6.3 Graf linearne funkcije

Točka po točka

Primjer 1.

Linearna funkcija zadana je pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=-\frac{1}{8}x-\frac{7}{8}$​. Njezin je vodeći koeficijent $a=-\frac{1}{8},$ a slobodni koeficijent $b=-\frac{7}{8}.$

Što to znači u geometrijskom smislu?

Kako izgleda graf te funkcije u koordinatnom sustavu?

Rekli smo da je graf funkcije skup točaka $T\left(x,y\right),$ gdje se vrijednost ordinate $y$ računa prema zadanom pravilu pridruživanja za sve vrijednosti argumenta $x$ iz domene funkcije $f.$

Kako ćemo odrediti i nacrtati taj skup točaka ako je domena zadane funkcije cijeli skup realnih brojeva, odnosno beskonačan skup?

U sljedećoj aktivnosti popunite tablicu vrijednosti za odabrane argumente $x$ te nacrtajte (postavite) dobivene točke u koordinatnom sustavu.

Pritisnite tipku Provjerite.

Nije teško zaključiti da sve nacrtane točke pripadaju jednom pravcu. Koordinate svih spomenutih točaka povezane su formulom ​ $y=-\frac{1}{8}x-\frac{7}{8}.$

Ali što je sa svim ostalim točkama koje nismo provjerili?

Možemo li zaključiti da je graf funkcije $f\left(x\right)=-\frac{1}{8}x-\frac{7}{8}$​ skup svih točaka koje leže na jednom pravcu?

Zapišimo prvo opću tvrdnju.

Graf linearne funkcije zadane pravilom pridruživanja

​ $f\left(x\right)=ax+b,a,b\in \mathrm{R,}a\ne 0$ je pravac.

Ponekad za pravac, koji je graf linearne funkcije, zadane pravilom pridruživanja ​ $f\left(x\right)=ax+b,a,b\in \mathrm{R,}a\ne 0,$ kažemo i da ima jednadžbu $y=ax+b.$ Razlog tomu je što su ordinata $y$ i apscisa $x$ svake njegove točke povezane pravilom $y=f\left(x\right)=ax+b.$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Dokažite da je graf linearne funkcije pravac.

Rješenje

Prisjetite se. Tri kolinearne točke, odnosno točke koje leže na jednom pravcu, zatvaraju trokut površine nula.

Stoga neka su točke ​ $A(x_1,y_1),B\left(x_2,y_2\right),C(x_3,y_3)$ proizvoljne točke grafa linearne funkcije zadane s ​ $f\left(x\right)=ax+b,a,b\in \mathrm{R,}a\ne 0.$ Tada vrijedi

​ $y_1=f\left(x_1\right)=a{x}_1+b$

$y_2=f\left(x_2\right)=a{x}_2+b$

$y_3=f\left(x_3\right)=a{x}_3+b.$

Zamijenite $y_1,y_2,y_3$  redom s $a{x}_1+b,$ $a{x}_2+b,$ $a{x}_3+b$ u formuli

$\begin{array}{l}p\left(△ABC\right)=\frac{1}{2}\left|x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right|.\end{array}$

Nakon sređivanja izraza trebali biste dobiti vrijednost nula, što znači da točke ​ $A,B,C$ leže na jednom pravcu. Kako su to proizvoljne točke, tvrdnja vrijedi za sve točke na grafu pa je graf linearne funkcije pravac.

---

Zadatak 2.

Napišite bilo koje dvije točke koje pripadaju grafu linearne funkcije $f,g\mathrm{ili}h.$

Nacrtajte na papiru grafove funkcija $f,gih$ ako su njihova pravila pridruživanja:

1. $f\left(x\right)=2x-3$
2. $g\left(x\right)=\frac{1}{2}x-1$
3. $h\left(x\right)=-3x+2.$

Rješenje

---

Zatvori

Graf linearne funkcije $f$ možemo nacrtati ako imamo barem dva para pridruženih vrijednosti $(x,f(x\left)\right).$ Time smo odredili dvije točke s koordinatama $\left(x,y\right),$ koje su nam potrebne da nacrtamo pravac.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Grafovi linearne funkcije označeni su slovima $c,p,z$ prema boji kojom su nacrtani. Uparite grafove, odnosno njihove oznake s pridruženim vrijednostima koje ih određuju.

