\{x\in \mathbf{R}:x>2\mathrm{i}x<5\right\}=⟨2,5⟩.$

Zadatak 6.

Povežite.

Skup $C$ ​je skup svih realnih brojeva većih od $3$ i manjih od $7$ ili jednakih $7.$	$\left[3,7\right.⟩$
Skup $E$ je skup svih realnih brojeva većih od $2$ ili jednakih $2$ i manjih od $5$ ili jednakih $5.$	$\left.⟨2,5\right]$
$D=\left\{x\in \mathbf{R}:x\ge 3\mathrm{i}x<7\right\}$	$\left.⟨3,7\right]$
Skup $B$ je skup svih realnih brojeva većih od $2$ ili jednakih $2$ i manjih od $5.$	$\left[3,7\right]$
$A=\left\{x\in \mathbf{R}:x>2\mathrm{i}x\le 5\right\}$	$\left[2,5\right]$
$F=\left\{x\in \mathbf{R}:x\ge 3\mathrm{i}x\le 7\right\}$	$\left[2,5\right.⟩$

null

null

Zaključimo.

Intervali su podskupovi skupa realnih brojeva zadani nejednakostima.

otvoreni interval

• $⟨a,b⟩=\left\{x\in \mathbf{R}:x>a\mathrm{i}x<b\right\}$

zatvoreni interval

• $\left[a,b\right]=\left\{x\in \mathbf{R}:x\ge a\mathrm{i}x\le b\right\}$

poluotvoreni ili poluzatvoreni interval

• $\left.⟨a,b\right]=\left\{x\in \mathbf{R}:x>a\mathrm{i}x\le b\right\}$
• $\left[a,b\right.⟩=\left\{x\in \mathbf{R}:x\ge a\mathrm{i}x<b\right\}$

$\begin{array}{l}⟨a,\infty ⟩=\left\{x\in \mathbf{R}:x>a\right\}\end{array}$

$\begin{array}{l}⟨-\infty ,a⟩=\left\{x\in \mathbf{R}:x<a\right\}\end{array}$

$\begin{array}{l}\left[a,\infty \right.⟩=\left\{x\in \mathbf{R}:x\ge a\right\}\end{array}$

$\begin{array}{l}\left.⟨-\infty ,a\right]=\left\{x\in \mathbf{R}:x\le a\right\}\end{array}$

Zadatak 7.

Jesu li tvrdnje točne? Označite.

Unija i presjek intervala

Intervali su skupovi pa možemo odrediti uniju i presjek intervala.

Primjer 4.

Odredimo presjek intervala $\left[3,5\right]$ i $\left[2,4\right.⟩.$ Prisjetimo se: Presjek skupova​ $A$ i $B$ čine elementi koji se nalaze i u skupu $A$ i u skupu $B.$ Pogledajte animaciju.

Primjer 5.

Odredimo uniju intervala $\left[3,5\right]$ i $\left[2,4\right.⟩.$ Prisjetimo se: Uniju skupova​ $A$ i $B$ čine elementi koji se nalaze u skupu $A$ ili u skupu $B.$ Pogledajte animaciju.

Primjer 6.

Odredimo presjek i uniju intervala $⟨4,\infty ⟩$ i $\left[-2,1\right].$ Prikažimo zadane intervale na brojevnom pravcu.

Intervali nemaju zajedničkih točaka pa je njihov presjek prazan skup. Unija se sastoji od dvaju nepovezanih dijelova pa je ne možemo zapisati s pomoću jednog intervala. Zapisujemo: $\left[-2,1\right]\cup ⟨4,\infty ⟩.$ ​

Zadatak 8.

Odredite uniju i presjek zadanih intervala. Ako je odgovor prazan skup, upišite $0.$

Primjer 7.

Odredimo razliku $A\backslash B$ intervala $A=\left.⟨-4,5\right]$ i $B=⟨2,6⟩.$

Prikažimo zadane intervale na brojevnom pravcu.

Tražimo brojeve koji pripadaju intervalu $\left.⟨-4,5\right]$ i ne pripadaju intervalu $⟨2,6⟩.$ To su brojevi između $-4$ i $2.$ Pogledajmo pripadaju li rubni brojevi razlici. Broj $-4$ ne pripada skupu $\left.⟨-4,5\right]$ pa ne pripada ni razlici. Broj $2$ pripada skupu $\left.⟨-4,5\right]$ i ne pripada skupu $⟨2,6⟩$ pa pripada razlici. Razlika je $A\backslash B=\left.⟨-4,2\right].$

Zadatak 9.

Odredite $A\cap B,A\cup B,A\backslash B,B\backslash A$ ako je:

1. $A=\left[3,8\right.⟩$ i $B=⟨4,9⟩$​
2. $A=\left[3,8\right.⟩$ i $B=⟨4,\infty ⟩$
3. $A=⟨-\infty ,8⟩$ i $B=⟨4,9⟩$
4. $A=⟨-\infty ,8⟩$ i $B=⟨4,\infty ⟩.$
   

Aksiom potpunosti

Kutak za znatiželjne

Na brojevni smo pravac smještali prirodne, cijele i racionalne brojeve. Vidjeli smo da na brojevnom pravcu postoje točke kojima nije pridružen ni jedan racionalni broj. Tim smo točkama pridružili iracionalne brojeve. Tako je svakoj točki brojevnog pravca pridružen jedan realni broj. To se svojstvo skupa realnih brojeva naziva potpunost. Postoji više načina da se opiše to svojstvo, a potpunost se uzima kao aksiom skupa realnih brojeva. Aksiom potpunosti razlikuje skup racionalnih brojeva od skupa realnih brojeva jer vrijedi u skupu $R$, a ne vrijedi u skupu $Q.$

Izrecimo aksiom potpunosti na još jedan način.​