Matematika 1 - 10.4 Grupirani podaci

Organiziranje podataka u razrede

Primjer 1.

Pravilnikom o zaštiti riba i drugih morskih organizama propisane su minimalne duljine riba ispod koje se ne smiju loviti, sakupljati, zadržavati na plovilu, prekrcavati, iskrcavati, prenositi, skladištiti, prodavati, izlagati ili nuditi na prodaju.

Provedeno je istraživanje na uzorku od $50$ srdela i dobiveni su sljedeći podatci o duljini.

$12.3$	$14.4$	$17.5$	$10$	$14.3$
$11.7$	$14.9$	$14.1$	$12.5$	$15.0$
$14.7$	$13.7$	$15.8$	$13.9$	$16.1$
$15.8$	$17.1$	$14.8$	$13.5$	$12.3$
$10.2$	$13.1$	$11.4$	$12.6$	$13.2$
$13.7$	$14.9$	$15.3$	$12.1$	$14.6$
$13.1$	$13.3$	$15.7$	$14.2$	$13.8$
$13.2$	$12.7$	$15.6$	$15.2$	$16.8$
$14.1$	$14.5$	$17.6$	$12.9$	$13.7$
$15.2$	$13.6$	$11.8$	$13.4$	$15.5$

Ovako prikazani podatci nepregledni su te nisu pogodni za analizu i donošenje zaključaka. Grupirat ćemo ih u razrede na sljedeći način.

Odredimo raspon uzorka.

$\begin{array}{l} R = x_{m a x} - x_{m i n} = 17.6 - 10 = 7.6 \end{array}$

Odaberimo odgovarajući broj razreda, primjerice 8.

Odredimo širinu razreda tako da podijelimo raspon s brojem razreda.

$\frac{7.6}{8} = 0.95 \approx 1 .$ Zaokružimo na veći broj.

Odredimo granice razreda i napravimo tablicu frekvencija.

Napomena.

Broj razreda, odnosno širinu razreda, određujemo proizvoljno. Postoje neke preporuke, primjerice od 5 do 15 razreda, ovisno o broju podataka ili aproksimacije kao što je $\approx \sqrt{n} .$ Međutim, odabir će najviše ovisiti o preciznosti i simetričnosti raspodjele podataka (distribucije) koji želimo prikazati. Tako se može dogoditi da odabir ponovimo i više puta. Ponekad ćemo prvo odrediti širinu razreda, a onda izračunati broj razreda i odrediti granice. Preporuka je da donja granica razreda bude jednaka gornjoj granici prethodnog razreda.

Tablica frekvencija

Duljina srdele ( $d$ ) u $cm$	Frekvencija ( $f$ )	Relativna frekvencija ( $f_{r}$ )
$10 \leq d < 11$	$2$	$\frac{2}{50} = 0.04$
$11 \leq d < 12$	$3$	$\frac{3}{50} = 0.06$
$12 \leq d < 13$	$7$	$\frac{7}{50} = 0.14$
$13 \leq d < 14$	$13$	$\frac{13}{50} = 0.26$
$14 \leq d < 15$	$11$	$\frac{11}{50} = 0.22$
$15 \leq d < 16$	$9$	$\frac{9}{50} = 0.18$
$16 \leq d < 17$	$2$	$\frac{2}{50} = 0.04$
$17 \leq d < 18$	$3$	$\frac{3}{50} = 0.06$
Ukupno	$50$	$1$

Prikažimo dane podatke i grafički. Koristit ćemo se histogramom frekvencija.

Praktična vježba

Koristeći se sljedećim interaktivnim predloškom, mijenjajte broj razreda te promatrajte izgled histograma.

Kako promjena broja razreda, a time i njegove širine, utječe na raspodjelu podataka? Pokušajte pri svakoj promjeni broja razreda protumačiti podatke u realnom kontekstu. Može li se manipulirati podatcima?

Modalni razred

Uočimo da se najviše izmjerenih podataka o duljini srdela nalazi ondje gdje je najveća frekvencija, u razredu u kojem je $13 \leq d < 14$ (u podjeli na 8 razreda).

Na osnovi istraživanja, na uzorku od $50$ srdela, možemo reći da je duljina srdele najčešće između $13$ i $14 cm .$

Razred s najvećom frekvencijom nazivamo modalni razred.

Ponekad u tablicu frekvencija dodajemo stupac s relativnim frekvencijama u svrhu jednostavnije interpretacije ili uspoređivanja podataka.

Prema spomenutom pravilniku o zaštiti riba, ne smije se loviti srdela kraća od $11 cm .$ Relativnu frekvenciju od $0.04$ (izraženu u postotku) za razred $10 \leq d < 11$ interpretiramo: Oko $4 %$ ulovljenih srdela nedopuštene je duljine.

