Koji je brojnik sljedećeg razlomka u nizu? Izračunajte nazivnik sljedećeg razlomka.
Koliki bi bio nazivnik razlomka ako je njegov brojnik:
U svakom zadatku zapišite razlomak.
Brojnik pomnožimo s
i od tog umnoška oduzmemo
Ili brojniku dodamo brojnik umanjen za
Brojnik je sljedećeg razlomka
Nazivnik je
Nazivnik je
razlomak je
Nazivnik je
razlomak je
Nazivnik je
razlomak je
Razlomak kao što je na primjer
čiji je brojnik i nazivnik broj, nazivamo brojevni razlomak. Kako biste nazvali razlomak kao što je
čiji su brojnik i nazivnik algebarski izrazi?
Vrijednost racionalnoga algebarskog izraza možemo računati na isti način kao i vrijednost algebarskog izraza: uvrštavanjem brojeva umjesto varijabli i izvođenjem računskih radnji s brojevnim razlomcima. Broj koji tako dobivamo vrijednost je racionalnoga algebarskog izraza.
Najjednostavniji racionalni algebarski izraz ima oblik
Uparite broj
koji se uvrštava s odgovarajućom vrijednosti izraza
Razmislite koje vrijednosti broja
možemo uvrstiti te u kojem su odnosu vrijednosti brojnika i nazivnika.
null
null
U racionalni algebarski izraz
ne možemo uvrstiti vrijednost . Uvrštavamo li vrijednost veće apsolutne vrijednosti, vrijednost racionalnoga algebarskog izraza bit će po apsolutnoj vrijednosti . Uvrštavamo li vrijednost manje apsolutne vrijednosti, vrijednost racionalnoga algebarskog izraza bit će po apsolutnoj vrijednosti .
null
null
Zadatak 2.
Uvrstite zadane vrijednosti u racionalni algebarski izraz. Dobivene vrijednosti upišite na odgovarajuća mjesta.
Za svaki točan odgovor, otkrit će vam se jedno polje skrivene slike.
Zadatak 3.
Možemo li u zadani racionalni algebarski izraz uvrstiti bilo koji realni broj?
U racionalni algebarski izraz
Nulom ne dijelimo.
null
null
U racionalni algebarski izraz možemo uvrstiti sve realne brojeve osim broja
null
null
U racionalni algebarski izraz
možemo uvrstiti sve realne brojeve osim broja
.
U racionalni algebarski izraz možemo uvrstiti sve realne brojeve osim onih za koje je vrijednost nazivnika jednaka
Kažemo da je racionalni algebarski izraz definiran za sve realne brojeve osim onih za koje je vrijednost nazivnika jednaka
U zadatcima s racionalnim algebarskim izrazima podrazumijeva se da jednakosti vrijede za sve vrijednosti varijabli za koje su izrazi definirani.
Primjer 1.
Cijena je fotoprintera
a trošak je izrade jedne fotografije
Koliki je ukupni trošak po izrađenoj fotografiji ako je izrađeno:
fotografija?
fotografija?
Koliko fotografija treba izraditi da ukupni trošak po izrađenoj fotografiji bude manji od
Ukupni je trošak izrade
fotografija
Cijenu po izrađenoj fotografiji dobit ćemo tako da ukupni trošak podijelimo s brojem izrađenih fotografija:
Treba izraditi barem
fotografija.
Zadatak 4.
Mioglobin je molekula koja nosi kisik u ljudskom tijelu, a nalazi se u mišićnim stanicama. Postotak mioglobina zasićena kisikom na danom tlaku od
računa se formulom
Tlak je u aktivnom mišiću
(tor je stara mjerna jedinica tlaka;
iznosi
stupca žive, odnosno
odgovara 1 atmosferi). Koji je postotak mioglobina zasićena kisikom u aktivnomu mišiću?
Skraćivanje algebarskih razlomaka
U osnovnoj ste školi naučili skraćivati brojevne razlomke.
Skratimo razlomak
Možemo uočiti da su brojnik i nazivnik parni, skratiti s
a zatim provjeravati možemo li kratiti s još nekim brojem. Drugi je način da rastavimo brojnik i nazivnik na proste faktore i zatim kratimo. Postupimo tako.
Brojnik se sastoji od dvaju članova. Oba su člana djeljiva s tri, što znači da je brojnik djeljiv s tri. I nazivnik je djeljiv s tri. Uvrstimo li umjesto
bilo koji realni broj u brojniku i nazivniku, pojavit će se broj
koji se može skratiti. To znači da se svi brojevni razlomci mogu skratiti pa se i algebarski razlomak može skratiti.
Brojnik i nazivnik mogu se rastaviti na faktore:
Vidimo da brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor. To je izraz
Uvrstimo li umjesto
bilo koji realni broj različit od
u brojniku i nazivniku pojavit će se isti broj koji se može skratiti. Svi se brojevni razlomci mogu skratiti, što znači da i algebarski razlomak možemo skratiti.
Zadatak 7.
Promotrite zadane algebarske razlomke. Razvrstajte ih u dvije skupine: one koji se mogu skratiti i one koji se ne mogu skratiti. Skratite razlomke koji se mogu skratiti. Provjerite rješenja.
Algebarski razlomci koji se ne mogu skratiti
Algebarski razlomci koji se mogu skratiti
Pomoć:
Ne možete kratiti pribrojnike.
Možete li brojnik ili nazivnik razlomka rastaviti na faktore? Postoji li zajednički faktor brojnika i nazivnika? Zajednički faktor brojnika i nazivnika možemo kratiti.
Algebarski razlomak možemo kratiti ako su brojnik i nazivnik zapisani u obliku umnoška i ako postoji zajednički faktor brojnika i nazivnika. Zajednički faktor može biti broj ili algebarski izraz.
Pogledajte još jedanput videozapis iz uvodnog primjera. Zamjećujete li kojem se dijelu kruga približava obojeni dio? Nastavimo nizati razlomke prema istom pravilu. Zapišite razlomak u
-tom koraku. Ako je
veliki broj, čemu je približno jednak taj razlomak? Objasnite.
Obojeno je približno pola kruga. Razlomak u
-tom koraku je
Ako je
veliki broj,
taj je razlomak
približno jednak
što možemo objasniti ovako:
Ako je
jako veliki broj,
je gotovo
pa ga možemo zanemariti i dobivamo:
Promotrite zadani niz razlomaka. Pronađite broj kojem su približno jednaki „daleki” članovi niza. Objasnite.
Broj od kojeg se „daleki” članovi niza „malo” razlikuju važan je pojam u matematici i naziva se limes niza. Preciznu definiciju limesa niza i dokaze povezane s limesom niza učit ćete u četvrtom razredu.
Zadatak 14.
Zadajte niz razlomaka tako da
„
daleki
”
članovi niza budu približno jednaki broju
Zamislite neki broj. Od kuba zamišljenog broja oduzmite zamišljeni broj. Od kvadrata zamišljenog broja oduzmite zamišljeni broj. Podijelite dobivene brojeve. Od rezultata oduzmite zamišljeni broj. Jeste li dobili broj
Pokušajte ponovno s nekim drugim brojem. Objasnite zašto je rezultat uvijek
Smislite neki „
magični trik
”
s brojevima. Zadajte ga kao zadatak učenicima u svojemu razredu. Napravite prezentacije zadataka koje ste osmislili u razredu.