2.3 Računanje s potencijama jednakih baza

Množenje potencija jednakih baza

Primjer 1.

Promotrimo.

$\begin{array}{l}{3}^3·3^2=(3·3·3)·(3·3)=3·3·3·3·3=3^5\end{array}$

$\begin{array}{l}{0.1}^4·{0.1}^2=(0.1·0.1·0.1·0.1)·(0.1·0.1)={0.1}^6\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(-2\right)}^3·\left(-2\right)=\left(-2\right)·\left(-2\right)·\left(-2\right)·\left(-2\right)={\left(-2\right)}^4\end{array}$

$\begin{array}{l}{a}^3·a^6=(a·a·a)·(a·a·a·a·a·a)=a^9\end{array}$

$\begin{array}{l}{a}^5·a^{-3}=a^5·\frac{1}{a^3}=a·a·\cancel{a}·\cancel{a}·\cancel{a}·\frac{1}{\cancel{a}·\cancel{a}·\cancel{a}}=a^2\end{array}$  

Što uočavamo?

Zadatak 1.

Primijenite uočeno i pokušajte bez zapisivanja potencija u obliku umnoška riješiti sljedeći zadatak.

Zapišimo pravilo za množenje potencija jednakih baza.

$a^m·a^n=a^{m+n},$ $a\in \mathbf{R},a\mathrm{\ne }\mathrm{0}\mathrm{,}m,n\mathrm{\in }\mathbf{Z}$

Potencije jednakih baza množimo tako da bazu prepišemo, a eksponente zbrojimo.

Dijeljenje potencija jednakih baza

Primjer 2.

Promotrimo.

$5^5:5^2=\frac{5^5}{5^2}=\frac{5·5·5·\cancel{5}·\cancel{5}}{\cancel{5}·\cancel{5}}=5^3$

$\begin{array}{l}{1.5}^3:{1.5}^7=\frac{{1.5}^3}{{1.5}^7}=\frac{\cancel{1.5}·\cancel{1.5}·\cancel{1.5}}{\cancel{1.5}·\cancel{1.5}·\cancel{1.5}·1.5·1.5·1.5·1.5}=\frac{1}{{1.5}^4}={1.5}^{-4}\end{array}$ 

$4^5:4^{-2}=4^5·\frac{1}{4^{-2}}=4^5·4^2=4^7$

$\begin{array}{l}{2.3}^{-8}:{2.3}^5=\frac{1}{{2.3}^8}·\frac{1}{{2.3}^5}=\frac{1}{{2.3}^8·{2.3}^5}=\frac{1}{{2.3}^{13}}={2.3}^{-13}\end{array}$

$\begin{array}{l}{a}^7:a^4=\frac{a^7}{a^4}=\frac{a·a·a·\cancel{a}·\cancel{a}·\cancel{a}·\cancel{a}}{\cancel{a}·\cancel{a}·\cancel{a}·\cancel{\cancel{a}}}=a^3\end{array}$ 

Što uočavate?

Zadatak 2.

Primijenite uočeno i pokušajte bez zapisivanja potencija u obliku umnoška riješiti sljedeći zadatak.

Zapišimo pravilo za dijeljenje potencija jednakih baza.

$a^m:a^n=a^{m-n}$ $,$ $a\in \mathbf{R},a\mathrm{\ne }\mathrm{0}\mathrm{,}m,n\mathrm{\in }\mathbf{Z}$

Potencije jednakih baza dijelimo tako da bazu prepišemo, a eksponente oduzmemo.

Potenciranje potencije

Primjer 3.

Promotrimo.

$\begin{array}{l}{\left(5^2\right)}^3=5^2·5^2·5^2=\left(5·5\right)·\left(5·5\right)·\left(5·5\right)=5^6\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left({\left(-2\right)}^3\right)}^4={\left(-2\right)}^3·{\left(-2\right)}^3·{\left(-2\right)}^3·{\left(-2\right)}^3={\left(-2\right)}^{3+3+3+3}={\left(-2\right)}^{4·3}={\left(-2\right)}^{12}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left({0.2}^2\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left({0.2}^2\right)}^3}=\frac{1}{{0.2}^2·{0.2}^2·{0.2}^2}=\frac{1}{{0.2}^{2+2+2}}=\frac{1}{{0.2}^6}={0.2}^{-6}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(a^4\right)}^5=a^4·a^4·a^4·a^4·a^4=a^{4+4+4+4+4}=a^{20}\end{array}$

Što uočavate?