$f\left(-1\right)=3,f\left(2\right)=-3$	czp
$f\left(0\right)=-2,f\left(3\right)=0$	czp
$f(-3)=-4,f\left(3\right)=4$	czp

null

null

Zadatak 4.

Koristeći se nacrtanim grafom linearne funkcije $f,$ odredite vrijednost funkcije $f$ za zadani argument $x.$

 ​

$f(-5)=$   , $f\left(0\right)=$ , $f\left(5\right)=$  , $f\left(10\right)=$ .

null

null

Zatvori

U prethodna ste dva zadatka određivali vrijednost linearne funkcije za argument $x,$ a niste znali njezino pravilo pridruživanja.

Možemo li odrediti pravilo pridruživanja linearne funkcije koristeći se njezinim grafom?

Da bismo to saznali, pokušat ćemo otkriti geometrijsko značenje koeficijenata linearne funkcije.

Koeficijenti linearne funkcije

U sljedećoj aktivnosti:

1. Mijenjajte vrijednost koeficijenta​ $a$ i promatrajte što se događa s grafom funkcije.
2. Mijenjajte vrijednost koeficijenta​ $b$ i promatrajte što se događa s grafom funkcije.
3. Koristeći se aktivnošću i onim što ste uočili mijenjanjem koeficijenata, riješite zadatke koji slijede nakon aktivnosti.
   

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 5.

Promjenom vrijednosti koeficijenta $a$ mijenja se sjecište s y-osinagib ili smjer pravca.
Promjenom vrijednosti koeficijenta $b$ mijenja se nagib ili smjer pravcasjecište s y-osi.

null

null

Zadatak 6.

Ako je koeficijent $b=2,$ graf linearne funkcije zadane s​ $f\left(x\right)=ax+b$ prolazi točkom:

$\left(2,2\right)$

$(0,-2)$

$(2,0)$

$\left(0,2\right).$

null

null

Zadatak 7.

Uparite pravilo pridruživanja linearne funkcije $f$ i točku u kojoj njezin graf siječe $y$-os.

$f\left(x\right)=-2x+5$	$\left(0,\frac{2}{5}\right)$
$f\left(x\right)=2x-\frac{5}{2}$	$\left(0,5\right)$
$f\left(x\right)=\frac{5}{2}x+\frac{2}{5}$	$(0,-2)$
$f\left(x\right)=5x-2$	$\left(0,-\frac{5}{2}\right)$

null

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 8.

1. Funkcije $f,g\mathrm{i}h$ zadane su pravilima pridruživanja:
   

   $\begin{array}{l}f\left(x\right)=0.2x-8\\ g\left(x\right)=2x+5\\ h\left(x\right)=3x+1.\end{array}$

   Najveći nagib grafa ili najstrmiji graf ima funkcija: ​

   $f$

   $g$

   $h.$

   

   null

   null

2. Funkcije $f,g\mathrm{i}h$ zadane su pravilima pridruživanja:

   $\begin{array}{l}f\left(x\right)=-5x-2\\ g\left(x\right)=-2x+3\\ h\left(x\right)=-x-1.\end{array}$

   Najveći nagib grafa ili najstrmiji graf ima funkcija: ​

   $f$  

   $g$ 
   

   $h.$​

   

   null

   null

Zadatak 9.

Na slici su grafovi linearnih funkcija $f,g,h,p,q,r,s.$ Razvrstajte linearne funkcije​ $f,g,h,p,q,r,s$ prema predznaku vodećeg koeficijenta u dvije skupine s nazivima: $a>0\mathrm{i}a<0.$

 ​Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

$g$

$s$

$q$

$f$

$h$

$r$

$p$

$a>0$

$a<0$

null

null

Zatvori

Sada nije teško zaključiti koje značenje imaju koeficijenti linearne funkcije za njezin graf. Uočili smo da vodeći koeficijent utječe na smjer, odnosno nagib grafa, a slobodni koeficijent otkriva točku u kojoj graf zadane linearne funkcije siječe ​ $y$-os.

