3.1 Algebarski izrazi

Brojevi i slova

Uvodni primjer zorno pokazuje povijesni način zadavanja i rješavanja problema riječima koristeći se samo poznatim brojčanim iznosima, ali i algebarski način (u ponuđenim rješenjima) koristeći se jednadžbama.

Algebra nam je važan alat pri postavljanju, rješavanju ili pojednostavnjivanju problema iz različitih područja.

U algebri upotrebljavamo slova za nepoznate veličine, takozvane opće brojeve ili varijable. Realne brojeve koji predstavljaju poznate veličine nazivamo konstante.

Poznate i nepoznate veličine povezujemo matematičkim simbolima kao što su znakovi računskih radnji, zagrade i slično.

Algebarske smo izraze upotrebljavali i prije, i u matematici (Podsjetnik: Matematika 8, Modul 1 ili Matematika 1, Modul 2, Potencije) i u raznim drugim područjima.

Kroz povijest je matematika kao znanost doživjela velike promjene kada se prelazilo iz aritmetike ili računanja s brojevima prema algebri u kojoj se računa s varijablama koje označavamo slovima.

Taj je prijelaz s brojeva na slova i simbole oduvijek bio težak za ljudski um. Zato ćemo početi s jednostavnim primjerima i pojmovima.

Primjer 1.

Kako zapisati s pomoću simbola, odnosno brojeva i varijabli izraze zadane riječima?

Primjerice:

• Zbroj nekog broja $a$ i broja $3$ zapisujemo s $a+3.$
• Umnožak broja $7$ i kvadrata varijable $x$ zapisujemo s $7·x^2$ ili $7x^2.$
• Omjer brojeva $a$ i $b$ umanjen za dvostruki broj $a$ zapisujemo s $\frac{a}{b}-2a.$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zapišite s pomoću zadanog broja, simbola i varijable $n$ .​

Svakoj rečenici povlačenjem pridružite njegov zapis.

Broj $n$je umanjen za $5.$	$n-5$
Broj $n$je umanjen $5$puta.	$5n$  ​
Broj $n$je uvećan $5$puta.	$\frac{n}{5}$  ​
Broj $n$je uvećan za $5.$	$n+5$  ​

 

null

Zadatak 2.

Koji od ponuđenih algebarskih izraza određuje izraz zadan riječima?

1. Aritmetička sredina brojeva $5$ i $x$ je:
   

   $\frac{5x}{2}$

   $\frac{5+x}{2}$

   $5+\frac{x}{2}$

   $\frac{2}{5+x}$​

   

   null

   null

2. Kvadrat zbroja brojeva $a\mathrm{i}b$ je:  ​

   $a^2+b^2$

   ovo je zbroj kvadrata brojeva $a\mathrm{i}b$

   $a+b^2$

   ovo je zbroj broja ​ $a$ i kvadrata broja $b$ 

   $(a+b{)}^2$

   $(a-b{)}^2.$  ​

   Ovo je kvadrat razlike brojeva $a\mathrm{i}b$

   

   null

   null

3. Zbroj broja​ $x$ i njegove recipročne vrijednosti je:

   $x+\frac{1}{x}$

   $x+(-x)$

   ovo je zbroj broja $x$ i njegovog suprotnog broja

   $x-\frac{1}{x}$

   ovo je razlika broja $x$ i njegove recipročne vrijednosti

   $(x+1{)}^{-1}.$

   ovo je recipročna vrijednost broja $x$ uvećanog za $1$

   

    
   

   null

4. Šestina zbroja kvadrata broja​ $a$ i broja $1$ je:
   

   $\frac{1}{6}(a+1{)}^2$

   ovo je šestina kvadrata zbroja brojeva ​ $a$ i $1$

   $\frac{1}{6}(a^2+1)$

   $\frac{1}{6}{a}^2+1$

   ovo je zbroj šestine kvadrata broja ​ $a$ i broja $1$ 

   $(\frac{a}{6}+1{)}^2.$​

    ovo je kvadrat zbroja šestine broja ​ $a$ i broja 1

   

   null

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

U sljedećim zadatcima odaberite jedan točan odgovor od ponuđenih ili upišite točan odgovor na predviđeno mjesto tako da dobijete istinitu tvrdnju.

1. Ako je $y$ paran broj, onda je sljedeći po redu paran broj y + 2y + 1.

   

   null

   null
2. $2n-1$ i $2n+1$  su dva uzastopna parnaneparnabroja.

