Matematika 1 - Aktivnosti za samostalno učenje

...i na kraju

Zadnja znamenka

Koristeći u tablici zadane podatke odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici (na papir).

Uočavate li kakvu pravilnost u zadnjoj znamenci dobivenih brojeva? Opišite ju!
Zapišite opće pravilo za zadnju znamenku broja $3^{n} .$
Koristeći se svojim pravilom, odredite zadnju znamenku broja i opišite kako ste do toga došli:
1. $3^{22}$
2. $3^{47}$
3. $3^{81}$
Ponovite sve korake od a. do b., samo umjesto baze $3$ rabite bazu $8 .$
Koristeći pravila do kojih ste došli izračunajte zadnju znamenku:
1. zbroja $3^{201} + 8^{2018}$
2. umnoška $3^{1004} \cdot 8^{107}$

Tablicu riješite sami.
Na mjestu zadnje znamenke ponavljaju se znamenke $3,$ $9,$ $7,$ $1 .$
Zadnja znamenka ovisi o ostatku pri dijeljenju eksponenta $n$ s $4,$ odnosno
- ako je $n = 4 k + 1,$ zadnja će znamenka biti $3$
- ako je $n = 4 k + 2,$ zadnja će znamenka biti $9$
- ako je $n = 4 k + 3,$ zadnja će znamenka biti $7$
- ako je $n = 4 k,$ zadnja će znamenka biti $1 .$
1. $22 = 4 \cdot 5 + 2$ pa je zadnja znamenka $9 .$
2. $47 = 4 \cdot 11 + 3$ pa je zadnja znamenka $7 .$
3. $81 = 4 \cdot 20 + 1$ pa je zadnja znamenka $3 .$
Ponavljaju se znamenke $8,$ $4,$ $2,$ $6$ ; pravilo je slično kao kod broja $3,$ ovisi o ostatku pri dijeljenju eksponenta $n$ s $4 .$

a., b., c. zadnje znamenke su:
1. $4$
2. $2$
3. $8$
1. $7$
2. $2 .$