Upravo je to razlog zašto koeficijente linearne funkcije nazivamo posebnim imenima.

Ako je linearna funkcija zadana pravilom pridruživanja​ $f\left(x\right)=ax+b,a,b\in \mathrm{R,}a\ne 0,$ vodeći koeficijent $a$ naziva se koeficijent smjera ili nagib grafa funkcije $f,$ a slobodni koeficijent ​ $b$ naziva se odsječak na ​ $y$-osi .

Nagib

Možemo li pročitati nagib grafa linearne funkcije ili obratno, možemo li nacrtati nagib?

Što znamo o koeficijentu smjera? Prisjetimo se.

Ako se vrijednost argumenta $x$ poveća za $1,$ vrijednost se funkcije promijeni za vrijednost koeficijenta $a.$

Ako se vrijednost argumenta $x$ uveća za $△x,$ vrijednost se funkcije $f$ promijeni za vrijednost $△f=a·△x.$ Pisali smo $a=\frac{△f}{△x}.$

Pogledajmo kako to izgleda na grafu linearne funkcije.

Primjer 2.

Na slici je prikazan graf linearne funkcije zadane s $f\left(x\right)=2x.$ Uočite osjenčani pravokutni trokut kojemu je jedna kateta (horizontalna) u smjeru osi apscise, a druga (vertikalna) u smjeru osi ordinate. Horizontalna kateta pokazuje promjenu argumenta za $1.$ ​Vertikalna kateta pokazuje prirast funkcije za $2,$ odnosno promjenu vrijednosti funkcije $f$ za vrijednost koeficijenta $a$ .

Osjenčani pravokutni trokut je geometrijski prikaz nagiba ili koeficijenta smjera linearne funkcije zadane s $f\left(x\right)=2x.$

Kako to izgleda za proizvoljnu linearnu funkciju?

Promotrite sličan trokut u sljedećoj aktivnosti.

1. Mijenjajte koeficijente linearne funkcije i pomičite točku $A.$
   
2. Što prikazuju nacrtani trokuti?
   
3. Ako se vrijednost apscise točke $A$ uveća za $1,$ $2,$ $3...$, za koliko se promijenila vrijednost ordinate?

Primijetimo da osjenčani trokut ne ovisi o izboru početne točke, odnosno argumenta $x.$ To znači da svi takvi trokuti dobro interpretiraju nagib ili koeficijent smjera linearne funkcije. Obično upotrebljavamo trokut kojemu je jedan vrh u sjecištu grafa s osi ordinatom.

Nagib grafa linearne funkcije možemo predočiti pravokutnim trokutom kojemu su vrhovi u točkama s koordinatama:
$(0,b),(1,b),(1,a+b)$

Prethodna će nam razmatranja pomoći nacrtati nagib grafa i općenito graf linearne funkcije.

Pritom ćemo vrh​ $A(0,b)$ zvati početna točka nagiba, a vrh​ $B(1,a+b)$ završna točka nagiba.

Primijetimo da je za $a<0$ vertikalni pomak od točke​ $\left(1,b\right)$ do završne točke $B(1,a+b)$ prema dolje, a za $a>0$ prema gore.

Zadatak 10.

U sljedećoj aktivnosti poredajte korake crtanja grafa linearne funkcije. ​

Postupak kojim možemo nacrtati graf linearne funkcije zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=ax+b:$ ​

• pomak udesno za $1$ do točke $(1,b),$
• vertikalan pomak za $a$ do točke $B(1,a+b).$
• Nacrtamo pravac kroz točke $A\mathrm{i}B.$
• Nacrtamo točku $A(0,b),$

Pomoć:

Vertikalan pomak za $a$ znači:

– pomičemo se za $\left|a\right|$ prema gore ako je koeficijent smjera $a$ pozitivan

– pomičemo se za $\left|a\right|$ prema dolje​ ako je koeficijent smjera $a$ negativan.

null

Primjer 3.

Na slici je prikazan graf linearne funkcije zadane s $f\left(x\right)=\frac{2}{3}x+1.$ Uočimo osjenčani pravokutni trokut. Odredimo njegove katete.

