1.2 Prirodni, cijeli i racionalni brojevi

Prirodni brojevi

Koja su svojstva skupa prirodnih brojeva?

Važno je svojstvo skupa prirodnih brojeva postojanje sljedbenika. Sljedbenik broja $1$ je broj $2,$ sljedbenik broja $2$ je broj $3,$ sljedbenik broja $3$ je broj $4$ i tako dalje. Ako je $n$ prirodni broj, onda je i $n+1$ prirodni broj.

Što je prethodnik nekoga prirodnog broja? Prethodnik broja $2$ je broj $1,$ prethodnik broja $3$ je broj $2$ i tako dalje. Broj $1$ nema prethodnika.

U skupu $\mathbf{N}$ svaki broj ima sljedbenika. U skupu $\mathbf{N}$ svaki broj osim broja $1$ ima prethodnika.

Zadatak 1.

Prirodne brojeve zbrajamo, oduzimamo, množimo i dijelimo. Kakav ćemo broj dobiti kao rezultat tih računskih radnji s prirodnim brojevima?

Zbroj i umnožak dvaju prirodnih brojeva prirodni je broj. Kažemo da je skup prirodnih brojeva zatvoren s obzirom na računske radnje zbrajanja i množenja.

Djeljivost

Vidjeli smo da količnik prirodnih brojeva ne mora biti prirodni broj. Promotrimo prirodne brojeve $m$ i $n$ čiji količnik jest prirodni broj. Tu činjenicu možemo opisati na nekoliko načina. Na primjer, količnik je brojeva $15$ i $5$ prirodni broj. Možemo reći da je $15$ djeljiv s $5$ ili da je $15$ višekratnik broja $5$ i zapisati $15=5·3.$ Možemo reći i da $5$ dijeli $15,$ što zapisujemo $5|15,$ odnosno da je $5$ djelitelj od $15.$

Zadatak 2.

 U sljedećim zadatcima može biti više točnih odgovora. Riješite zadatke.

Prosti i složeni brojevi

Koji je broj djelitelj svakog broja? To je broj $1.$ Broj $1$ nema drugih djelitelja. Zato smo sigurni da svaki prirodni broj ima barem jednog djelitelja i da broj $1$ ima točno jednog djelitelja. Svaki je prirodni broj djeljiv i sa samim sobom. To znači da svaki prirodni broj različit od $1$ ima barem dva djelitelja: broj $1$ i samog sebe. Neki prirodni brojevi imaju više od dvaju djelitelja.​

Primjer 1.

Odredimo je li broj $5$ prost ili složen. Djelitelji broja $5$ su $1$ i $5$ pa je broj $5$ prost jer ima točno dva djelitelja. ​

Je li broj $6$ prost ili složen? Djelitelji broja $6$ su $1,$ $2,$ $3$ i $6$ pa je broj $6$ složen jer ima više od dva djelitelja.

Je li broj $1$ prost ili složen? Jedini djelitelj broja $1$ je $1.$ Broj $1$ ima točno jednog djelitelja pa nije ni prost ni složen.

Djelitelji prostoga broja $p$ su $1$ i $p$ . Broj $1$ nije ni prost ni složen.

Zadatak 3.

Dovucite sljedeće brojeve u pripadajuću skupinu.

$71$

$23$

$143$

$233$

$51$

$103$

$1302$

$91$

$6$

$17$

$12345$

$3$

 Prosti brojevi

 Složeni brojevi

null

null

Eratostenovo sito naziv je jednostavnog algoritma s pomoću kojega možemo odrediti proste brojeve manje od zadanoga broja.

Zanimljivost

Eratostenovo sito je algoritam koji je dobio naziv po grčkom matematičaru, geografu i astronomu Eratostenu koji ga je osmislio. Eratosten je živio u 3. st. pr. Krista i smatra se ocem zemljopisa. Prvi je upotrijebio riječ geografija, a poznat je i po tome što je izračunao opseg Zemlje.

Najmanji zajednički višekratnik i najveći zajednički djelitelj

Primjer 2.

