10.3 Raspršenost podataka

Raspon podataka

Primjer 1.

Na jednome su testiranju dobiveni sljedeći rezultati:

$40,$ $71,$ $20,$ $43,$ $83,$ $57,$ $26,$ $43,$ $89,$ $66,$ $63.$

Uočimo da je najmanji rezultat $x_{min}=20,$ a najveći $x_{max}=89.$ Dakle, raspon podataka je

$r=x_{max}-x_{min}=89-20=69.$

Raspon podataka vrlo je gruba mjera raspršenosti, jer nam ne govori ništa o podatcima koji se nalaze između najmanje i najveće vrijednosti podataka.

Za daljnje proučavanje podataka uvedimo još neke važne pojmove.

Interkvartilni raspon

Znatno će bolja mjera raspršenosti biti raspon središnjih $50\%$ podataka.

Već ste upoznali medijan, vrijednost koja skup podataka dijeli na dva jednaka dijela. Ti se dijelovi dalje dijele na dva jednaka dijela, tj. četvrtine pomoću kvartila.

Pogledajmo u animaciji kako ćemo odrediti kvartile za skup podataka $40,$ $71,$ $20,$ $43,$ $83,$ $57,$ $26,$ $43,$ $89,$ $66,$ $63.$

Za skup podataka $40,$ $71,$ $20,$ $43,$ $83,$ $57,$ $26,$ $43,$ $89,$ $66,$ $63,$ interkvartilni raspon je

$Iqr=q_3-q_1=71-40=31.$

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Dijagram stablo-list prikazuje dob pretplatnika jednog znanstvenog časopisa.

Napomena: $1\left|8\right.$ predstavlja 18 godina.

1. $25\%$ pretplatnika je mlađe od godina.
2. $\%$ pretplatnika je starije od 27 godina i mlađe od 46 godina.
   
3. $75\%$ pretplatnika je mlađe od godina.
4. Najstariji pretplatnik ima godina.

null

null

Zadatak 3.

Udruga potrošača istraživala je trajanje dviju različitih vrsta baterija A i B. Testirano je po $40$ komada svake vrste. Dobiveni su sljedeći rezultati:

Koja je vrsta baterije pouzdanija?

Pogledajmo kako ove podatke (najmanja vrijednost, najveća vrijednost, medijan, donji i gornji kvartil) možemo prikazati dijagramom.

Brkata kutija

Zanimljivost

Brkata kutija je naš prijevod engleskog naziva box and whisker plot.

Za crtanje dijagrama brkata kutija potrebno je odrediti najmanju vrijednost među podatcima $x_{min},$ donji kvartil $q_1,$ medijan $q_2,$ gornji kvartil $q_3$ i najveću vrijednost $x_{max}.$

Tih pet brojeva $\left(x_{min},q_1,q_2,q_3,x_{max}\right)$ čini karakterističnu petorku skupa podataka.

Primjer 2.

Matija je u ovoj košarkaškoj sezoni postigao sljedeći broj koševa po utakmici:

$28,$ $24,$ $16,$ $6,$ $26,$ $30,$ $29,$ $16,$ $18,$ $25,$ $15,$ $14,$ $4,$ $16,$ $26,$ $13,$ $12,$ $14,$ $21,$ $28.$

Prikažimo podatke brkatom kutijom.

Prvo ćemo podatke poredati po veličini, da bismo odredili karakterističnu petorku.

$4,$ $6,$ $12,$ $13,$ $14,$ $14,$ $15,$ $16,$ $16,$ $16,$ $18,$ $21,$ $24,$ $25,$ $26,$ $26,$ $28,$ $28,$ $29,$ $30$

Vidimo da je najmanja vrijednost $x_{min}=4,$ a najveća vrijednost $x_{max}=30.$

Odredimo medijan te donji i gornji kvartil.

Nacrtajmo brojevni pravac i na njemu označimo točke koje pripadaju karakterističnoj petorki te ucrtajmo odgovarajući pravokutnik s "brkovima".

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Standardna devijacija

Standardna devijacija najbolja je mjera raspršenosti podataka. Ona se, za razliku od raspona i interkvartilnoga raspona, računa iz svih dobivenih podataka i najčešće se koristi za analizu podataka.

Neka su zadani podatci $x_1,x_2,x_3,...x_n$ i neka je $\bar{x}$ aritmetička sredina tih brojeva. Broj $x_i-\stackrel{-}{x}$ nazivamo odstupanje vrijednosti podatka $x_i$ od aritmetičke sredine.

