Temperature mogu biti više ili niže, cilj može biti bliže ili dalje, utezi mogu biti lakši ili teži, praznici mogu biti dulji ili kraći... Sve su to načini da usporedimo neke osobine objekata. Što zapravo uspoređujemo? Najčeće se uspoređivanje svodi na uspoređivanje brojeva.
Uređaj na skupu realnih brojeva
Realne smo brojeve smjestili na brojevni pravac. Realni broj može biti pozitivan, negativan ili nula.
Pozitivni realni brojevi su od nule. Na brojevnom su pravcu smješteni od nule. Negativni su realni brojevi od nule. Na brojevnom su pravcu smješteni od nule.
null
null
Ako je realni broj
a pozitivan, pišemo
.
Ako je realni broj
a negativan, pišemo
.
a>0
a<0
null
null
Usporedili smo realni broj s nulom. Na isti način možemo usporediti dva realna broja.
Ako je broj a desno od broja b na brojevnom pravcu, onda je aveći od b što zapisujemo: a>b.
Ako je broj a lijevo od broja b na brojevnom pravcu, onda je amanji od b što zapisujemo: a<b.
Opisali smo kako realne brojeve možemo uspoređivati po veličini pa kažemo da smo u skup realnih brojeva uveli uređaj. Pogledajmo koja su svojstva uređaja u skupu realnih brojeva.
Označite točan odgovor.
null
null
Označite točan odgovor.
null
null
Označite točan odgovor.
null
null
Označite točan odgovor.
null
null
Označite točan odgovor.
null
null
Za svaka dva realna broja a,bvrijedi jedna od mogućnosti:
a<b ili a=b ili a>b.
Zadatak 1.
Odaberite točan odgovor.
Vrijedi:
-5 je
od
-1 i
-1 je od
3 pa je
-5 od
3
null
null
Ako za realne brojeve
a,b,c vrijedi
a<b i
b<c, onda je
a<c.
Uređaj i računske radnje
Rješavali ste linearne jednadžbe. Koja ste pritom svojstva jednakosti primjenjivali? Prisjetimo se.
Za realne brojeve
a,b,c za koje vrijedi
a=b vrijedi i
a+c=b+c.
Za realne brojeve
a,b,c,c≠0 za koje vrijedi
a=b vrijedi i
a·c=b·c.
Vrijede li slična svojstva i za nejednakosti? Pogledajmo.
Ako su
a,b,c realni brojevi za koje vrijedi
a<b, onda vrijedi i
a+c<b+c.
Ako su
a,b,c realni brojevi i
c>0 te vrijedi
a<b, onda vrijedi i
a·c<b·c.
Ako su
a,b,c realni brojevi i
c<0 te vrijedi
a<b, onda vrijedi
a·c>b·c.
Svojstva uređaja i računskih radnji možemo iskazati i riječima.
Ako objema stranama nejednakosti dodamo isti broj, znak se nejednakosti ne mijenja.
Ako obje strane nejednakosti pomnožimo s istim pozitivnim brojem, znak se nejednakosti ne mijenja.
Ako obje strane nejednakosti pomnožimo s istim negativnim brojem, znak se nejednakosti okreće.
Uvedimo još jednu oznaku.
Ako je broj a manji od broja b ili je broj a jednak broju b, zapisat ćemoa≤b i čitati a je manji ili jednakb.
Ako je broj a veći od broja b ili je broj a jednak broju b, zapisat ćemoa≥b i čitati a je veći ili jednakb.
Zadatak 5.
Označite točan odgovor.
5≤6
null
5≤5
null
5≥6
null
null
5≥5
null
5<5
null
null
5>5
null
null
Intervali
Primjer 1.
Prikažimo na brojevnom pravcu skupA svih realnih brojeva većih od
2.
Brojevi veći od
2 nalaze se na brojevnom pravcu desno od broja
2. Broj
2 nije veći od
2 pa
2∉A. Na brojevnom ćemo pravcu označiti sve brojeve desno od
2, a na mjestu broja
2 stavit ćemo prazan kružić.
Skupove koje opisujemo s pomoću nejednakosti nazvat ćemo intervalima. Uvest ćemo oznake za intervale, intervale ćemo prikazivati na brojevnom pravcu i određivati unije, presjeke i razlike intervala.
Skup svih realnih brojeva većih od
2 možemo zapisati:
s pomoću oznaka za skupove:
{x∈R:x>2}
s pomoću oznaka za interval:
⟨2,∞⟩.
Oznaka
⟨2 znači da broj
2 ne pripada intervalu.
Primjer 2.
Prikažimo na brojevnom pravcu skupB svih realnih brojeva većih od
2 ili jednakih
2.
Brojevi veći od
2 nalaze se na brojevnom pravcu desno od broja
2. Broj
2 jednak je
2 pa vrijedi
2≥2 te je
2∈B. Na brojevnom ćemo pravcu označiti sve brojeve desno od
2, a na mjestu broja
2 stavit ćemo puni kružić.
SkupB zapisat ćemo ovako:
{x∈R:x≥2}=[2,∞⟩. Oznaka
[2 znači da broj
2 pripada intervalu.
Odaberite pravi zapis intervala za svaki brojevni pravac.
null
null
null
null
null
null
null
null
Primjer 3.
Prikažimo na brojevnom pravcu skupC svih realnih brojeva većih od
2 i manjih od
5.
Brojevi veći od
2
nalaze se na brojevnom pravcu desno od broja
2.
Brojevi manji od
5
nalaze se na brojevnom pravcu lijevo od broja
5.
