Matematika 1 - 1.6 Primjena (omjeri, razmjeri, postotci, aritmetička sredina)

Omjeri

Odnos dviju količina ili mjera $a$ i $b$ u danoj situaciji nazivamo omjerom. Zapisujemo ga u obliku $a : b$ ili $\frac{a}{b} .$

$a : b = \frac{a}{b}, a, b \in R, b \neq 0 .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Fotografija prikazuje čašu soka od naranče.

U čašu u kojoj se nalazi $200 ml$ vode uliveno je $50 ml$ narančina sirupa. Koji je omjer količine sirupa i vode u tome soku?

Omjer količine sirupa i vode je $50 : 200,$ odnosno $1 : 4 .$

Zadatak 2.

Zapišite zadane omjere u obliku omjera prirodnih brojeva.
$\frac{3}{4} : \frac{9}{8} =$ :
$\frac{4}{7} : \frac{5}{21} =$ :
$2 \frac{1}{3} : 1 \frac{2}{5} =$ :
$0.125 : 0.4 =$ :

Zatvori

Pogledajmo još i ove omjere: $5 \frac{kn}{kg},$ $50 \frac{km}{h},$ $70 \frac{otkucaja}{min} .$ Po čemu se ti omjeri razlikuju od prethodnih?

Uočimo da ti omjeri imaju mjerne jedinice. Razlog je tomu što smo u odnos stavili raznovrsne veličine.

Zadatak 3.

Iva je na tržnici $1.5 kg$ jagoda platila $27$ kuna. Kolika je cijena $1$ kilograma jagoda?

$\frac{27 kn}{1.5 kg} = 18 kn/kg$

Zanimljivost

Pitagora sa Samosa (oko 570. - 475. pr. Krista) oko 518. pr. Krista osnovao je znamenitu pitagorejsku školu. Pitagorejci su vjerovali da se omjer duljina svakih dviju dužina može izraziti kao omjer prirodnih brojeva. Šokiralo ih je otkriće da postoje neki omjeri koji se ne mogu predstaviti kao racionalni brojevi. Koliko iznosi omjer duljina hipotenuze i katete u jednakokračnome pravokutnom trokutu?

Povezani sadržaji

Ilustracija prikazuje dvije kružnice koje se sijeku, jednakostraničan trokut upisan jednoj, a pravokutni trokut upisan drugoj kružnici. Zajednička tetiva jedna je od stranica tih trokuta

Dvije kružnice $k_{1}$ i $k_{2}$ imaju zajedničku tetivu. Ta je tetiva kružnici $k_{1}$ stranica upisanoga jednakostraničnog trokuta, a kružnici $k_{2}$ kateta upisanoga jednakokračnoga pravokutnog trokuta. Koliki je omjer polumjera tih kružnica?

Neka je $r_{1}$ polumjer kružnice $k_{1},$ a $r_{2}$ polumjer kružnice $k_{2}$ i $a$ duljina zajedničke tetive.

$r_{1}$ jednako je $\frac{2}{3}$ duljine visine jednakostraničnog trokuta duljine stranice $a .$

$r_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Iz pravokutnog trokuta upisanoga kružnici $k_{2}$ slijedi

$2 r_{2} = \sqrt{2 a^{2}},$ odnosno $r_{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Konačno

$r_{1} : r_{2} = 2 \sqrt{3} : 3 \sqrt{2} .$

Produženi omjer

Produženi omjer kraći je zapis više omjera u kojemu je drugi član svakoga omjera jednak prvome članu sljedećeg omjera. Ako imamo omjere $a : b$ i $b : c,$ možemo ih zapisati u obliku produženog omjera $a : b : c .$

Na primjer, ako duljine stranica nekoga trokuta iznose $10 cm,$ $4 cm$ i $6 cm,$ kažemo da su stranice u omjeru $5 : 2 : 3 .$

Primjer 1.

Napišimo produljeni omjer za ova dva omjera: $5 : 3$ i $4 : 7 .$

Drugi član prvog omjera i prvi član drugog omjera moraju biti jednaki. To ćemo postići proširivanjem prvog omjera faktorom $4,$ a drugog omjera faktorom $3$ jer je najmanji zajednički višekratnik brojeva $3$ i $4$ broj $12 .$

$(5 \cdot 4) : (3 \cdot 4), (4 \cdot 3) : (7 \cdot 3)$ odnosno, $20 : 12, 12 : 21 .$

Konačno, produženi omjer je $20 : 12 : 21 .$

Zadatak 4.