Ili, na primjer, zaključujemo da duljinu između $13 cm$ i $15 cm$ ima oko $48 %$ ulovljenih srdela.

Relativna frekvencija omjer je frekvencije nekog podatka i ukupnog broja podataka.

Pišemo $f_{r} = \frac{f}{n} .$

Aritmetička sredina grupiranih podataka

Primjer 2.

U sljedećoj su tablici težine $200$ studentica jednog sveučilišta raspoređene u 7 razreda.

Težina (u $kg$ ) Broj studentica

$40 \leq m < 50$ $11$

$50 \leq m < 60$ $44$

$60 \leq m < 70$ $54$

$70 \leq m < 80$ $42$

$80 \leq m < 90$ $24$

$90 \leq m < 100$ $18$

$100 \leq m < 110$ $7$

Ukupno $200$

Težina (u $kg$ )	Broj studentica
$40 \leq m < 50$	$11$
$50 \leq m < 60$	$44$
$60 \leq m < 70$	$54$
$70 \leq m < 80$	$42$
$80 \leq m < 90$	$24$
$90 \leq m < 100$	$18$
$100 \leq m < 110$	$7$
Ukupno	$200$

Kada smo dobili podatke već grupirane u razrede, ne znamo stvarne vrijednosti tih podataka. Primjerice, znamo da se unutar razreda $80 \leq m < 90$ nalaze težine $24$ studentice, ali ne znamo njihove individualne težine, pa čak sve $24$ studentice mogu imati $89.9 kg .$ Međutim, razumno je pretpostaviti da će podatci biti ravnomjerno raspoređeni unutar intervala. U tom će slučaju sredina razreda nadomjestiti svaki podatak iz tog razreda, što će nam omogućiti određivanje aritmetičke sredine promatranog skupa podataka.

Dodajmo u gornju tablicu još dva stupca.

Težina ( $m$ ) u kg	Broj studentica ( $f_{i}$ )	Sredina razreda ( $x_{i}$ )	Umnožak ( $f_{i} \cdot x_{i}$ )
$40 \leq m < 50$	$11$	$45$	$495$
$50 \leq m < 60$	$44$	$55$	$2 420$
$60 \leq m < 70$	$54$	$65$	$3 510$
$70 \leq m < 80$	$42$	$75$	$3 150$
$80 \leq m < 90$	$24$	$85$	$2 040$
$90 \leq m < 100$	$18$	$95$	$1 710$
$100 \leq m < 110$	$7$	$105$	$735$
Ukupno	$200$		$14 060$

Broj $14 060$ predstavlja procjenu ili aproksimaciju ukupne težine svih studentica. Tada je aproksimacija aritmetičke sredine jednaka broju

$\frac{14 060}{200} = 70.3 .$

Aritmetičku sredinu grupiranih podataka određujemo prema pravilu

$\bar{x} = \frac{x_{1} f_{1} + x_{2} f_{2} + . . . + x_{r} f_{r}}{n},$

gdje je

r

broj razreda,

x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . . x_{r}

, sredine razreda,

f_{1}, f_{2} . . . f_{r}

frekvencije i

n = f_{1} + f_{2} + . . . + f_{r} .

Zadatak 1.

Odredite modalni razred i njegovu relativnu frekvenciju za podatke o težini $200$ studentica iz Primjera 2.
Prikažite raspodjelu podataka histogramom i poligonom frekvencija. Interpretirajte podatak o modalnom razredu i aritmetičkoj sredini.

Modalni razred jest $60 \leq m < 70,$ $f_{r} = \frac{54}{200} = 0.27 = 27 % .$
Studentice danog sveučilišta u prosjeku su teške $70.3$ kilograma, a najveći broj studentica ima težinu između $60$ i $70$ kilograma, njih $27 % .$

Zadatak 2.

U sljedećoj su tablici podatci o visinama $150$ muškaraca.

Visina, $h$ ( $cm$ )	Broj muškaraca
$0 \leq h < 110$	$1$
$110 \leq h < 150$	$3$
$150 < h \leq 160$	$15$
$160 < h \leq 170$	$28$
$170 < h \leq 180$	$35$
$180 < h \leq 190$	$39$
$190 \leq h < 200$	$22$
$200 \leq h < 220$	$6$
$220 \leq h < 240$	$1$

Uočite da nisu svi razredi jednake širine.

Zadatak 3.

Na jednoj od prometnijih autobusnih linija putnicima je postavljeno pitanje koliko su dugo čekali dolazak autobusa. Dobiveni su podatci prikazani sljedećim grafom. Vrijeme čekanja bilježilo se zaokruženo na cijeli broj minuta.