Ako su točke​ $A(3,3),B(6,5)$ na grafu linearne funkcije $f,$ tada je

$△x=x_2-x_1=$ $-$ $=$  .
$△y=y_2-y_1=△f=f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=$  $-$ $=$   .

null

null

Što se događa na grafu linearne funkcije ako se vrijednost argumenta $x$ uveća za neki broj $△x?$

Može li se novonastali pravokutni trokut povezati s pravokutnim trokutom kojim smo interpretirali nagib?

Hoće li se nagib mijenjati ovisno o argumentu i o $△x?$

Istražite koristeći se sljedećom aktivnošću.

Zaključimo.

Neka su $A(x_1,y_1),B\left(x_2,y_2\right)$ proizvoljne točke na grafu linearne funkcije $f.$

Pravokutni trokut s katetama $△x=x_2-x_1\mathrm{i}△y=y_2-y_1$ mijenja se ovisno o izboru točaka $A(x_1,y_1),B\left(x_2,y_2\right).$ Međutim, omjer je duljina kateta $\frac{△y}{△x}$ konstantan i jednak je nagibu pravca, odnosno koeficijentu smjera.

Razlika ordinata točaka ​ $A\mathrm{i}B$ s oznakom $△y$ jednaka je prirastu linearne funkcije $f$ kada se vrijednost argumenta $x$ promijeni za $△x,$ odnosno:

$\begin{array}{l}a=\frac{△y}{△x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{△f}{△x}.\end{array}$

Kutak za znatiželjne

Pokušajte dokazati zaključke koje smo naslutili u aktivnosti.
Dokažite da je omjer kateta $\frac{△y}{△x}$ konstantan i jednak koeficijentu smjera.

Zadatak 11.

Crtanje s pomoću nagiba

Nagib pravca možemo interpretirati koristeći se pravokutnim trokutom s katetama $1\mathrm{i}a$ ili pravokutnim trokutom s katetama $△x$ i $△y.$

Pokazali smo postupak crtanja grafa linearne funkcije u prvom slučaju.

Slično postupamo i u drugom slučaju.

Primjer 4.

Nacrtajmo graf linearne funkcije zadane s $f\left(x\right)=\frac{4}{3}x-2.$

Primjer 5.

Ako je funkcija zadana s​ $f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x-2,$ u kojem bismo koraku crtanja različito postupali?

Crtanje nagiba ima horizontalni i vertikalni pomak. Predznak nagiba ćemo dogovorno uzimati s brojnikom. Stoga će horizontalni pomak biti uvijek udesno, a vertikalni će pomak biti prema gore ako je nagib pozitivan, a prema dolje ako je nagib negativan.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 12.

Opišite prikazani postupak u sljedećem zadatku.

Ako je $f\left(2\right)=3\mathrm{i}a=-\frac{1}{2},$ tada je postupak crtanja grafa linearne funkcije $f$ sljedeći: Nacrtamo početnu točku (  ,  )

null

null

Od početne točke slijedi pomak prema za $2.$

null

null

Od posljednje pozicije slijedi pomak prema  za do završne točke i zatim kroz početnu i završnu točku povučemo pravac.

null

null

Zadatak 13.

Nacrtajte na papiru grafove linearnih funkcija​ $f,g,h$  zadanih sljedećim elementima redom:

1. ​ $a=\frac{3}{4},b=-1$
2. $a=-\frac{1}{3},A(-2,3)$
3. ​ $a=1,f\left(0\right)=0$.

Rješenje

---

Zatvori

Određivanje linearne funkcije

U sljedećoj aktivnosti odredite pravilo pridruživanja linearne funkcije zadane grafom.

Primjer 6.

Odredimo pravilo pridruživanja linearne funkcije zadane grafom.

Treba odrediti koeficijente​ $a,b$ u formuli $f\left(x\right)=ax+b.$

Koje podatke možemo precizno očitati s grafa? Jesu li ti podatci dovoljni?

Monotonost linearne funkcije

Primjer 7.

Na slici je graf linearne funkcije​ $f.$ ​ Popunimo tablicu vrijednosti za funkciju $f$ i odgovorimo na postavljena pitanja.

 

2

6

0

3

$-1$

4

null

null

Nagib grafa funkcije​ $f$ je:

pozitivan

negativan.

null

null

Umetnite znak $<\mathrm{ili}>$ tako da nejednakost bude točna.