Povežite omjere i odgovarajući produženi omjer.

$3 : 4$ i $6 : 5$
$2 : 5$ i $3 : 7$
$1 : 2$ i $8 : 10$
$2 : 3$ i $5 : 7$

null

Razmjeri

Jednakost omjera $a : b = c : d,$ pri čemu su $a, b, c, d \in R, b, d \neq 0,$ nazivamo razmjerom.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Jesu li sljedeći razmjeri točni?

$52 : 13 = 68 : 17$

Da

Ne

null

null
$25 : 8 = 7.5 : 2.5$

Da

Ne

null

null
$0.8 : 6.1 = 0.4 : 30.5$

Da

Ne

null

null
$\frac{7}{5} : 1 \frac{1}{3} = 21 : 20$

Da

Ne

null

null

Zadatak 6.

Izračunajte nepoznati član razmjera.

$21 : 12 =$ $: 16$

null

null
$4 : \frac{16}{5} =$ $: \frac{7}{5}$

null

null
$14 :$ $= 12 : 1.8$

null

null
$252 : 630 = 3.5 :$ .

null

null

Zadatak 7.

Dva prijatelja trebaju podijeliti iznos od $3 072 kn$ u omjeru $5 : 7 .$ Koliko će kuna dobiti svaki?

Neka su $a$ i $b$ iznosi koje dobivaju prijatelji. Uočimo da se dio iznosa $a$ koji dobiva jedan prijatelj odnosi prema ukupnom iznosu kao $5 : (5 + 7),$ odnosno da je

$a : 3 072 = 5 : 12 .$

Odavde slijedi da je

a = 1 280 .

Dakle, jedan prijatelj dobiva $1 280 kn,$ a drugi $1 792 kn .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Mjere kutova u trokutu odnose se kao $3 : 4 : 8 .$ Koliko iznosi mjera najmanjeg kuta?

Neka je $x$ mjera najmanjega kuta u trokutu. Uočimo da se mjera toga kuta odnosi prema zbroju svih kutova u trokutu kao $3 : (3 + 4 + 8),$ odnosno da je $x : 180 = 3 : 15 .$

Odavde slijedi da je mjera najmanjeg kuta $x = 36 ° .$

Zadatak 9.

Popunite prazna mjesta:

$2 km / \min =$ $km / h$

null

null
$528 g / h =$ $kg / dnevno$

null

null
$90 treptaja / \min = 1.5 treptaja /$

null

null
$120 kn / m^{2} =$ $lp / {dm}^{2}$

null

null

Povezani sadržaji

Gustoća je bakra $8.92 g / {cm}^{3} .$ Kolika je masa $500 {cm}^{3}$ bakra?

Prisjetite se: Gustoća je kvocijent mase i obujma.

$4 460 g$

Zadatak 10.

Na jednome stolnoteniskom turniru Grigor je pobijedio u $9$ od ukupno $11$ mečeva, a Dominik u $11$ od $14$ mečeva. Tko je bio uspješniji na turniru? Objasnite.

Grigor je bio uspješniji jer ima veći omjer pobjeda prema ukupnom broju mečeva.

Zadatak 11.

Osmorica su prijatelja odlučila otići tri dana na planinarenje. U vodiču za planinarenje piše da je za pet osoba potrebno $12.5$ litara vode na dan. Koliko vode trebaju ponijeti?

Za jednu je osobu potrebno $12.5 : 5 = 2.5$ litara vode na dan, a za osam osoba treba $2.5 \cdot 8 = 20$ litara na dan, odnosno $60$ litara ukupno za tri dana.

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Kažemo da su dvije veličine $a$ i $b$ u zlatnom omjeru ili zlatnom rezu ako se manji dio $a$ odnosi prema većem $b$ kao što se veći dio odnosi prema ukupnom, odnosno ako vrijedi $a : b = b : (a + b) .$

U svijetu oko nas mnoštvo je primjera zlatnog reza. Prisutan je u rastu biljaka, u građi tijela životinja te u građi ljudskog tijela. Pronađite sami neke primjere zlatnog reza. Više o proporcijama ljudskog lika možete pročitati na poveznici.

Kutak za znatiželjne

Zlatni omjer

U sljedećoj je animaciji definiran zlatni omjer te je provedena konstrukcija niza pravokutnika čije su stranice u zlatnom omjeru. Prvo je nacrtan kvadrat.