Prikazan je histogram s podatcima o vremenima čekanja autobusa.

Prikazani podatci su .

null

Broj anketiranih osoba jednak je

50

. Najveći broj osoba odgovorilo je da čeka dolazak autobusa između i minuta, uključujući broj .

null

Brojevi 2, 6, 10, 14, 18 na horizontalnoj osi predstavljaju

, a visine stupaca predstavljaju

frekvencije

sredinu razreda

null

Povucite odgovarajuće elemente na njihova mjesta u priloženoj tablici.

$0 \leq t < 4$

$4 \leq t < 8$

$8 \leq t < 12$

$12 \leq t < 16$

$16 \leq t < 20$

$2$

$3$

$6$

$8$

$10$

$12$

$13$

$14$

$18$

$20$

$50$

$54$

$112$

$120$

$130$

$428$

null

U ovom se primjeru koristila kontinuirana varijabla koja je zaokružena na najbliži cijeli broj. To znači da je primjerice razred od 4 do 8 zapravo u granicama $3.5$ do $8.5,$ a razred od 8 do 12 u granicama od $7.5$ do $12.5 .$ Ove se granice nazivaju korigirane ili precizne granice razreda.

Ako su gornje granice prethodnog razreda za jedinicu manje od donjih granica sljedećeg razreda, onda u tablicu frekvencija obično upisujemo i korigirane granice, a za računanje sredine razreda i raspona razreda koristimo se korigiranim granicama.

Standardna devijacija grupiranih podataka

Zadatak 4.

Dopunite rečenice.

Standardna devijacija je mjera podataka. Visoka vrijednost standardne devijacije pokazuje da su podatci prema sredini podataka. Niska vrijednost standardne devijacije pokazuje da su podatci oko aritmetičke sredine .

null

Kako ćemo izračunati standardnu devijaciju grupiranih podataka?

Za određivanje aritmetičke sredine koristili smo sredine razreda u zamjenu za nepoznate podatke tog razreda, a slično ćemo određivati i standardnu devijaciju.

Standardnu devijaciju grupiranih podataka određujemo prema pravilu

$\begin{array}{l} σ = \sqrt{\frac{f_{1} {(x_{1} - \bar{x})}^{2} + f_{2} {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + . . . + f_{r} {(x_{r} - \bar{x})}^{2}}{n}} \end{array},$

gdje je $r$ broj razreda, $x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . . x_{r}$ sredine razreda, $f_{1}, f_{2} . . . f_{r}$ frekvencije,

$n = f_{1} + f_{2} + . . . + f_{r},$ a $\bar{x}$ aritmetička sredina grupiranog skupa podataka.

Primjer 3.

Izračunajmo standardnu devijaciju podataka iz Primjera 2.

U tu ćemo svrhu nadopuniti danu tablicu s nekoliko stupaca.

Težina ( $m$ )u kg	Broj studentica( $f_{i}$ )	Sredina razreda( $x_{i}$ )	${(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$f_{i} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$40 \leq m < 50$	$11$	$45$	$640.09$	$7 041$
$50 \leq m < 60$	$44$	$55$	$234.09$	$10 300$
$60 \leq m < 70$	$54$	$65$	$28.09$	$1 516.9$
$70 \leq m < 80$	$42$	$75$	$22.09$	$927.78$
$80 \leq m < 90$	$24$	$85$	$216.09$	$5 186.2$
$90 \leq m < 100$	$18$	$95$	$610.09$	$10 982$
$100 \leq m < 110$	$17$	$105$	$1 204.09$	$8 428.6$
Ukupno	$200$			$44 382.5$

Ako broj $44 382.5$ podijelimo s $200,$ a zatim izvadimo korijen, dobit ćemo standardnu devijaciju $\sqrt{\frac{44 382.5}{200}} \approx 14.896 \approx 15 kg .$

S obzirom na velik broj računskih operacija koje treba provesti, za računanje standardne devijacije obično se koristimo proračunskim tablicama, džepnim ili običnim računalom.

Medijan grupiranih podataka

Bez originalnih je podataka teško precizno odrediti medijan grupiranih podataka ili kvartile. Stoga izračunom njegove pozicije u nizu podataka odredit ćemo razred u kojem se nalazi, a zatim procijeniti ili aproksimirati njegovu vrijednost jer točne podatke nemamo.

Primjer 4.

Pokušajmo procijeniti medijan za podatke iz Primjera 2.

Ukupno je $200$ podataka o težini studentica. Tražimo razred u kojem se nalazi vrijednost ili težina, do koje se nalaze podatci o težinama za $50 %$ studentica. Pretpostavljamo da su podatci poredani po veličini.

Medijan je $\frac{n + 1}{2} = 100.5$ -i podatak u tom nizu.