Rastavimo na umnožak prostih faktora broj $6300.$ ​

$6300=63·100=$

$=9·7·10·10=$

$=3·3·7·2·5·2·5=$

$=2·2·3·3·5·5·7$

Na taj se način svaki prirodni broj može zapisati kao umnožak prostih faktora. Prosti faktori nekoga prirodnog broja pomažu nam pri određivanju djelitelja i višekratnika toga broja. Na primjer, iz rastava broja $6300$ na proste faktore vidimo da je jedan od djelitelja toga broja broj $3·5=15.$ Jedan je od višekratnika, na primjer, broj $2·2·2·3·3·5·5·7=12600.$​

Za dva prirodna broja mogu nas zanimati zajednički djelitelji i višekratnici. Tako je, na primjer, jedan od zajedničkih djelitelja brojeva $72$ i $108$ broj $9.$ Možete li pronaći neki veći zajednički djelitelj? Jedan od zajedničkih višekratnika brojeva $72$ i $108$ je broj ​ $72·108=7776.$ Možete li pronaći neki manji zajednički višekratnik? Za zadane prirodne brojeve određivat ćemo najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik. Dopunite definiciju ovih pojmova. ​

Najveći zajednički djelitelj brojeva $n$ i $m$ je broj koji je broja $n$ broja $m.$ Najmanji zajednički višekratnik brojeva $n$ i $m$ je  broj koji je  broja $n$  broja $m.$

 

Postupak:

Najveći zajednički djelitelj brojeva $n$ i $m$ je najveći broj koji je djelitelj broja $n$ i broja $m.$

Najmanji zajednički višekratnik brojeva $n$ i $m$ je najmanji broj koji je višekratnik broja $n$ i broja $m.$

Odredimo najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik triju ili više brojeva.

Primjer 3.

Odredimo najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik brojeva $360,$  $252$ i $1134.$ Najprije zadane brojeve rastavimo na proste faktore. ​

$360=2·2·2·3·3·5$

$252=2·2·3·3·7$

$1134=2·3·3·3·3·7$

Broj $2$ se u rastavu prvoga broja pojavljuje tri puta, drugoga dva puta, a trećega jedanput. U zajedničkom djelitelju pojavit će se jedanput. Broj $3$ se u rastavu prvoga broja pojavljuje dva puta, drugoga dva puta, a trećega četiri puta. U zajedničkom djelitelju pojavit će se dva puta. Broj $5$ se ne pojavljuje u svim rastavima pa se neće pojaviti ni u zajedničkom djelitelju. Broj $7$ se također ne pojavljuje u svim rastavima pa se neće pojaviti ni u zajedničkom djelitelju. Za svaki smo od faktora odredili najmanji broj pojavljivanja u rastavima zadanih brojeva. Toliko ćemo ih puta uzeti kao faktor u zajedničkom djelitelju. Najveći je zajednički djelitelj: ​

$\mathrm{nzd}\left(\mathrm{360}\mathrm{,}\mathrm{252}\mathrm{,}\mathrm{1}\mathrm{134}\right)\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{·}\mathrm{3}\mathrm{·}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{18}\mathrm{.}$ 

Odredimo najmanji zajednički višekratnik. Za svaki od faktora pogledajmo najveći broj pojavljivanja u rastavima zadanih brojeva. Toliko ćemo ih puta uzeti kao faktor u zajedničkom višekratniku. Za broj $2$ to je tri puta, za broj $3$ četiri puta, za broj $5$ jedanput i za broj  $7$ jedanput. Najmanji je zajednički višekratnik:

$\begin{array}{l}\mathrm{nzv}\left(360,252,1134\right)=2·2·2·3·3·3·3·5·7=22680.\end{array}$

Povezani sadržaji

Jeste li čuli za kriptografiju? Kriptografija je znanstvena disciplina koja istražuje metode za slanje poruka u takvu obliku da ih može pročitati samo onaj komu su namijenjene. Danas je izuzetno značajna jer se metode kriptografije primjenjuju pri šifriranju poruka koje šaljemo elektroničkim komunikacijama. Jedna je od metoda kriptografije RSA metoda koja se zasniva upravo na problemu faktorizacije velikih brojeva. Šifriranje započinje odabirom dvaju velikih prostih brojeva s barem stotinjak znamenaka. Ti su brojevi dio tajnog ključa koji je poznat samo onomu koji šalje poruke. Njihov je umnožak poznat svima i dio je javnog ključa. Postupak je šifriranja i dešifriranja također poznat svima, ali je u tom postupku potrebno faktorizirati javni ključ. A to zna samo onaj tko je odabrao dva velika prosta broja.

