7.1 Sustav linearnih jednadžbi

Rješenje linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama

Linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama jest jednadžba oblika ​ $ax+by=c$ gdje su $a,b,c$ zadani realni brojevi od kojih $a$ i $b$ nisu oba jednaka $0.$ S $x,y$ označene su nepoznanice.

Rješenje linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama jest svaki uređeni par $\left(s,t\right)$ takav da uvrštavanjem vrijednosti $s$ umjesto varijable $x$ i vrijednosti $t$ umjesto varijable $y$ dobivamo istinitu jednakost.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Označite točan odgovor.

1. Uređeni par ​ $\left(\mathrm{6,15}\right)$ rješenje je jednadžbe $\frac{2}{3}x-\frac{1}{5}y=1.$
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

2. Uređeni par $\left(\mathrm{15,6}\right)$ rješenje je jednadžbe ​ $\frac{2}{3}x-\frac{1}{5}y=1.$

   Da

   Ne

   

   null

   null

Zadatak 4.

Ako je poznata linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama za svaku zadanu vrijednost jedne nepoznanice, možemo izračunati vrijednost druge nepoznanice.

Ako je $2.3x-4y=3.5$​ i $x=-5,$ onda je $y=$​ .

null

null

Zatvori

Primjer 1.

Ante želi s tri strane ograditi dio zemljišta uz kuću kao na slici. Ima na raspolaganju $10\mathrm{m}$ žice. Pomaknite crvenu točku u interakciji. Kojih dimenzija može biti ograđeno zemljište? Koliko ima rješenja?

Rješenja linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama uređeni su parovi​ $\left(x,y\right).$ Linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama ima beskonačno mnogo rješenja. Za svaku zadanu vrijednost jedne nepoznanice možemo izračunati vrijednost druge.

Sustav linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Povežite sustav jednadžbi s uređenim parom koji je rješenje sustava.

 

$\left\{\begin{array}{l}3.4x-2.9y=1\\ 1.2x+3.8y=2\end{array}\right.$  ​	$\left(\frac{59}{10},\frac{67}{25}\right)$  ​
$\left\{\begin{array}{l}-3x+2.5y=-11\\ x-5y=-7.5\end{array}\right.$	$\left(-\mathrm{1.8,16.8}\right)$  ​
$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}y=4\\ 2x+\frac{1}{3}y=2\end{array}\right.$	$\left(\frac{24}{41},\frac{14}{41}\right)$  ​

null

null

Diofantske jednadžbe

Kutak za znatiželjne

U linearnim jednadžbama s dvjema nepoznanicama koje smo promatrali rješenje je bio uređeni par realnih brojeva. U mnogim praktičnim primjerima nepoznanice su po prirodi zadatka cijeli ili prirodni brojevi. Linearnu jednadžbu s dvjema nepoznanicama u kojoj tražimo samo cjelobrojna rješenja nazivamo linearna diofantska jednadžba. Kako riješiti diofantsku jednadžbu?

Primjer 2.

Riješimo diofantsku jednadžbu $7x+8y=0,$ $x,y\in \mathbf{Z}.$ Izrazimo nepoznanicu $y:$

$y=-\frac{7}{8}x.$

Kako je​ $y$ cijeli broj, zaključujemo da $x$ mora biti višekratnik broja $8:$

$x=8k,k\in Z,$ iz čega slijedi $y=-7k.$ Rješenje jednadžbe jest svaki uređeni par $(8k-7k)$ gdje je $k$ cijeli broj.

Primjer 3.

Riješimo diofantsku jednadžbu $15x-8y=9.$ Izrazimo nepoznanicu $y:$

$y=\frac{15x-9}{8}=\frac{16x-8}{8}-\frac{x+1}{8}=2x-1-\frac{x+1}{8}.$

Kako je $x$ cijeli broj, zaključujemo da će $y$ biti cijeli broj ako je $x+1=8k,x=8k-1.$

Uvrstimo u izraz za $y:$

$y=2\left(8k-1\right)-1-k=15k-3.$

Rješenje je svaki par brojeva $\left(8k-\mathrm{1,15}k-3\right),k\in \mathbf{Z}.$Postupak rješavanja koji smo primijenili naziva se metoda kvocijenta.

Zadatak 7.

Riješite diofantsku jednadžbu $4x-6y=5$ .

Pod kojim uvjetima linearna diofantska jednadžba ima rješenje? Istražite.

Zanimljivost

Diofant, po kojem su diofantske jednadžbe dobile ime, živio je u 3. stoljeću u Aleksandriji. Autor je matematičkog djela Arithmetica, koje se sastoji od $13$ knjiga sa $150$ zadataka.

Neki ga nazivaju ocem algebre jer je koristio algebarsku notaciju, a zadatci koje je zapisao u svojem djelu stoljećima su inspirirali mnoge poznate matematičare. Piere Fermat na marginama Arithmetice zapisao je svoj poznati posljednji teorem.