Matematika 1 - 8.3 Karakteristične točke trokuta

Na početku...

Na slici je trokut od papira s olovkom u težištu.

U građevinarstvu i arhitekturi jako je važno projektirati stabilne građevine ili dijelove građevina koje se neće urušiti. Stoga treba precizno odrediti težište ili središte ravnoteže objekta.

Praktična vježba

Izrežite trokut od kartona i pokušajte postaviti olovku u središte njegove ravnoteže.

U koju točku unutar trokuta treba postaviti olovku tako da trokut bude u ravnoteži?

Kako ćete precizno odrediti ili konstruirati težište, odnosno središte ravnoteže trokuta?

Je li ta točka jednako udaljena od svih vrhova trokuta ili od svih stranica trokuta ili nešto treće?

Istražimo.

Težište trokuta

Podsjetimo se.
Dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice naziva se

Dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta naziva se

srednjica trokuta.

težišnica trokuta.

null

null
Ako je točka $T$ jednako udaljena od krakova nekog kuta, onda se točka $T$ nalazi na

neke dužine, onda se točka $T$ nalazi na

simetrali te dužine.

simetrali tog kuta.

null

null
Polupravac kojemu je početak u vrhu kuta i dijeli taj kut na dva sukladna dijela nazivamo

Pravac koji je okomit na dužinu i sadrži njezino polovište nazivamo

simetrala kuta.

simetrala dužine.

null

null

Nacrtajte proizvoljan trokut i konstruirajte njegove težišnice. Koliko zajedničkih točaka imaju težišnice? Vrijedi li to za bilo koji trokut?

Provjerite svoj zaključak koristeći GeoGebrin predložak.

Pomičite vrhove trokuta i promatrajte što se događa s težišnicama. Mjerite duljine dijelova težišnica.

Što uočavate?

Sve tri težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki.

Da

Ne

null

null
Točka u kojoj se sijeku težišnice trokuta dijeli svaku od težišnica, računajući od vrha, u omjeru

$1 : 2$

$2 : 1$

$3 : 1$

$3 : 2$

null

null

Zaključimo.

Na slici je trokut s nacrtanim težišnicama i težištem.

Težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki koju nazivamo težište trokuta. Težište trokuta dijeli svaku od težišnica u omjeru $2 : 1$ računajući od vrha.

Kutak za znatiželjne

Pokušajte samostalno ili uz pomoć videa koji slijedi dokazati poučak o težišnicama.

Zadatak 1.

Izračunajte duljine težišnica u pravokutnom trokutu kojemu su duljine kateta $a = 4 cm$ i $b = 6 cm .$

Na slici je težište u pravokutnom trokutu.

U pravokutnom je trokutu duljina težišnice iz vrha pravog kuta jednaka polovici hipotenuze, odnosno polumjeru opisane kružnice tom trokutu. Stoga je $t_{c} = \sqrt{13} .$

Težišnice

t_{a} i t_{b}

računamo po Pitagorinu poučku iz

△ B C Q i △ P C A .

t_{a} = 2 \sqrt{10} cm, t_{b} = 5 cm

Primjer 1.

Konstruirajmo trokut $A B C$ kojemu su zadane duljine stranica $|A B| = 7, |B C| = 5$ i duljina težišnice iz vrha $B, t_{b} = 4 .$

Središte trokutu opisane kružnice

Trokutu opisana kružnica jest kružnica koja sadrži sve njegove vrhove.

Zadatak 2.

Kako ćemo odrediti središte trokutu opisane kružnice?

Koja je točka jednako udaljena od svih vrhova trokuta?

Gdje se nalazi točka jednako udaljena od vrhova $A i B ?$

. Gdje se nalazi točka jednako udaljena od vrhova

A i C ?

.
Ako je točka

O

točka presjeka simetrala stranica

\bar{A B}, \bar{A C},

tada je

odakle zaključujemo da je

.
Stoga se točka

O

nalazi i

na simetrali stranice

\bar{A B}

na simetrali stranice

\bar{B C}

Na simetrali stranice

\bar{A C}

|O A| = |O B|

|O A| = |O C|

|O C| = |O B|

null

Zaključujemo.