Dijeljenje s ostatkom

Do sada smo promatrali slučaj kada je količnik $m:n$ prirodnih brojeva $m$ i $n$ prirodni broj. U tom smo slučaju mogli zapisati $m=n·k,k\in \mathbf{N}.$ Pogledajmo sada slučaj kada se pri dijeljenju pojavljuje djelomični količnik i ostatak. Riješite idući zadatak.

Teorem o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom:Za zadane prirodne brojeve $m$ i $n$ postoje jedinstveni prirodni brojevi $q$ i $r$ za koje vrijedi

$r\mathrm{<}n$ i $m=n·q+r.$

Ta se tvrdnja zove teorem o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom.

Cijeli brojevi

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

U skupu prirodnih brojeva govorili smo o prethodnicima i sljedbenicima. Ima li skup cijelih brojeva slična svojstva? Kakav je međusobni odnos skupova $\mathbf{N}$ i $\mathbf{Z}?$ Dopunite.

 U skupu $\mathbf{Z}$ svaki broj ima  i . Skup je​  skupa $\mathbf{Z}$.

null

null

Zadatak 9.

Odredite sljedbenika i prethodnika zadanih brojeva.

Zadatak 10.

Cijele brojeve zbrajamo, oduzimamo, množimo i dijelimo. Kakav ćemo broj dobiti kao rezultat tih računskih radnji s cijelim brojevima?

1. Zbroj dvaju cijelih brojeva uvijek je cijeli broj.
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

2. Razlika dvaju cijelih brojeva uvijek je cijeli broj.
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

3. Umnožak dvaju cijelih brojeva uvijek je cijeli broj.
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

4. Količnik dvaju cijelih brojeva uvijek je cijeli broj.
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

Zatvori

Za svaki cijeli broj $k$ postoji broj $-k$ koji zovemo suprotni broj broja $k.$ Vrijedi: $k+(-k)=0.$

Zadatak 11.

Povežite suprotne brojeve.  

$-89$	$-\left(-89\right)$
$12$	$0$
$0$	$-2$
$-\left(-6\right)$	$-6$
$2$	$-12$ ​

null

null

Racionalni brojevi

Prirodne smo brojeve upotrebljavali za brojenje, a cijeli su brojevi omogućili da govorimo o dugu. S pomoću racionalnih brojeva opisat ćemo, na primjer, koji smo dio cjeline uzeli. Brojeve oblika $\frac{m}{n},$ gdje je $m$ cijeli broj, a $n$ prirodni, zovemo razlomci. Razlomke možemo proširiti ili skratiti. Tako je na primjer $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=...$ Svi ti razlomci predstavljaju isti racionalni broj.

Za razliku od prirodnih i cijelih brojeva, racionalni broj nema ni prethodnika ni sljedbenika. Skup $\mathbf{Z}$ podskup je skupa $\mathbf{Q}.$ 

Računanje s racionalnim brojevima

Zadatak 12.

Racionalne brojeve zbrajamo, oduzimamo, množimo i dijelimo. Kakav ćemo broj dobiti kao rezultat tih računskih radnji s racionalnim brojevima?

Skup racionalnih brojeva zatvoren je s obzirom na zbrajanje, oduzimanje i množenje. Skup racionalnih brojeva bez nule zatvoren je s obzirom na dijeljenje.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 13.

Prisjetite se svojstava zbrajanja i množenja racionalnih brojeva. Povežite kartice tako da jednakosti budu istinite.

1. Za svaka tri racionalna broja $r,$ $s$ i $t$ vrijedi:

   $\left(r+s\right)+t=$  ​	$r+\left(s+t\right)$
   $r+s=$	$r$
   $r+0=$	$s+r$
   $r+\left(\begin{array}{l}-r\end{array}\right)=$	$0$

   

   null

   null

2. Za svaka tri racionalna broja $r,$ $s$ i $t$ vrijedi:
   

   $\left(\begin{array}{l}r·s\end{array}\right)·t=$	$r·s+r·t$
   $r·\left(\begin{array}{l}s+t\end{array}\right)=$	$r$  ​
   $r·\frac{1}{r}=$	$r·\left(s·t\right)$
   $r·s=$	$s·r$
   $r·1=$  ​	$1$

   

   null

   null

Za svaka tri racionalna broja $r,$ $s$ i $t$ je $r\left(\begin{array}{l}s+t\end{array}\right)=rs+rt.$ Formulu možemo prikazati slikom. Izrazite površinu velikog pravokutnika na dva načina: s pomoću duljina stranica velikog pravokutnika i kao zbroj površina dvaju pravokutnika od kojih se sastoji. Izjednačite dobivene formule.