   

   null

    
   

3. Proizvoljni višekratnik broja $3,$ zapisan s pomoću varijable ​ $n,$ oblika je 3:n3+n3n.

   

    
   

    
   

4. Brojevi oblika $3n-2,$ $3n+1$ su brojevi koji pri dijeljenju s 3 daju ostatak 2djeljivi s 3pri dijeljenju s 3 daju ostatak 1.

   
5. Broj $6n+5$ je opći broj koji pri dijeljenju brojem​ daje ostatak .

   

   null

   null

Zadatak 4.

Postavite algebarske izraze uz odgovarajući zapis riječima.
Razlika kvadrata brojeva $x$ i $y$

 

. Kvadrat razlike brojeva $x$ i $y$

 

.
Zbroj recipročnih vrijednosti brojeva $x$ i $y$

 

. Recipročna vrijednost zbroja brojeva $x$ i $y$

 

.
Kub zbroja brojeva $x$ i $y$

 

. Zbroj kubova brojeva $x$ i $y$

 

.
Razlomku s brojnikom $x$ i nazivnikom $y$ dodaje se četiri petine

 

.
U razlomku se brojniku $x$ dodaje broj 4, a nazivniku $y$ broj 5

 

.
Zbroj dvostrukog broja $x$ i broja $y$ 

 

.
Dvostruki zbroj brojeva $x$ i $y$

 

.

$2x+y$

$\frac{x}{y}+\frac{4}{5}$

$2\left(x+y\right)$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

$x^2-y^2$

$\frac{1}{x+y}$

${\left(x+y\right)}^3$

${\left(x-y\right)}^2$

$x^3+y^3$

$\frac{x+4}{y+5}$

 

null

Zatvori

Geometrijski prikaz

Primjer 2.

Koji algebarski izrazi određuju opseg i površinu sljedećeg lika?

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 5.

Algebarski izraz $12a$ određuje opseg geometrijskog lika. Nacrtajte na papiru barem tri takva lika.

Rješenje

---

Zadatak 6.

Za svaki od nacrtanih likova u zadatku 5. napišite algebarski izraz koji određuje njegovu površinu.

Rješenje

Površina 1: $P_1=9a^2$

Površina 2: $P_2=5a^2$

Površina 3: $P_3=5a^2$

---

Zadatak 7.

Koji od ponuđenih algebarskih izraza određuje dani geometrijski prikaz?

1. Površina lika je:

   

   $6x^2-x$  ​

   $12x-2$  ​

   $8x^2-x.$  ​

   

   null

   null

2. Opseg trokuta je:

   

   $3x+3$  ​

   $3x-2$  ​

   $3x-3$

   $3x-15.$ ​

   

   null

   null

3. Obujam kvadra je:

   

   $5x^3$  ​

   $7x^3$  ​

   $34x^2$

   $10x^3.$

   

   null

   null

4. Površina trokuta je:

   

   $\frac{1}{2}x\left(x+1\right)$

   ​ $x^2+x$

   $2x^2+x$

   $\frac{1}{2}{x}^2+x.$

   

   null

   null

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Raspravite o algebarskim izrazima iz 3. zadatka u ovisnosti o realnom broju​ $x.$ Postoje li neki uvjeti koje broj ​ $x$ mora zadovoljavati kako bi dani algebarski izraz bio dobra interpretacija geometrijskog prikaza? Jesu li svi geometrijski prikazi danih dimenzija uvijek mogući?

Članovi algebarskog izraza

Prethodni primjeri i zadatci pomogli su nam u čitanju, razumijevanju i zapisivanju algebarskih izraza.

Što još moramo znati o njima? Kako ćemo opisati ili razlikovati algebarske izraze?

Primjer 3.

Promotrimo neke od algebarskih izraza. Primjerice:

$\underset{1.član}{\underset{⏟}{3x{y}^4{z}^6}}-\underset{2.član}{\underset{⏟}{2xy}},$

$\underset{1.član}{\underset{⏟}{2x\left(x+2\right)}}+\underset{2.član}{\underset{⏟}{1}},$

$\underset{1.član}{\underset{⏟}{x^2}}-\underset{2.član}{\underset{⏟}{4x}}+\underset{3.član}{\underset{⏟}{5}}$

Pribrojnike u algebarskom izrazu nazivamo članovi algebarskog izraza.

Od čega se sastoji neki član algebarskog izraza?

Član algebarskog izraza:

Svaki član algebarskog izraza u svojemu zapisu može imati konstantu i varijabilni dio. Može se zapisati kao umnožak konstante i jedne ili više potencija kojima je baza neka varijabla. Konstantu obično pišemo na početku člana i nazivamo je koeficijent tog člana. Pogledajmo na primjeru.