Uočimo da se u prva tri razreda nalazi ukupno $109$ podataka. Tada je procijenjeni medijan jedan od podataka u razredu $60 \leq m < 70$ jer se u njemu nalazi $54$ podatka.

Kako do njega?

Širinu razreda ili raspon od $10 kg$ ravnomjerno ćemo raspodijeliti na $54$ podatka o težini, koliko ih ima u tom razredu. To znači da će svaki podatak u tom razredu pridonijeti povećanju težine za $\frac{10}{54} kg .$

Od donje granice tog razreda ( $56$ -og podatka) do medijana ( $100.5$ -og podatka) jest $45.5 \cdot \frac{10}{54} = 8.4 kg .$

Pridodat ćemo ovu procijenjenu vrijednost na donju granicu razreda, pa je procijenjeni medijan jednak: $60 kg + 8.4 kg = 68.4 kg .$

Zadatak 5.

Kao što smo u prethodnom primjeru procijenili medijan, na isti način procijenite donji i gornji kvartil za podatke o težini studentica.

Donji kvartil jednak je $\begin{array}{l} q_{1} = 50 + \frac{10}{44} (50.25 - 11) = 58.9 kg \end{array} .$

Gornji kvartil jednak je $\begin{array}{l} q_{3} = 70 + \frac{10}{42} (150.75 - 109) = 79.9 kg \end{array} .$

Zadatak 6.

U tablici su vremena reakcije nekih osoba na medijsku poruku.

Vrijeme, $t$ (sekunde)	frekvencija
$5 \leq t < 15$	$4$
$15 \leq t < 25$	$7$
$25 \leq t < 35$	$14$
$35 \leq t < 45$	$20$
$45 \leq t < 55$	$12$
$55 \leq t < 65$	$6$
$65 \leq t < 75$	$2$

Ukupan broj podataka iznosi

$45$

$50$

$55$

$65$

null

null
Procjena medijana danog skupa podataka jest

$39$

$49$

$59$

null

null
Interkvartilni raspon iznosi približno .

null

null

Zadatak 7.

U sljedećoj su tablici podatci o broju stanovnika Grada Hvara ovisno o dobnoj strukturi.

Podatci: DZS iz popisa stanovništva 2011.
Dob, $g$ ( godine)	Broj stanovnika
$0 \leq g < 10$	$402$
$10 \leq g < 20$	$457$
$20 \leq g < 30$	$564$
$30 \leq g < 40$	$574$
$40 \leq g < 50$	$537$
$50 \leq g < 60$	$658$
$60 \leq g < 70$	$530$
$70 \leq g < 80$	$354$
$80 \leq g < 90$	$158$
$90 \leq g < 100$	$17$
Ukupno	$4 251$

Prikažite podatke koristeći se histogramom i poligonom frekvencija.
Odredite modalni razred te procijenite medijan, donji i gornji kvartil i interkvartilni raspon.
Interpretirajte mjere raspršenosti.
Smatra se da je mlado stanovništvo ono koje ima 19 godina i manje, zrelo između 20 i 59, a starije sa 60 i više godina. Koje stanovništvo prevladava u Hvaru i u kojem postotku u odnosu na ukupan broj stanovnika?

Histogram i poligon frekvencija za podatke o stanovništvu Hvara prema dobi. — a. Grafički prikaz histograma i poligona frekvencija

Grafički prikaz histograma i poligona frekvencija
Modalni je razred $50 \leq g < 60 .$ Najviše je Hvarana u dobi od 50 (uključujući) do 60 godina, njih $15.5 % .$

Medijan: $42.4 g .$

Donji kvartil: $23.6 g .$

Gornji kvartil: $60 g .$

Interkvartilni raspon jest $36.4 g .$
$50 %$ stanovništva mlađe je od 42.4 godine, $75 %$ svih stanovnika Hvara ima 60 ili manje godina. $50 %$ svih Hvarana u dobi je od 23.6 do 60 godina.

Aritmetička sredina, odnosno prosječna dob stanovnika Grada Hvara, jest 42.2 godine. Standardna devijacija iznosi 22.7 g.
U dobnoj strukturi Grada Hvara prevladava zrelo stanovništvo s $55 % .$ Staro stanovništvo u postotku iznosi $25 %,$ što je veće od postotka mladog stanovništva koje iznosi $20 % .$

10.4 Grupirani podaci

Na početku...

Organiziranje podataka u razrede

Praktična vježba

Modalni razred

Aritmetička sredina grupiranih podataka

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Standardna devijacija grupiranih podataka

Zadatak 4.

Medijan grupiranih podataka

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

...i na kraju

10.5 Uspoređivanje i Interpretacija podataka