Matematika 1 - 7.2 Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi

Na početku...

Tonka se raspitivala za cijenu paprike i patlidžana kako bi mogla napraviti ajvar za zimnicu. Pronašla je papriku za

8

kuna po kilogramu i patlidžan za

10

kuna po kilogramu. Kući je donijela ukupno devetnaest kilograma ovih dviju vrsta povrća, što je ukupno platila

159

kuna. Koliko je kilograma paprike, a koliko patlidžana kupila?

Zapišite sustav jednadžbi koji opisuje dani problem.

Ako je $x$ broj kilograma kupljene paprike, a $y$ broj kilograma kupljenih patlidžana, tada se jedna jednadžba formira prema ukupnoj cijeni, a druga prema ukupnoj količini kupljenog povrća:

$\{\begin{cases} 8 x + 10 y = 159 \\ x + y = 19 \end{cases}$

Tražimo uređeni par brojeva

(x, y)

koji zadovoljava obje jednadžbe. Postoji više različitih metoda kojima možemo doći do rješenja. Prisjetit ćemo se nekih metoda koje ste ranije učili, ali i naučiti neke nove.

Slika prikazuje tri metode rješavanja sustava.

Metoda supstitucije ili zamjene

U metodi suptitucije iz jedne ćemo jednadžbe izraziti nepoznanicu (ili dio jednadžbe), a zatim u drugoj jednadžbi dobivenim izrazom zamijeniti tu nepoznanicu (ili dio jednadžbe). Još kažemo da smo dobiveni izraz uvrstili u drugu jednadžbu. Primijenimo pravilo.

$\{\begin{cases} 8 x + 10 y = 159 \\ x + y = 19 \end{cases}$

Iz druge jednadžbe izrazimo $y .$

$y = 19 - x .$ Uvrstimo $19 - x$ u prvu jednadžbu umjesto $y .$

$8 x + 10 y = 159 \Rightarrow 8 x + 10 (19 - x) = 159$

Dobili smo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom:

$8 x + 190 - 10 x = 159 \Rightarrow - 2 x = - 31 \Rightarrow x = 15.5$

Preostaje još izračunati drugu nepoznanicu:

$y = 19 - x = 19 - 15.5 = 3.5 .$

Rješenje sustava jest uređeni par $(15.5, 3.5) .$

To znači da je Tonka kupila $15.5$ kilograma paprike i $3.5$ kilograma patlidžana.

Zadatak 1.

Sljedeći sustav jednadžbi riješite metodom supstitucije.

Povlačenjem danih elemenata poredajte sve korake u rješavanju tog sustava.

$\{\begin{cases} - 4 x + y = 3 \\ x + 2 y = - 3 \end{cases}$

$y = 3 + 4 x$
$9 x = - 9$
$x = - 1$
$x + 6 + 8 x = - 3$
$x + 2 (3 + 4 x) = - 3$
$y = 3 - 4 = - 1$

null

Metoda suprotnih koeficijenata

Kao što sam naziv metode kaže, cilj metode jest dobiti suprotne koeficijente uz jednu nepoznanicu, i to u obje jednadžbe. Pogledajmo na primjeru.

Primjer 1.

Riješimo sustav $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = - 4 \\ - 4 x + 5 y = 2 \end{cases}$

Uočimo da su koeficijenti uz nepoznanicu $x$ brojevi $2$ i $- 4,$ a uz nepoznanicu $y$ brojevi $- 3 i 5 .$

Ako želimo da koeficijenti uz $x$ budu suprotni brojevi, pomnožit ćemo prvu jednadžbu s $2 .$

Ako želimo da koeficijenti uz $y$ budu suprotni, pomnožit ćemo prvu jednadžbu s $5,$ a drugu s $3 .$

Obično biramo jednostavniju varijantu, odnosno množenje prve jednadžbe s $2 .$

Nakon toga ćemo zbrojiti jednadžbe i time eliminirati nepoznanicu $x .$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2 x - 3 y = - 4 / \cdot 2 \\ - 4 x + 5 y = 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 4 x - 6 y = - 8 \\ - 4 x + 5 y = 2 \end{cases} \Rightarrow - y = - 6 \Rightarrow y = 6 \end{array} .$

Sad se vraćamo u jednu od početnih dviju jednadžbi kako bismo izračunali preostalu nepoznanicu.

$2 x - 3 y = - 4 \Rightarrow 2 x - 3 \cdot 6 = - 4 \Rightarrow x = 7 .$

Rješenje sustava jest uređeni par $(7, 6) .$

Zadatak 2.

Riješite sljedeći sustav metodom suprotnih koeficijenata.

Povlačenjem danih elemenata poredajte sve korake u rješavanju tog sustava.

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 4 \\ 4 x - 5 y = - 3 \end{cases}$
$\{\begin{cases} - 15 x + 10 y = 20 \\ 8 x - 10 y = - 6 \end{cases}$

$\begin{array}{l} - 7 x = 14 \\ x = - 2 \end{array}$

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 4 / \cdot 5 \\ 4 x - 5 y = - 3 / \cdot 2 \end{cases}$

$\begin{array}{l} - 3 x + 2 y = 4 \\ - 3 \cdot (- 2) + 2 y = 4 \\ y = - 1 \end{array}$
null

null
Rješenje danog sustava jest uređeni par

$(- 1, - 2)$

$(- 2, - 1)$

$(- 1,2)$

$(- 2,1)$

null

null

Metoda komparacije

Primjer 2.

Tena i Ena čitaju istu knjigu. Do danas je Tena pročitala $89$ stranica, a Ena $64$ stranice.

Za koliko će dana Ena dostići Tenu ako Ena bude čitala $60$ stranica na dan, a Tena $55$ stranica na dan?

Koliko će ukupno stranica u tom trenutku obje djevojke imati pročitano?

Označit ćemo broj dana s $x .$ Nakon tih $x$ dana i Tena i Ena imat će pročitano isti broj stranica knjige.

Označimo taj broj pročitanih stranica s $y .$

Vrijedi

$\{\begin{cases} y = 89 + 55 x (T e n a) \\ y = 64 + 60 x (E n a) \end{cases}$

Budući da su lijeve strane jednadžbi jednake, moraju biti jednake i desne, odnosno

$89 + 55 x = 64 + 60 x .$

Metodom komparacije ili uspoređivanja sveli smo sustav jednadžbi na linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom $89 - 64 = 5 x \Rightarrow x = 5 .$

Na kraju ćemo iz jedne od napisanih jednadžbi izračunati broj stranica:

$y = 89 + 55 \cdot 5 = 364 .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Riješite sljedeći sustav metodom komparacije.

$\{\begin{cases} 2 x - 3 y = - 5 \\ - x + 4 y = 2 \end{cases}$

Izrazit ćemo iz svake od jednadžbi nepoznanicu $x .$

Tada je

$\{\begin{cases} x = \frac{- 5 + 3 y}{2} \\ x = 4 y - 2 \end{cases},$ odnosno

$\begin{array}{l} \frac{- 5 + 3 y}{2} = 4 y - 2 / \cdot 2 \\ - 5 + 3 y = 8 y - 4 \\ y = - \frac{1}{5} \end{array}$

$x = 4 y - 2 = - \frac{4}{5} - 2 = - \frac{14}{5} .$

Rješenje je uređeni par $(- \frac{14}{5}, - \frac{1}{5}) .$

Zadatak 4.

Svaki od sljedećih sustava riješite drukčijom metodom. Usporedite u paru koju ste metodu odabrali i obrazložite.

$\{\begin{cases} y = - 2.5 x + 3 \\ 4 x + 0.5 y = 7 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{3}{5} x + \frac{5}{2} y = - 1 \\ - \frac{2}{3} x - \frac{3}{2} y = - \frac{1}{6} \end{cases}$
$\{\begin{cases} x - 1.2 y = 1 \\ 10 x + 3 y = - 5 \end{cases}$

$(2, - 2)$
$(\frac{5}{2}, - 1)$
$(- 0.2, - 1)$

Zadatak 5.