$f(-2)$ $f\left(3\right)$ 
$f(-0.3)$ $f\left(1.4\right)$ 
$f\left(100\right)$  $f\left(101\right)$ 
$f\left(200\right)$  $f\left(100\right)$

null

null

Ako je​ $x<3,$ tada je

$f\left(x\right)<f\left(3\right)$  ​

$f\left(x\right)>f\left(3\right).$ 

null

null

Ako se vrijednost argumenta​ $x$ povećava, vrijednost funkcije $f\left(x\right):$

se smanjuje

se povećava

ostaje ista.

null

null

Primjer 8.

Na slici je graf linearne funkcije​ $f.$ ​Popunimo tablicu vrijednosti za funkciju $f$ i odgovorimo na postavljena pitanja.

 

$-1$

4

5

1

0

2

null

null

Nagib linearne funkcije​ $f$ je:

pozitivan

negativan.

null

null

Umetnite znak $<\mathrm{ili}>$ tako da nejednakost bude točna.
$f(-1)$ $f\left(0\right)$
$f\left(0.5\right)$ $f\left(5\right)$
$f\left(1\right)$ $f(-10)$
$f\left(100\right)$ $f\left(101\right)$

null

null

Ako je​ $x<3$ tada je:

$f\left(x\right)<f\left(3\right)$

$f\left(x\right)>f\left(3\right).$

null

null

Ako se vrijednost argumenta​ $x$ povećava, vrijednost funkcije​ $f\left(x\right)$ se:

smanjuje

povećava.

null

null

Vidjeli smo da se povećanjem argumenta $x$ vrijednosti linearne funkcije uvijek ili povećavaju ili smanjuju, ovisno o predznaku nagiba grafa, odnosno koeficijentu smjera.

Funkcije čije se vrijednosti povećavaju kad se argument povećava zvat ćemo rastuće funkcije.

Funkcije čije se vrijednosti smanjuju kad se argument povećava zvat ćemo padajuće funkcije.

Funkcije koje su ili rastuće ili padajuće su monotone funkcije.

Kako to izgleda za linearnu funkciju?

Općenito vrijedi:

Kutak za znatiželjne

Dokažite da je linearna funkcija s negativnim koeficijentom smjera padajuća, a s pozitivnim koeficijentom smjera rastuća.

Zadatak 14.

Razvrstajte pravila pridruživanja.

$p\left(x\right)=-\frac{2}{3}+x$  

$r\left(t\right)=-t+\frac{1}{2}$

$s\left(t\right)=-5+2t$  

$h\left(x\right)=0.01x-1$

$v\left(t\right)=-2t-5$

$f\left(x\right)=1-0.01x$

$g\left(x\right)=\frac{2-x}{3}$ ​

Rastuće linearne funkcije

 Padajuće linearne funkcije

null

null

Grafička metoda

Povezani sadržaji

Koliko ste puta vidjeli sličan graf u fizici ili možda u novinama s prikazom nekih statističkih podataka?

Što sve možemo pročitati s toga grafa? Pogledajmo.

Primjer 9.

Prvo smo uočili da se radi o linearnoj funkciji ili o, u kontekstu fizike, jednolikom pravocrtnom gibanju. U tom slučaju biciklist svaki sat (promjena argumenta za $1$) prijeđe isti broj kilometara pa je brzina biciklista konstantna. To znači da je njezin iznos jednak nagibu nacrtanog pravca.

Kako pročitati na grafu vrijeme potrebno da biciklist prijeđe $85$ kilometara?

Pogledajmo na grafu.

Zadatak 15.

Riješite zadatak računski.​

Kako bi bilo da je pitanje glasilo: Koliko će vremena biciklistu trebati da prijeđe put od $82$ kilometra?

Tada ne bismo u ovako označenom koordinatnom sustavu mogli precizno očitati potrebno vrijeme, već samo napraviti dobru procjenu. Ponekad su procjena i grafička metoda jedini način da dođemo do rješenja.

Ako postoji pravilo pridruživanja, a kontekst zahtijeva preciznost, koristit ćemo se algebarskom metodom.

