8.5 Proporcionalnost

Proporcionalne dužine

Zadane su četiri različite dužine. U kojem su međusobnom odnosu? Pogledajmo u interakciji.

Dužine $\overline{AB}$  i $\overline{CD}$ proporcionalne su dužinama $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ i $\overline{C\text{'}D\text{'}}$ ako vrijedi:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|CD\right|}=\frac{\left|A\text{'}B\text{'}\right|}{\left|C\text{'}D\text{'}\right|}$

Primjer 1.

Neka su dani kvadrati  $ABCD$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.$ Dužine $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ proporcionalne su dužinama $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ i   $\overline{A\text{'}C\text{'}}.$

Dužina $\overline{AB}$ stranica je kvadrata, a dužina $\overline{AC}$ dijagonala kvadrata. Analogno vrijedi za dužine $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ i $\overline{A\text{'}C\text{'}}$ u drugome kvadratu.

Znamo da je omjer duljine dijagonale i stranice u svakome kvadratu jednak $\sqrt{2}$ ​pa slijedi da je $\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|A\text{'}C\text{'}\right|}{\left|A\text{'}B\text{'}\right|}=\sqrt{2},$ odnosno dužine su proporcionalne s koeficijentom proporcionalnosti $\sqrt{2}.$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Pronađite sami slične proporcionalnosti u poznatim geometrijskim likovima.

Zadatak 5.

Neka su zadane dužine i njihove duljine $\left|AB\right|=2,$ $\left|CD\right|=3,$ ​ $\left|EF\right|=28$ i ​ $\left|GH\right|=42.$ Koje su od navedenih proporcija točne?

$\frac{\left|AB\right|}{\left|CD\right|}=\frac{\left|EF\right|}{\left|GH\right|}$​

$\frac{\left|AB\right|}{\left|EF\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|GH\right|}$

​ $\frac{\left|AB\right|}{\left|EF\right|}=\frac{\left|GH\right|}{\left|CD\right|}$

$\frac{\left|GH\right|}{\left|EF\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|AB\right|}$

null

null

Zatvori

Primjer 2.

Ema je visoka $165$ centimetara, a njezina je sjena dugačka $120$ centimetara. Njezin je brat visok $180$ centimetara. Koliko je u istom trenutku dugačka njegova sjena?

Omjer visine i duljine sjene treba biti isti. Označimo sa $s$ duljinu bratove sjene. Tada je

$\frac{165}{120}=\frac{180}{s}\Rightarrow s=\frac{120·180}{165}\Rightarrow s\approx 130.91.$

Možemo zaključiti da je bratova sjena dugačka otprilike​ $131\mathrm{cm}.$

Zadatak 6.

Idealna je visina sjedala bicikla kada je sjedalo postavljeno tako da omjer visine sjedala i unutarnje duljine noge biciklista iznosi $1.08.$ ​Kako visoko treba postaviti sjedalo bicikla ako neka osoba ima unutarnju duljinu noge $80$ centimetara?

$84.2\mathrm{cm}$

$86.4\mathrm{cm}$

$88.6\mathrm{cm}$

$90.8\mathrm{cm}$

null

null

Dijeljenje dužine u zadanom omjeru

Primjer 3.

Podijelimo dužinu​ $\overline{AB}$ na tri dijela jednakih duljina.

Pogledajmo animaciju.

Zadatak 7.

Podijelite dužinu $\overline{AB}$ na pet sukladnih dijelova.

Postupak je sličan kao pri dijeljenju dužine na tri dijela, jedino na dodatni pravac nanesemo dužinu $\overline{A{A}_1}$ pet puta.

Projekt

Redukcijski ili proporcionalni šestar koristio se za dijeljenje zadane dužine na jednake dijelove.

Proporcionalni šestar na slici namješten je da dijeli dužinu u omjeru $1:3.$

Proučite kako šestar funkcionira. Izradite sami svoj proporcionalni šestar.

Zadatak 8.

Podijelite dužinu $\overline{AB}$ u omjeru ​ $1:2.$

Dužinu možemo dijeliti u raznim omjerima. Pogledajmo u interakciji.