Provedite sami konstrukciju niza pravokutnika kao u animaciji. Dokažite da su duljine stranica dobivenih pravokutnika u omjeru zlatnog reza. Opišite kako se konstruira zlatna spirala.

Povezani sadržaji

Piet Mondrian: Kompozicija u crvenom, žutom, plavom i crnom

Različita su mišljenja o postojanju zlatnog omjera u djelima Pieta Mondriana jer su preplavljena horizontalnim i vertikalnim linijama. Proučite neka Mondrianova platna i komentirajte ima li zlatnog reza ili su to neki drugi omjeri.

Postotci

Fotografija prikazuje plakat u izlogu sa postotkom sniženja.

Sigurno ste u izlogu trgovine vidjeli ovakve natpise.

Što taj natpis predstavlja? Znate li izračunati sniženu cijenu?

Postotak je razlomak s nazivnikom $100 .$

$p % = \frac{p}{100}$

Postotak označava koliko jedinica jedne veličine dolazi na $100$ jedinica iste veličine.

Ilustracija prikazuje kvadratnu mrežu 10x10 s 15 obojanih kvadratića.

Dana je kvadratna mreža $10 \times 10 .$ Koliko ta mreža ima kvadratića? Koliko je jedinica obojeno na $100$ jedinica kvadratne mreže?

Od $100$ jedinica kvadratne mreže obojeno je $15$ jedinica, znači obojeno je $\frac{15}{100},$ odnosno $15 %$ površine početnog kvadrata.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Pronađite pločicu na kojoj piše START. Postavite ju kao prvu pločicu. Nađite pločicu na kojoj je zapis postotka koji odgovara grafičkom prikazu postotka s prve pločice. Postavite ju kao drugu pločicu. Nastavite tako sve dok ne dođete do pločice na kojoj piše KRAJ.
null

null
Nastavite niz.
null

null

Zadatak 13.

Riješite koristeći se džepnim računalom.

Zatvori

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 14.

U pretprodaji je cijena ulaznice za koncert $220$ kuna. Koliko će stajati ulaznica na dan koncerta ako bude $25 %$ skuplja?

$275$ kuna

Zadatak 15.

Na izborima za predsjednika Republike Hrvatske 2015. godine glasovalo je $2 258 887$ birača, a nevaljanih je glasačkih listića bilo $60 728 .$ Koji je bio postotak valjanih glasačkih listića?

$97.3 %$

Zadatak 16.

Pacijentica je primila lijek i njezin ga organizam postupo razgrađuje. Sat nakon uzimanja samo $57 %$ lijeka ostaje aktivno. Analizom je utvrđeno da količina aktivnog lijeka u krvi pacijentice sat nakon uzimanja iznosi $171 mg .$ Kolika je bila početna doza lijeka?

$300 mg$

Zatvori

Primjer 2.

Udjel je vode u svježem grožđu $84 %,$ a u suhim grožđicama $27 % .$ Od koje se količine svježega grožđa dobije $2 kg$ suhih grožđica?

Suhe grožđice sadržavaju $27 %$ vode, što znači da $73 %$ čini suha tvar. Masa suhe tvari u $2 kg$ suhih grožđica iznosi

$73 % \cdot 2 = 0.73 \cdot 2 = 1.46 kg .$

Tih $1.46 kg$ suhe tvari čini $16 %$ svježega grožđa. Neka je $x$ masa svježega grožđa.

Slijedi:

$16 % \cdot x = 1.46$

$0.16 \cdot x = 1.46$

$x = 9.125.$

Za $2 kg$ suhih grožđica potrebno je $9.125 kg$ svježega grožđa.

Cijena nekoga proizvoda prvo je povećana za $15 %$ pa nakon toga snižena za $15 % .$ Mislite li da je cijena ista kao na početku? Objasnite.

Cijena je $2.25 %$ manja.

Slijedi detaljno objašnjenje sličnog problema.

Urod se maslina jedne godine povećao za $20 %,$ a sljedeće se godine smanjio za $25 % .$ Kako se promijenio urod maslina u te dvije godine?

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 17.

Popust na cijenu uredskog stola koji je izložen u salonu namještaja iznosi $30 % .$ Pri gotovinskom plaćanju odobrava se dodatni popust od $5 %$ . Koliko je ukupno snižena cijena stola?

25 %

33.5 %

35 %

66.5 %

null

Zadatak 18.

Glačanjem će se vuneni šal pravokutna oblika produljiti za

4 %

, a po širini smanjiti za

2 %

. Površina šala će se za

% .

null

Zadatak 19.