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Primijenite uočeno i pokušajte bez zapisivanja potencija u obliku umnoška riješiti sljedeći zadatak.

Zadatak 4.

Uočite:

$3^4:3^4=81:81=1$ 

$3^4:3^4=3^{4-4}=3^0.$

U prošloj smo jedinici došli do definicije $a^0=1,a\ne 0.$ Provjerite i obrazložite je li naša definicija u skladu s pravilom za dijeljenje potencija jednakih baza.

Rješenje

Svaki broj (osim nule) podijeljen sa samim sobom daje jedan. Stoga podijelimo li bilo koju potenciju s tom istom potencijom, rezultat će biti broj jedan.

$a^n:a^n=\frac{\cancel{a^n}}{\cancel{a^n}}=1$ 

S druge strane, potencije jednakih baza dijelimo tako da bazu prepišemo, a eksponenete oduzmemo.

​ $a^n:a^n=a^{n-n}=a^0=1.$

Stoga je definicija​ $a^0=1,a\ne 0$ u skladu s pravilom za dijeljenje.

---

Zatvori

Zapišimo pravilo za potenciranje potencije.

${\left(a^m\right)}^n=a^{m·n},$ $a\in \mathbf{R},a\mathrm{\ne }\mathrm{0}\mathrm{,}m,n\mathrm{\in }\mathbf{Z}$  

Potencija se potencira tako da se baza prepiše, a eksponenti pomnože.

Zadatak 5.

Izračunajte.

1. $2^{12}·2^{-5}·2^{-6}=$
2. ${\left(-3\right)}^{400}:{\left(-3\right)}^{300}:{\left(-3\right)}^{100}=$
3. ${\left(\sqrt{3}\right)}^{-7}.{\left(\sqrt{3}\right)}^{-5}:{\left(\sqrt{3}\right)}^{-10}=$
4. ${\left(5^{10}\right)}^3·{\left(5^3\right)}^{10}=$
5. ${81}^{-2}·3^6=$
6. $\frac{2^{-20}·2^{10}}{2^{-15}}=$
7. $5·{\left(\frac{1}{5}\right)}^{44}·5^{45}:125=$
8. $\frac{(-2{)}^{50}}{2^{40}}·(-2{)}^{-15}=$

Promotrimo izraz $3a^4.$

Broj $3$ množi potenciju $a^4$ i uobičajeno je u tom slučaju znak za množenje izostaviti. Kažemo da je broj $3$ u tom slučaju koeficijent uz potenciju​ $a^4.$

Želimo li izračunati vrijednost tog izraza, primjerice za $a=2,$ tada ćemo pisati znak za množenje i račun izgleda ovako:

$3·2^4=3·16=48.$

Uočimo redoslijed računskih radnji koje smo primijenili u računu.

Pri računanju s potencijama, potenciranje ima prednost pred računskim radnjama zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja.

Zadatak 6.

Primijenite naučeno.

Primjer 4.

Koliko je $15a^6:5a^3?$ A koliko je $15·a^6:5·a^3?$

U prvom ćemo slučaju podrazumijevati da je:

$\begin{array}{l}15a^6:5a^3=\left(15a^6\right):\left(5a^3\right)=\frac{15a^6}{5a^3}=\frac{15}{5}·\frac{a^6}{a^3}=3a^3,\end{array}$

a u drugom slučaju izvodimo računske radnje množenja i dijeljenja onim redom kako dolaze:

$\begin{array}{l}15·a^6:5·a^3=15·a^6·\frac{1}{5}·a^3=3a^{6+3}=3a^9.\end{array}$

U sljedećim je zadatcima baza neki proizvoljan realni broj različit od nule, a eksponent cijeli broj. Primijenite pravila za računanje s potencijama jednakih baza i rješenje zapišite na papiru u što jednostavnijem obliku, s pomoću potencije.

Primjer 5.

Koliko je $2^{3^4}?$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Koji je broj veći i koliko puta - ${\left(2^3\right)}^2$ ili $2^{3^2}?$

Rješenje

${\left(2^3\right)}^2=2^6$

$2^{3^2}=2^9$

Broj​ $2^{3^2}$ je veći i to $\frac{2^9}{2^6}=2^3=8$ puta.

---

Zadatak 10.

Koliko je ​ $2^{2^{2^{2^2}}}?$

Rješenje

$2^{65536}$

---

Zatvori

Zbrajanje potencija

Primjer 6.

Koliko je $a^6+a^6$ i $a^6+a^4?$

Možemo li zbrojiti bilo koje dvije potencije prema nekome određenom pravilu?

Potencije možemo zbrojiti samo ako imaju istu bazu i isti eksponent. U tom slučaju zbrajamo koeficijente koji stoje uz potenciju, a potenciju prepišemo.

Primjerice:

$2a^6+3a^6=(2+3)a^6=5a^6$

$a^{17}+5a^{17}-4a^{17}=(1+5-4)a^{17}=2a^{17}.$

Zadatak 11.

Razvrstajte zadane potencije u tri skupine potencija koje se mogu zbrajati (u obliku u kojem su zadane, bez računanja same potencije).

Zbroj svih potencija u pojedinoj skupini je naziv skupine.

Potencije su:

$\begin{array}{l}-3·2^4,-2·2^5,2^4,4^3,13·2^5,-\frac{1}{2}·4^3,5·2^4,-2·4^3,-10·2^5\end{array}.$

Skupine su označene brojevima $48,-96,32.$

$-3·2^4$

$13·2^5$

$-\frac{1}{2}·4^3$

$-10·2^5$ 

$4^3$

$2^4$

$-2·4^3$

$5·2^4$

$-2·2^5$

48

$-96$

 32

null

Postupak:

$-3·2^4+2^4+5·2^4=3·2^4$

$\begin{array}{l}{4}^3-2·4^3-\frac{1}{2}·4^3=4^3-2·4^3-\frac{1}{2}·4^3=-\frac{3}{2}·4^3=-\frac{3}{2}·64=-96\end{array}$

​

Zanimljivost

Najpoznatiji je matematički teorem ili tvrdnja zasigurno veliki Fermatov teorem koji je Fermat zapisao na koricama Diofantove Aritmetike još u 17. stoljeću, uz napomenu da je pronašao sjajan dokaz tog teorema, ali su margine knjige preuske da bi ga na njima zapisao. Za tim su sjajnim dokazom mnogi veliki matematičari tragali više od 350 godina, iako sam teorem ima vrlo jednostavan iskaz:

Ne postoje prirodni brojevi $x,y,z$ i broj $n$ veći od $2$ za koje vrijedi $x^n+y^n=z^n.$

Engleski matematičar Andrew Wiles prvi je koji je u cijelosti 1994. godine uspio dokazati Veliki Fermatov teorem.

Kutak za znatiželjne

Kombinatorika je dio matematike u kojem se često služimo potencijama i pravilima za računanje s njima kako bismo prebrojili elemente nekog skupa ili njegove podskupove. Riješimo nekoliko jednostavnih zadataka.

Zadatak 12.

1. Jedan dio ispita iz Fizike na državnoj maturi ima $24$ pitanja s po četiri ponuđena odgovora na svako pitanje, od kojih je samo jedan točan. Na koliko se različitih načina može odgovoriti na pitanja?
2. Na nekom je ispitu iz Matematike $10$ pitanja iz algebre s po dva ponuđena odgovora te 6 pitanja iz geometrije s po četiri ponuđena odgovora, od kojih je samo jedan točan. Na koliko se različitih načina može odgovoriti na pitanja?
3. U igri yamb baca se pet igraćih kocki, na čijim su stranama nacrtane $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ ili $6$ točkica. Na koliko različitih načina može tih pet kocki pasti ako bilježimo broj koji se pojavi na gornjoj strani kocke?
4. Koliko se različitih registarskih tablica može složiti od triju slova hrvatske abecede i od triju znamenki?