Primjer 10.

Odredimo grafičkom metodom nulište linearne funkcije koja je zadana pravilom:

1. $f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+4$ 
2. $g\left(x\right)=3x-2.$
   

Podsjetimo se.

Odrediti nulište znači: odrediti argument za koji će funkcija imati vrijednost $0,$ odnosno riješiti linearnu jednadžbu $f\left(x\right)=0.$

Gledajući graf, tražimo točku koja ima ordinatu $y=f\left(x\right)=0.$ Točke s koordinatama $(x,0)$ nalaze se na osi apscisi, što znači da tražimo točku u kojoj graf funkcije siječe os apscisu. Nulište je apscisa te točke.

Na grafu je vidljivo da je nulište funkcije​ $f$ broj $6,$ a nulište funkcije $g$ približno broj $0.7.$

Iako smo prilično sigurni da smo dobro pročitali da je broj $6$ nulište, treba napraviti provjeru kako bismo i dokazali da je to rješenje.

Provjera:
$f\left(6\right)=-\frac{2}{3}·6+4=-4+4=0$ $g\left(0.7\right)=3·0.7-2=0.1.$
Ta razlika od $0.1$ nastala je zbog nepreciznosti u očitanju nulišta pa možda grafička metoda nije najprimjerenija u tom slučaju. No, ponekad je cilj zadatka procijeniti neku vrijednost, za što je grafička metoda vrlo pogodna.

Odrediti nulište linearne funkcije znači odrediti točku u kojoj graf te funkcije siječe os apscisu. Nulište je apscisa te točke.

Kako smo s grafa koji prikazuje kretanje biciklista odredili odgovor na pitanje: U kojem je intervalu biciklist između $50.$ i $60.$ kilometra?

Kako grafičkom metodom riješiti sustav nejednadžbi​ $50<s\left(t\right)<60?$

Mogli smo jednostavno birati vrijednosti za $t$ iz ponuđenih intervala i provjeravati hoće li točka na grafu s apscisom $t$ imati ordinatu $s\left(t\right)$ između $50.$ i $60.$ kilometra.

No, nećemo uvijek imati ponuđene odgovore, ali slično ćemo postupati i općenito.

Pogledajmo na slici rješenje zadatka.

Zadatak 16.

Riješite sljedeće nejednadžbe grafičkom metodom, pri čemu se možete koristiti prethodnom aktivnošću. Skup rješenja prikažite s pomoću intervala.

1. $f\left(x\right)<3,\mathrm{ako}\mathrm{je}f\left(x\right)=2x-1$
2. $f\left(x\right)>1,\mathrm{ako}\mathrm{je}f\left(x\right)=\frac{4}{3}x-3$
3. $f\left(x\right)<0,\mathrm{ako}\mathrm{je}f\left(x\right)=-2x+4$
4. $f\left(x\right)>0,\mathrm{ako}\mathrm{je}f\left(x\right)=-2x+4$
5. $f\left(x\right)<0,\mathrm{ako}\mathrm{je}f\left(x\right)=2x+4$
6. $f\left(x\right)>0,\mathrm{ako}\mathrm{je}f\left(x\right)=2x+4$

Provjerite rješenje tako da zadatak riješite i algebarski.

Promotrite podzadatke c., d., e., f. iz prethodnog zadatka.

Grafički smo rješavali nejednadžbu $f\left(x\right)>0\iff ax+b>0$ ili $f\left(x\right)<0\iff ax+b<0.$
Rješenje koje smo dobili interval je realnih brojeva na brojevnom pravcu od $-\infty$ do nulišta ili od nulišta prema $\infty .$

Kažemo da funkcija mijenja predznak u nulištu, odnosno da njezina vrijednost prelazi iz pozitivne u negativnu ili obratno.

Stoga se često rješavanje nejednadžbe svodi na rješavanje jednadžbe, a zatim, koristeći se grafom funkcije ili svojstvom rasta (pada), određujemo koji je interval rješenje.

Kako to izgleda kod linearne funkcije? Pogledajmo prikaz.

Zadatak 17.

Popunite prazna mjesta.