Nevenov i Tinov tjedni džeparac razlikuje se za $10$ kuna. Tri četvrtine Nevenova džeparca jednako je $80$ % iznosa Tinova džeparca. Koliko iznosi Nevenov džeparac?

Nevenov je džeparac $160$ kuna.

Zadatak 20.

Na ispitu je učenik točno odgovorio na $15$ pitanja od prvih $20 .$ U sljedećim je pitanjima točno odgovorio na $30$ % pitanja. Za svaki je točan odgovor dobio po jedan bod i na ispitu je imao $60$ % od ukupnoga broja bodova. Koliko je bilo ukupno bodova na ispitu?

$30$ bodova

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Budući da su zlato i srebro mekane plemenite kovine, za postizanje veće tvrdoće potrebne za kovanje i uporabu miješaju se s drugim metalima, najčešće s bakrom. Omjer između mase čiste kovine i mase smjese naziva se finoća, a izražava se promilima.

Promil označava koliko jedinica jedne veličine dolazi na $1 000$ jedinica iste veličine, odnosno promil je razlomak s nazivnikom $1 000 .$

$p ‰ = \frac{p}{1 000}$

Primjer 3.

Odredimo finoću kovine ako $2.5 kg$ smjese sadržava $2 kg$ srebra.

$f = \frac{2}{2.5} \cdot 1 000 = 800 ‰$

Zadatak 21.

Koliko grama čistog zlata sadržava zlatni predmet mase $700 g$ ako je finoća $600 ‰ ?$

$420 g$

Kutak za znatiželjne

Pronađite još neke praktične primjene promila.

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina ili prosjek $\bar{x}$ za neki konačan skup brojeva $S = {x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . . x_{n}}$ računa se kao količnik zbroja članova toga skupa brojeva i broja članova toga skupa, odnosno

$\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n}}{n} .$

Zadatak 22.

Provjerite.

Aritmetička sredina brojeva $12$ i $23$ iznosi $17.5 .$

Da

Ne

null

null
Aritmetička sredina brojeva $8$ i $32$ iznosi $24 .$

Da

Ne

null

null
Aritmetička sredina brojeva $- 15$ i $10$ iznosi $- 12.5 .$

Da

Ne

null

null
Aritmetička sredina brojeva $- 5$ i $5$ iznosi $0 .$

Da

Ne

null

null

Primjer 4.

Aritmetička sredina osam brojeva iznosi $6 .$ Ako tomu skupu brojeva dodamo $15$ i $x,$ aritmetička će sredina biti $7 .$ Koliko iznosi $x ?$

Označimo sa $Z$ zbroj početnih osam brojeva zadanog skupa. Tada je

$\frac{Z}{8} = 6,$ odnosno $Z = 48 .$

Nadalje,

$\frac{Z + 15 + x}{10} = 7$

$48 + 15 + x = 70$

$x = 7 .$

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 23.

Riješite.

Zadatak 24.

Aritmetička sredina $40$ brojeva, među kojima su i brojevi $52$ i $58,$ iznosi $36 .$ Ako iz tog skupa brojeva ispustimo brojeve $52$ i $58,$ kolika će biti aritmetička sredina preostalih brojeva?

$35$

Zadatak 25.

Biciklist je četvrtinu vremena vozio prosječnom brzinom od $25 km/h,$ a ostatak je vremena vozio prosječnom brzinom od $20 km/h .$ Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu?

$21.25 km/h$

Zadatak 26.

Prosječna je masa jabuka u skladištu $163 g,$ a prosječna je masa krušaka $156 g .$ Ako prosječna masa jabuka i krušaka iznosi $160.2 g,$ koliki je omjer količine jabuka i količine krušaka u skladištu?

Omjer količine jabuka prema količini krušaka je $3 : 2 .$

Zatvori

produženi omjer	$\frac{3 + 5 + 2 + 5}{4}$
razmjer	$x : y = 3 : 4$
postotak	$2 : 6 : 11$
aritmetička sredina	$\frac{23}{100}$
omjer	$3 : 7$

Na početku...

Omjeri

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zanimljivost

Povezani sadržaji

Produženi omjer

Zadatak 4.

Razmjeri

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Povezani sadržaji

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Kutak za znatiželjne

Kutak za znatiželjne

Povezani sadržaji

Postotci

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Zadatak 20.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 21.

Kutak za znatiželjne

Aritmetička sredina

Zadatak 22.

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 23.

Zadatak 24.

Zadatak 25.

Zadatak 26.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: