5.2 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu - dodatni sadržaj

Formula za udaljenost točaka u koordinatnom sustavu

Primjer 1.

Izračunajmo $d(P,Q),$ udaljenost točaka $P\left(1,4\right)$ i $Q\left(5,2\right).$ ​

Ucrtajmo točke u koordinatni sustav.

Što dalje?

Pronađimo pravokutni trokut. Na primjer, ako ucrtamo točku $R\left(1,2\right),$ dobit ćemo pravokutni trokut $PRQ.$

Sada analogno kao u prijašnjem zadatku možemo izračunati duljinu hipotenuze toga trokuta.

Kolika je udaljenost između točaka $P$ i $Q?$

Jesmo li mogli naći drugu točku osim​ $R?$

Kako smo računali udaljenosti točaka $R$  i $P$ te $R$ i $Q$ $?$ ​

$d\left(R,P\right)=$	$\left|5-1\right|$
$d\left(R,Q\right)=$	$\left|4-2\right|$

 

null

Pogledajmo sada općenito.

Formula za udaljenost točaka u koordinatnom sustavu

Udaljenost točaka ​ $A\left(x_1,y_1\right)$ i $B\left(x_2,y_2\right)$ dana je formulom:

$d\left(A,B\right)=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}.$

Dužina na koordinatnoj osi od ishodišta do točke s koordinatom jedan je jedinična dužina, a jedinični kvadrat je kvadrat čija je stranica jedinična dužina.

Duljina u jediničnim dužinama označuje koliku puta jedinična dužina stane u promatranu duljinu, a površina u jediničnim kvadratima označuje koliko puta jedinični kvadrat stane u neki geometrijski lik.

Sve se izračunane vrijednosti za duljinu i za površinu izražavaju u jediničnim dužinama, odnosno kvadratnim jediničnim dužinama.

Primjer 2.

Odredimo točku na osi $y$ jednako udaljenu od točaka $A\left(1,-1\right)$ i $B\left(7,5\right).$

Neka je tražena točka $C\left(x_C,y_C\right).$ Budući da točka $C$ mora biti na osi $y,$ znamo da je $x_C=0.$

Izjednačimo udaljenosti $d\left(A,C\right)=d\left(B,C\right)$ i riješimo jednadžbu.

  $\sqrt{{\left(0-1\right)}^2+{\left(y_C+1\right)}^2}=\sqrt{{\left(0-7\right)}^2+{\left(y_C-5\right)}^2}$

Tu jednadžbu možemo kvadrirati.

${\left(0-1\right)}^2+{\left(y_C+1\right)}^2={\left(0-7\right)}^2+{\left(y_C-5\right)}^2$

$1+{y_C}^2+2y_C+1=49+{y_C}^2-10y_C+25$

$12y_C=72$

$y_C=6$

Točka na osi $y$ jednako udaljena od točaka $A$ i $B$ je točka​ $C\left(0,6\right).$

Zadatak 6.

Riješite zadatke.

Primjer 3.

Odredite realni broj $c$ tako da udaljenost između točaka  $S\left(-2,-1\right)$ i $T\left(2,c\right)$ iznosi $5.$

Pogledajmo kako ćemo riješiti taj zadatak.

Zadatak 7.

Primjena formule

Formulu za udaljenost točaka u koordinatnom sustavu možemo primjenjivati u različitim zadatcima iz geometrije.

Kutak za znatiželjne

Zamislite da ste u Zadru i nalazite se na mjestu koje pokazuje strelica. Želite doći do Svete Stošije. Kojim ćete putom najbrže doći do cilja?

Nacrtajte pojednostavnjenu kartu s kvadratnom mrežom ulica. Pronađite sve putove. Koji je najkraći?

Uočit ćete da su svi najkraći putovi iste duljine. Taj način mjerenja udaljenosti nazivamo taksimetrika. Udaljenost dviju točaka $A\left(x_1,y_1\right)$ i $B\left(x_2,y_2\right)$ računa se kao

$d\left(A,B\right)=\left|x_2-x_1\right|+\left|y_2-y_1\right|.$

Proučite taksimetriku u članku na linku.

Zanimljivost

Ideja taksimetrike javila se početkom 20. stoljeća tijekom definiranja nove neeuklidske geometrije. Začetnik ideje o novoj geometriji i taksimetrici bio je njemački matematičar i fizičar Hermann Minkowski (1864. – 1909.). Međutim, Minkowski se nije služio izrazom taksimetrika. Taj je pojam uveo Karl Menger u vodiču za geometrijsku izložbu u Muzeju znanosti i industrije u Chicagu 1952. godine.