Zadatak 14.

1. Pronađite pločicu na kojoj piše START. Postavite ju kao prvu pločicu. Riješite zadatak na prvoj pločici. Pronađite pločicu na kojoj piše to rješenje. Postavite ju kao drugu pločicu. Riješite zadatak na drugoj pločici. Nastavite tako sve dok ne dođete do pločice na kojoj piše KRAJ.

   • 

   • 

   • 

   • 

   • 

   

   null

   null

2. 
   

   • 

   • 

   • 

   • 

   • 

   

   null

   null

Zatvori

Racionalni broj zapisujemo s pomoću razlomka. Taj razlomak nazivamo razlomački zapis racionalnoga broja. Razlomački zapis možemo pretvoriti u decimalni.

Racionalni broj ima ili konačan ili beskonačan periodični decimalni zapis. Objasnite.

Zadatak 15.

Koristeći se džepnim računalom povežite razlomački i decimalni zapis racionalnih brojeva.

$\frac{27}{5}$	$5.4$
$\frac{61}{11}$  ​	$5.44$
$\frac{499}{90}$  ​	$5.54$​
$\frac{277}{50}$	$5.\stackrel{\dot{}}{5}\stackrel{\dot{}}{4}$
$\frac{49}{9}$	$5.\stackrel{\dot{}}{4}$
$\frac{136}{25}$	$5.5\stackrel{\dot{}}{4}$

null

null

Može li se svaki konačni ili beskonačni periodični decimalni zapis pretvoriti u razlomački zapis?

U osnovnoj ste školi naučili računati s decimalnim brojevima. Decimalni broj ima konačni decimalni prikaz. U videu se računa s brojevima koji imaju beskonačne decimalne prikaze. Jesmo li sigurni da je opisani postupak ispravan? Što smo upotrijebili u opisanom postupku? Množili smo decimalni prikaz s $10$ zbog čega se decimalna točka pomaknula za jedno mjesto udesno. Zatim smo oduzimali brojeve čiji su decimalni dijelovi jednaki pa je rezultat tog oduzimanja sigurno $0$ na svakom od beskonačno mnogo decimalnih mjesta. Zbog toga je taj postupak ispravan. Slično se i drugi konačni i beskonačni periodični decimalni zapisi mogu pretvoriti u razlomački. ​

Znači li to da možemo jednostavno računati s brojevima koji imaju beskonačne decimalne prikaze? Možete li u decimalnom prikazu zbrojiti, oduzeti, pomnožiti ili podijeliti brojeve​ $2.5\stackrel{\dot{}}{4}5987921\stackrel{\dot{}}{3}$ i $41.78\stackrel{\dot{}}{2}88321678743\stackrel{\dot{}}{}?$ Naravno da ne. Kako računamo s takvim brojevima? Možemo računati približno služeći se džepnim računalom ili egzaktno pretvarajući decimalni prikaz u razlomački pa zatim računati s razlomcima.

Broj koji ima ili konačni ili beskonačni periodični decimalni zapis je racionalan.

Euklidov algoritam

Kutak za znatiželjne

Odaberite dva prirodna broja $a$ i $b$ tako da je $b$ manji od $a.$ Izračunajte razliku $a-b.$ Usporedite najveći zajednički djelitelj $\mathrm{\text{nzd}}\left(a,b\right)$ i $\mathrm{nzd}(a-b,b).$ Pokušajte s drugim dvama brojevima. Što zaključujete?

Za svaka dva prirodna broja $a$ i $b$ za koja je $a-b$ prirodni broj vrijedi: $\mathrm{nzd}(a,b)=\mathrm{nzd}(a-b,b).$

Zadatak 16.