Zadan je sustav jednadžbi

\{\begin{cases} - 3 x + 10 y = 1 \\ 4 x - 15 y = - 3 \end{cases}

Razvrstajte u skupine elemente koji čine prvi korak u rješavanju danog sustava prema jednoj od tri metode iz naziva skupine.

\{\begin{cases} x = \frac{10 y - 1}{3} \\ x = \frac{15 y - 3}{4} \end{cases}

\begin{array}{l} x = \frac{- 3 + 15 y}{4} \\ - 3 (\frac{- 3 + 15 y}{4}) + 10 y = 1 \end{array}

\{\begin{cases} - 12 x + 40 y = 4 \\ 12 x - 45 y = - 9 \end{cases}

Metoda supstitucije

Metoda suprotnih koeficijenata

Metoda komparacije

null

Zadatak 6.

Odaberite metodu i dovršite rješenje sustava iz prethodnog zadatka.

Uređeni par $(3, 1) .$

Zatvori

Primjer 3.

Riješimo sustav:

$\{\begin{cases} - 5 x + y = 1 \\ 15 x - 3 y = - 3 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} y = 1 + 5 x \\ 15 x - 3 (1 + 5 x) = - 3 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{l} 15 x - 3 - 15 x = - 3 \\ - 3 = - 3 \end{array} \end{array}$

Dobili smo istinitu jednakost koja vrijedi za sve realne brojeve.

Drugim riječima, svaki uređeni par $(x, y), x \in R, y \in R$ koji je rješenje jedne jednadžbe ujedno je i rješenje druge jednadžbe danog sustava, pa kažemo da sustav ima beskonačno mnogo rješenja $y = 1 + 5 t,$ pa su uređeni parovi $(t, 1 + 5 t)$ sva rješenja sustava jednadžbi.

Kutak za znatiželjne

Provjerimo prethodnu tvrdnju!

Neka je $x = t, t \in R .$ Tada iz prve jednadžbe slijedi $y = 1 + 5 t$ pa je rješenje prve jednadžbe skup svih uređenih parova oblika $(t, 1 + 5 t), t \in R .$

Provjerimo jesu li to rješenja druge jednadžbe.

$15 x - 3 y = - 3 \Rightarrow 15 t - 3 (1 + 5 t) = 15 t - 3 - 15 t = - 3,$ a to je i trebalo dobiti.

Primjer 4.

Riješimo sustav

$\{\begin{cases} 7 x - y = - 2 \\ - 14 x + 2 y = 5 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \underline{+ \{\begin{cases} 14 x - 2 y = - 4 \\ - 14 x + 2 y = 5 \end{cases}} \\ 0 = 1 \end{array}$

Dobili smo jednakost koja nije istinita, odnosno ne postoji uređeni par $(x, y), x \in R, y \in R$ koji zadovoljava istovremeno obje jednadžbe danog sustava.

Stoga kažemo da sustav nema rješenja.

7.2 Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi

Na početku...

Metoda supstitucije ili zamjene

Zadatak 1.

Metoda suprotnih koeficijenata

Zadatak 2.

Metoda komparacije

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Metoda supstitucije

Metoda suprotnih koeficijenata

Metoda komparacije

Zadatak 6.

Kutak za znatiželjne

Sustav triju linearnih jednadžbi s trima nepoznanicama

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zanimljivost

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Nelinearni sustavi

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

7.3 Grafičko rješavanje sustava linearnih jednadžbi

$\{\begin{cases} 4 x + 6 y = 2 \\ - 4 x + 5 y = - 3 \end{cases}$	Metoda supstitucije
$\begin{array}{l} x = - \frac{3}{2} y + \frac{1}{2} \\ - 4 (- \frac{3}{2} y + \frac{1}{2}) + 5 y = - 3 \end{array}$	Metoda suprotnih koeficijenata
$\{\begin{cases} x = - \frac{3}{2} y + \frac{1}{2} \\ x = \frac{5}{4} y + \frac{3}{4} \end{cases}$	Metoda komparacije