Primjer 4.

Po čemu se razlikuju sljedeće skupine algebarskih izraza?

1. Skupina	2. Skupina	3. Skupina
$2x$	$-3x+4$	$3x^2-4x+6$
$3a^3$	$2ab-a$	$a+b+c$
$-2xy$	$x^3-2x$	$2y^3-5y^2-y$
$4y^5$	$y{z}^4-y^3$	$xy-y+2$
$x^4{y}^2$	$x-y$	$3x^3+2x^2+x$

Znak za množenje „∙ ” obično ne pišemo unutar jednog člana. Ako algebarski član nema konstantu na početku, smatramo da je koeficijent tog člana broj $1.$ Koeficijent $1$ obično ne pišemo.

Unutar jednog člana baza potencije može biti također neki algebarski izraz, primjerice $-4x{\left(x-3\right)}^2{y}^5.$  

 ​

Algebarski izraz koji ima samo jedan član naziva se monom.

Dvočlani algebarski izraz naziva se binom, tročlani trinom, a višečlani algebarski izraz polinom.

Ovisno o broju varijabli koje sadržava, polinome još dijelimo na polinome jedne ili polinome više varijabli.

Istoimeni članovi

Ako želimo usporediti algebarske izraze ili ih rabiti za računanje, poželjno ih je prije toga zapisati u najjednostavnijem obliku.

U tu svrhu prvo provedemo sve računske radnje koje možemo unutar svakoga pojedinog člana i zapišemo ih tako da se varijable ne ponavljaju, s koeficijentom na početku.

Primjer 5.

Pojednostavnimo monom:

$2a^{5}b·3b^4=6a^5{b}^5.$

Iako nije nužno, varijable i potencije obično zapisujemo abecednim poretkom.

Svi članovi algebarskog izraza koji u svojemu zapisu sadržavaju iste potencije nazivaju se istoimeni ili odgovarajući članovi.

Istoimeni se članovi mogu razlikovati samo u koeficijentu.

Zbrojiti možemo samo istoimene članove i to tako da zbrojimo njihove koeficijente, a sve ostale potencije unutar tog člana prepišemo.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 10.

Razvrstajte po skupinama sljedeće monome tako da u svakoj skupini, zajedno s monomom koji je u nazivu skupine, budu samo istoimeni članovi. Ako ste dobro razvrstali monome, zbroj se svih monoma u skupini nalazi u nazivu te skupine.

$-14yx$ 

$2xy$ 

$-\frac{5}{3}{x}^3$ 

$2x^3$  ​

$20x{y}^2$  ​

$-xy$

$-2y{x}^2$  ​

$-4x^3$  ​

$5y{x}^2$  ​

$15yx$

$\frac{2}{3}{x}^3$ 

$-11x{y}^2$

$-5x^{2}y$  ​

$3x{y}^2$ ​

$8x^{2}y$ ​

$x{y}^2$

$2xy$ 

$-3x^3$ 

$6x^{2}y$

$13x{y}^2$

null

null

Zadatak 11.

Koji su od sljedećih algebarskih izraza jednaki?

Uparite algebarske izraze koje smatrate jednakima.

$2x·3x$	$2x^4+2x^2+3x-5-x^3+3x^5+8x$
$3x^5+2x^4-x^3+2x^2+11x-5$	$5x-2x^2-3$  ​
$8x^2{y}^4-4x^2{y}^4$  ​	$6x^2$  ​
$-2x^2+5x-3$	${\left(4x^2{y}^4\right)}^2$
$3x^5-x^4+2x^2+8x-5+3x$	$4x^2{y}^4$
$16x^4{y}^8$	$3x^5-x^4+2x^2+11x-5$

null

null

Zadatak 12.

Kako ste odlučili koji su algebarski izrazi jednaki? Što ste provjeravali?

Označite sve što treba biti ispunjeno kako bi dva algebarska izraza, koja smo prethodno pojednostavnili, bila jednaka.

1. Da bi jednočlani algebarski izrazi ili monomi bili jednaki, moraju:

   imati isti koeficijent

   imati sve varijable jednake

   imati sve potencije jednake

   imati sve varijable poredane po abecedi.

   

   null

   null

2. Da bi dva algebarska izraza ili polinoma bila jednaka, moraju:​

   imati isti broj članova

   imati sve koeficijente jednake

   imati članove u poretku od najvećega do najmanjeg koeficijenta

   imati sve članove potpuno jednake

   imati sve monome s jednakim brojem potencija.

   

   null

   null

Zatvori