Za svaka dva prirodna broja $a$ i $b$ za koja je $a-b$ prirodni broj vrijedi: $\mathrm{nzd}(a,b)=\mathrm{nzd}(a-b,b).$ Objasnite.

Taj postupak možemo nastaviti.

$\mathrm{nzd}(a,b)=\mathrm{nzd}(a-b,b)=\mathrm{nzd}(a-2b,b)=\mathrm{nzd}(a-3b,b)=\dots$ sve dok su razlike prirodni brojevi.

Primjer 4.

Kako s pomoću jednakosti $\begin{array}{l}\mathrm{nzd}\left(a,b\right)=\mathrm{nzd}\left(a-b,b\right)=\mathrm{nzd}\left(a-2b,b\right)=\mathrm{nzd}\left(a-3b,b\right)=\dots \end{array}$ možemo odrediti najveći zajednički djelitelj velikih brojeva koje je teško rastaviti na proste faktore?

Odredimo $\mathrm{\text{nzd}}\left(68,20\right).$ Prema prethodnom svojstvu vrijedi:

$\begin{array}{l}\mathrm{\text{nzd}}\left(68,20\right)=\mathrm{\text{nzd}}\left(68-20,20\right)=\mathrm{\text{nzd}}\left(48,20\right)=\mathrm{\text{nzd}}\left(28,20\right)=\mathrm{\text{nzd}}\left(8,20\right).\end{array}$

Sada ponovimo postupak za brojeve $8$ i $20.$ ​

$\mathrm{nzd}\left(\mathrm{20}\mathrm{,}\mathrm{8}\right)\mathrm{=}\mathrm{nzd}\left(\mathrm{12}\mathrm{,}\mathrm{8}\right)\mathrm{=}\mathrm{nzd}\left(\mathrm{4}\mathrm{,}\mathrm{8}\right).$

Iz toga već vidimo da je najveći zajednički djelitelj broj $4.$ No, možemo provesti još jedan korak postupka.

$\mathrm{\text{nzd}}\left(8,4\right)=\mathrm{\text{nzd}}\left(4,4\right)=4.$

Tako smo odredili najveći zajednički djelitelj bez rastavljanja brojeva na proste faktore.

Promotrimo još jedanput niz jednakosti iz prethodnog primjera.

$\begin{array}{l}\mathrm{nzd}\left(68,20\right)=\mathrm{nzd}\left(68-20,20\right)=\mathrm{nzd}\left(48,20\right)=\mathrm{nzd}\left(28,20\right)=\mathrm{nzd}\left(8,20\right)\end{array}$

Za idući nam je korak potreban broj $8.$ Kako brže možemo dobiti broj $8$ s pomoću brojeva $68$ i $20?$

U nizu jednakosti $\mathrm{nzd}\left(\mathrm{20,8}\right)=\mathrm{nzd}\left(\mathrm{12,8}\right)=\mathrm{nzd}\left(\mathrm{4,8}\right)$ potrebno je doći do broja $4.$ Broj $4$ je ostatak pri dijeljenju brojeva $20$ i $8$ .

Ostatak pri dijeljenju brojeva $8$ i $4$ je nula. Najveći zajednički djelitelj je ostatak iz prethodnog koraka.

Promotrite iduću animaciju u kojoj je vizualiziran postupak određivanja najvećega zajedničkog djelitelja brojeva $68$ i $20$ . Opišite korake u animaciji.

Algoritam kojim se određuje najveći zajednički djelitelj zadanih brojeva s pomoću ostataka pri dijeljenju naziva se Euklidov algoritam.

Zadatak 17.

Euklidovim algoritmom odredite $\mathrm{nzd}\left(7371,1064\right).$

Primjer 5.

Prisjetimo se teorema o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom.

Za zadane prirodne brojeve $m$ i $n$ postoje jedinstveni prirodni brojevi $q$ i $r$ za koje vrijedi

$r\mathrm{<}n$ i $m=n·q+r.$ Koristeći se tim teoremom možemo na još jedan način objasniti Euklidov algoritam. Uz oznake kao u teoremu vrijedi: $\mathrm{nzd}(m,n)=\mathrm{nzd(}n,r).$ Euklidov se algoritam temelji na višestrukoj uzastopnoj primjeni te jednakosti. Pokušajte dokazati jednakost.