Simetrale svih stranica nekog trokuta sijeku se u jednoj točki i ta je točka središte tom trokutu opisane kružnice.

Na slici je trokut i simetrale stranica. Simetrale stranica trokuta se sijeku u jednoj točki.

Zadatak 3.

Konstruirajte središte opisane kružnice koristeći GeoGebrin predložak.

Mijenjajući položaj vrhova trokuta, istražite o čemu ovisi položaj središta trokutu opisane kružnice.

Sparite vrstu trokuta i položaj središta trokutu opisane kružnice $O .$

Pravokutni trokut	$O$ je unutar trokuta.
Tupokutni trokut	$O$ je izvan trokuta.
Šiljastokutni trokut	$O$ je na hipotenuzi.

null

Konstruirajte...

U sljedećim ćemo zadatcima koristiti standardne oznake za elemente trokuta.

Stranice nasuprot vrhova $A, B, C$ označit ćemo redom s $a, b, c,$ kutove pri vrhovima $A, B, C$ redom s $α, β, γ .$

Duljine visina označit ćemo s $v_{a}$ , $v_{b},$ $v_{c},$ s tim da je $v_{a}$ visina povučena iz vrha $A$ na stranicu $a .$ Analogno i za težišnice $t_{a}, t_{b}, t_{c} .$

Za simetrale stranica koristit ćemo oznake $s_{a}, s_{b}, s_{c},$ s tim da je $s_{a}$ oznaka za duljinu onog dijela simetrale stranice $a$ koji se nalazi unutar trokuta.

Simetrale kutova $α, β, γ$ označit ćemo redom sa $s_{α}, s_{β}, s_{γ},$ s tim da je $s_{α}$ oznaka za duljinu onog dijela simetrale kuta $α$ koji se nalazi unutar trokuta.

Polumjer upisane kružnice označit ćemo s $r,$ a opisane s $R .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Konstruirajte trokut kojemu su zadane duljine dviju stranica i polumjer opisane kružnice: $a = 6 cm,$ $b = 7 cm$ i $R = 4 cm .$

Prvi korak: na pravcu konstruiramo točke $B i C$ tako da je $|B C| = a .$
Drugi korak: konstrukcija središta trokutu opisane kružnice kao presjek dviju kružnica polumjera $R$ sa središtima u $B$ i $C .$ Opišemo kružnicu polumjera $R$ sa središtem u dobivenom presjeku.
Treći korak: opišemo kružnicu polumjera $b$ sa središtem u $C .$ Vrh $A$ presjek je ove kružnice i trokutu opisane kružnice dobivene u prethodnom koraku.

Zadatak 8.

Konstruirajte trokut kojemu su zadane duljine dviju stranica i visina na jednu od njih: $a = 7 cm,$ $b = 5 cm$ i $v_{b} = 4 cm .$

Na slici je konstrukcija trokuta zadanog s dvije stranice i visinom na jednu od tih stranica.

Prvi korak: na pravcu konstruiramo točke $A i C$ tako da je $|A C| = b .$
Drugi korak: konstrukcija okomice na pravac $A C$ u njegovoj proizvoljnoj točki i paralele s pravcem $A C$ na udaljenosti $v_{b} .$ Opišemo kružnicu polumjera $a$ sa središtem u $C .$
Treći korak: vrh $B$ presjek je ove kružnice i konstruirane paralele iz prethodnog koraka.

Zadatak 9.

Konstruirajte trokut kojemu je zadana duljina jedne stranice, jedan kut i odsječak simetrale tog kuta koji je unutar trokuta: $a = 5 cm,$ $β = 30 °$ i $s_{β} = 6 cm .$

Na slici je prikaz konstrukcije trokuta zadanog sa stranicom a, kutem beta i simetralom tog kuta.