Elementi skupa
C moraju istodobno biti veći od
2
i manji od
5
pa ćemo označiti dio brojevnog pravca desno od
2
i lijevo od
5.
Brojevi
2
i
5
ne pripadaju skupu
C pa ćemo ih označiti praznim kružićem.
U intervalu ⟨1,2⟩ne nalazi se ni jedan prirodni broj.
null
null
Unija i presjek intervala
Intervali su skupovi pa možemo odrediti uniju i presjek intervala.
Primjer 4.
Odredimo presjek intervala
[3,5] i
[2,4⟩. Prisjetimo se: Presjek skupova
A i
B čine elementi koji se nalaze i u skupu
A i u skupu
B. Pogledajte animaciju.
Primjer 5.
Odredimo uniju intervala
[3,5] i
[2,4⟩. Prisjetimo se: Uniju skupova
A i
B čine elementi koji se nalaze u skupu
A ili u skupu
B. Pogledajte animaciju.
Primjer 6.
Odredimo presjek i uniju intervala
⟨4,∞⟩ i
[-2,1]. Prikažimo zadane intervale na brojevnom pravcu.
Intervali nemaju zajedničkih točaka pa je njihov presjek prazan skup. Unija se sastoji od dvaju nepovezanih dijelova pa je ne možemo zapisati s pomoću jednog intervala. Zapisujemo:
[-2,1]∪⟨4,∞⟩.
Zadatak 8.
Odredite uniju i presjek zadanih intervala. Ako je odgovor prazan skup, upišite 0.
Primjer 7.
Odredimo razliku
A\B intervala
A=⟨-4,5] i
B=⟨2,6⟩.
Prikažimo zadane intervale na brojevnom pravcu.
Tražimo brojeve koji pripadaju intervalu
⟨-4,5] i ne pripadaju intervalu
⟨2,6⟩. To su brojevi između
-4 i
2. Pogledajmo pripadaju li rubni brojevi razlici. Broj
-4 ne pripada skupu
⟨-4,5] pa ne pripada ni razlici. Broj
2 pripada skupu
⟨-4,5] i ne pripada skupu
⟨2,6⟩ pa pripada razlici. Razlika je
A\B=⟨-4,2].
Zadatak 9.
Odredite A∩B,A∪B,A\B,B\A ako je:
A=[3,8⟩ i B=⟨4,9⟩
A=[3,8⟩ i B=⟨4,∞⟩
A=⟨-∞,8⟩ i B=⟨4,9⟩
A=⟨-∞,8⟩ i B=⟨4,∞⟩.
A∩B=⟨4,8⟩,A∪B=[3,9⟩,A\B=[3,4],B\A=[8,9⟩
A∩B=⟨4,8⟩,A∪B=[3,∞⟩,A\B=[3,4],B\A=[8,∞⟩
A∩B=⟨4,8⟩,A∪B=⟨-∞,9⟩,A\B=⟨-∞,4],B\A=[8,9⟩
A∩B=⟨4,8⟩,A∪B=⟨-∞,∞⟩=R,A\B=⟨-∞,4],B\A=[8,∞⟩.
Aksiom potpunosti
Kutak za znatiželjne
Na brojevni smo pravac smještali prirodne, cijele i racionalne brojeve. Vidjeli smo da na brojevnom pravcu postoje točke kojima nije pridružen ni jedan racionalni broj. Tim smo točkama pridružili iracionalne brojeve. Tako je svakoj točki brojevnog pravca pridružen jedan realni broj. To se svojstvo skupa realnih brojeva naziva potpunost. Postoji više načina da se opiše to svojstvo, a potpunost se uzima kao aksiom skupa realnih brojeva. Aksiom potpunosti razlikuje skup racionalnih brojeva od skupa realnih brojeva jer vrijedi u skupu R, a ne vrijedi u skupu Q.
Što možete reći o međusobnom odnosu skupova
An i
An+1?
Odredite presjek prvih triju skupova, prvih deset te prvih
n.
Zamislite presjek svih beskonačno mnogo skupova tog oblika. Odredite ga.
An=[n-1n,n+1n]
An+1⊂An
Presjek je prvih n skupova skup An.
Presjek je svih beskonačno mnogo skupova tog oblika {1}.
Zadatak 11.
Zadajte neki niz zatvorenih intervala sa svojstvom da za svaki prirodni broj
n vrijedi
An+1⊂An. Odredite presjek svih beskonačno mnogo skupova koje ste zadali.
Opišite kako nastaju. Odredite presjek svih intervala tog oblika.
Zamislite bilo koji niz zatvorenih intervala sa svojstvom da za svaki prirodni broj
n vrijedi
An+1⊂An. Postoji li element koji se nalazi u presjeku tih beskonačno mnogo intervala?
Objasnite što bi se dogodilo ako bismo zatvorene intervale zamijenili otvorenima.
Objasnite što bi se dogodilo ako bismo umjesto niza zatvorenih intervala promatrali skupove koji su presjek zatvorenih intervala i skupa
Q.
Zadatak izradite sami
Presjek je
{√2}.
Postoji.
Presjek bi bio prazan skup.
Neki bi nizovi imali prazan presjek, a kod neki neprazan.
Svojstvo presjeka niza zatvorenih intervala u skupu
R zapisujemo ovako:
"Svaki niz padajućih nepraznih zatvorenih intervala u skupu
R ima neprazan presjek."
Vrijedi i ovo:
"Za svaki realni broj možemo odabrati niz padajućih nepraznih zatvorenih intervala u čijem se presjeku nalazi samo taj broj."