Linearna je funkcija zadana pravilom pridruživanja​ $f\left(x\right)=4x-8.$
Njezino je nulište $x_0=$ 0.5-22-0.5. Funkcija $f$ je padajućarastuća.
Stoga na interval u od $-\infty$ do 2-2-0.50.5ima pozitivnu negativnuvrijednost, a na intervalu od -0.52-20.5do $\infty$ ima pozitivnunegativnuvrijednost.

null

null

Linearna je funkcija zadana pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=-0.5x+3$ $.$ ​
Njezino je nulište $x_0=$   .
Funkcija $f$ je padajuća pa je za sve $x<$ vrijednost $-0.5x+3>$ , a za sve $x>$    vrijednost izraza $-0.5x+3<$ .

null

null

Pravac

Zadatak 18.

Je li svaki pravac graf linearne funkcije?

Koji su od sljedećih pravaca grafovi linearne funkcije, a koji nisu? Razvrstajte ih u te dvije skupine.

$f$

$j$

$g$

$p$

$h$

$k$

$i$

 Graf linearne funkcije

 Nije graf linearne funkcije

 

Postupak:

Pravac $j$  ​nije graf linearne funkcije jer za svaki $x$ uvijek je ista vrijednost funkcije, pa je to graf konstantne funkcije. Pravci $i,k$ nisu grafovi funkcija jer postoji ​ $x$ kojemu je pridruženo više različitih vrijednosti ​ $y.$

Svaki je pravac skup točaka $T\left(x,y\right)$ u koordinatnom sustavu $.$ Relacija, odnosno veza između koordinata $x\mathrm{i}y$ od točaka na pravcu može se opisati jednadžbom.​ Znamo da svaka relacija ne mora biti funkcija i da svaki graf ne mora biti funkcijski. Stoga ni svaki pravac nije graf funkcije. Možemo li svaki pravac opisati jednadžbom?

Zadatak 19.

Svakom od nacrtanih grafova $f,g,h,i,j,k,p$ u prethodnoj aktivnosti pridružite (uparivanjem) jednadžbu koja ga opisuje.

 

$f$	$y=\frac{4}{3}x-4$
$h$	$y=-x$
$p$	$y=-4$
$k$	$y=-\frac{2}{5}x+3$
$i$	$y=2x$
$j$	$x=-2$
$g$	$x=7$

null

null

Pravce $f,g,h,p$ opisali smo jednadžbom oblika $y=ax+b$ jer su to grafovi linearne funkcije. Pravac $j$ skup je točaka kojima je ordinata $y=-4,$ stoga je prirodno da njegova jednadžba bude $y=-4.$ Analogno, sve točke na pravcima $i,k$ imaju istu apscisu pa je prirodno da njihove jednadžbe budu $x=-2\mathrm{i}x=7.$

Horizontalni pravac ili pravac paralelan s osi apscisom ima jednadžbu​ $y=b,b\in \mathbf{R}.$

Vertikalni pravac ili pravac paralelan s osi ordinatom ima jednadžbu​ $x=c,c\in \mathbf{R}.$

Primjer 11.

Promotrimo jednadžbu​ $3x-4y-6=0.$ Opisuje li ta jednadžba neki pravac?

Ako danu jednadžbu zapišemo u obliku:

$-4y=-3x+6\Rightarrow y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2},$

prepoznajemo pravilo pridruživanja linearne funkcije, a njezin je graf pravac.

U prvom slučaju kažemo da je pravac zadan implicitnom ili neizravnom jednadžbom.

U drugom slučaju kažemo da je pravac zadan eksplicitnom ili izravnom jednadžbom.

Kutak za znatiželjne

Koji se pravci mogu opisati eksplicitnom jednadžbom, a koji ne mogu? Može li se svaki pravac opisati implicitnom jednadžbom? Obrazložite.

Zadatak 20.

Nacrtajte na papiru pravce zadane jednadžbom:

1. $-x+y+3=0$  ​
2. $\frac{1}{2}x+5=0$
3. $3x-y=0$
4. $2y-5=0.$

Za crtanje pravca zadanog implicitnom jednadžbom obično se koristimo tablicom vrijednosti, u kojoj možemo birati vrijednosti za​ $x,$ a računati $y$ ili obratno, ovisno o zadanim koeficijentima.