Prvi korak: na pravcu konstruiramo točke $B i C$ tako da je $|B C| = a .$
Drugi korak: zarotiramo pravac $B C$ oko vrha $B$ za zadani kut i konstruiramo njegovu simetralu.
Treći korak: oko vrha $B$ opišemo kružnicu polumjera $s_{β} .$ Vrh $A$ presjek je pravca dobivenog rotacijom u prethodnom koraku i pravca kroz točku presjeka konstruirane kružnice i simetrale i točku $C .$

Zadatak 10.

Konstruirajte trokut kojemu je zadana duljina jedne stranice, kut i polumjer upisane kružnice: $b = 6 cm, γ = 30 ° i r = 2 cm .$

Na slici je Konstrukcija trokuta kojemu je zadana stranica b, kut gama i polumjer upisane kružnice.

Pokušajte sami otkriti korake konstrukcije.

Zatvori

Težište	Definicija	Svojstvo	Položaj
	Težište je točka u kojoj se sijeku težišnice, dužine koje spajaju vrh trokuta i polovište nasuprotne stranice.	Težište dijeli težišnicu u omjeru...	Težište bilo kojeg trokuta nalazi se...

Kružnica koja dodiruje sve stranice trokuta jest trokutu .

null

Kružnica koja prolazi svim vrhovima trokuta jest trokutu

null

Sparite karakterističnu točku trokuta i opis njezine konstrukcije.

Središte trokutu opisane kružnice	Sjecište težišnica
Središte trokutu upisane kružnice	Sjecište simetrala kutova
Ortocentar	Sjecište pravaca na kojima leže visine trokuta
Težište	Sjecište simetrala stranica

null

Poučak o središtu trokutu upisane kružnice dokazujemo koristeći poučak o

simetrali kuta.

simetrali dužine.

o srednjici.

null

Poučak o središtu trokutu opisane kružnice dokazujemo koristeći poučak o

simetrali kuta.

simetrali dužine.

srednjici.

null

Težište dijeli težišnicu u omjeru : računajući od vrha trokuta.

null

Razvrstajte prema vrsti trokuta položaj karakterističnih točaka: $T$ (težište), $U$ (središte trokutu upisane kružnice), $O$ (središte trokutu opisane kružnice), $H$ (ortocentar).

Točka

O

na stranici je trokuta.

Točke

H,

O,

T,

U

unutar su trokuta.

Točke

O

H

izvan su trokuta, a točke

U

T

unutar su trokuta.

Točka

H

u vrhu je trokuta.

Točke

U

T

unutar su trokuta, a izvan trokuta nema karakterističnih točaka.

Tupokutni trokut

Šiljastokutni trokut

Pravokutni trokut

null

Stolaru je prilikom izrade namještaja ostalo nekoliko drvenih ploha u obliku pravokutnog trokuta. Odlučio je napraviti stoliće s jednom nogom. Dvije okomite stranice drvenog trokuta imaju duljine $54 cm$ i $36 cm .$ Gdje treba postaviti nogu ako je skica stolića kao na slici?

Stolić u obliku pravokutnog trokuta s katetama duljina 36 cm i 54 cm. .

U težište trokuta

T

tako da je

|B T| = 15 cm

U težište trokuta

T

tako da je

|B T| = 30 cm .

U središte trokutu opisane kružnice

T

tako da je udaljenost točke

T

do dulje katete

12.55 cm .

null

ZAVRŠITE PROCJENU

8.3 Karakteristične točke trokuta

Na početku...

Praktična vježba

Težište trokuta

Kutak za znatiželjne

Zadatak 1.

Središte trokutu upisane kružnice

Kutak za znatiželjne

Središte trokutu opisane kružnice

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Ortocentar

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zanimljivost

Konstruirajte...

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

...i na kraju

Tupokutni trokut

Šiljastokutni trokut

Pravokutni trokut

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

8.4 Formule za površinu trokuta

Ortocentar je unutar trokuta ako je trokut
Ortocentar je izvan trokuta ako je trokut
Ortocentar je u vrhu trokuta ako je trokut