Primjer 3.

Izračunajmo standardnu devijaciju za skup podataka $9,$ $12,$ $13,$ $14,$ $17,$ $19.$

Prvo izračunajmo aritmetičku sredinu ​podataka $\begin{array}{l}\bar{x}=\frac{9+12+13+14+17+19}{6}=14\end{array}.$

Sada je $\begin{array}{l}s=\sqrt{\frac{{\left(9-14\right)}^2+{\left(12-14\right)}^2+{\left(13-14\right)}^2+{\left(14-14\right)}^2+{\left(17-14\right)}^2+{\left(19-14\right)}^2}{6}}\end{array},$

$\begin{array}{l}s=\sqrt{\frac{5^2+2^2+1^2+0^2+3^2+5^2}{6}}=\sqrt{\frac{64}{6}}\approx 3.27\end{array}.$

Standardna devijacija izražava se u istim jedinicama kao i vrijednosti podataka.

Ponekad je lakše i preglednije standardnu devijaciju računati koristeći tablice.

Izračunajmo tako standardnu devijaciju za skup podataka $4,$ $4,$ $4,$ $5,$ $8,$ $8,$ $14,$ $17.$

Prvo ćemo izračunati aritmetičku sredinu $\begin{array}{l}\bar{x}=\frac{4+4+4+5+8+8+14+17}{8}=\frac{64}{8}=8\end{array}.$

Podatke ćemo smjestiti u tablicu.

Vidimo da zbroj u posljednjem stupcu iznosi $174.$

Tada je $s=\sqrt{\frac{174}{8}}=\sqrt{21.75}\approx 4.66.$

Zadatak 6.

Tehnologija pri računanju i prikazivanju podataka

Pogledajmo kako za računanje i grafičko prikazivanje podataka možemo rabiti računalni program Excel koji je dio paketa Office 365 te je dostupan učenicima.

Pri računanju mjera srednjih vrijednosti i raspršenosti:

1. Upišite podatke u tablicu.

2. Postavite se na praznu ćeliju pa otvorite karticu Formule.

   1. Za računanje MOD-a podataka odaberite MODE.SNGL.
   2. Za računanje medijana podataka odaberite MEDIAN.
   3. Za računanje srednje vrijednosti odaberite AVERAGE.
   4. Za računanje standardne devijacije odaberite STDEV.P.
      

Pri grafičkom prikazu podataka:

1. Upišite podatke u tablicu.
2. Označite upisane podatke i otvorite karticu Umetanje.
3. Odaberite grafički prikaz. Ne slikama su prikazani stupčasti dijagram, poligon frekvencija i brkata kutija.
4. Grafičke prikaze možete mijenjati i uređivati.
   

Kutak za znatiželjne

Percentili

Percentili dijele skup podataka na $100$ dijelova, tj. svaki dio sadrži $1\%$ podataka. Percentil može biti bilo koji cijeli broj između $1$ i $100.$ Percentil je vrijednost ispod koje se nalazi odgovarajući postotak svih podataka. Medijan, kao podatak koji se nalazi točno na sredini, jednak je $50.$ percentilu.

Percentil nije isto što i postotak. Na primjer, ako se nečiji rezultat nalazi na $40.$ percentilu, to znači da $40\%$ učenika ima lošiji rezultat od njega, a ne da je on točno riješio $40\%$ testa.

Na školskoj su zadaći iz matematike učenici 1. a razreda postigli sljedeće bodove:

$16,$ $25,$ $19,$ $18,$ $14,$ $16,$ $21,$ $20,$ $12,$ $16,$ $23,$ $17,$ $25,$ $24,$ $18,$ $12,$ $16,$ $9,$ $23,$ $20,$ $7,$ $27,$ $20,$ $25.$

Želimo izračunati $35.$ percentil.

Prvo bodove poredamo po veličini:

$7,$ $9,$ $12,$ $12,$ $14,$ $16,$ $16,$ $16,$ $16,$ $17,$ $18,$ $18,$ $19,$ $20,$ $20,$ $20,$ $21,$ $23,$ $23,$ $24,$ $25,$ $25,$ $25,$ $27.$

Ukupno ima $24$ rezultata.

Da bismo odredili koji se rezultat nalazi na nekom percentilu, trebamo izračunati poziciju tog percentila u nizu podataka prema formuli $i=\frac{p}{100}·n,$ gdje je $i$ pozicija traženog percentila, $p$ traženi percentil, a $n$ ukupni broj podataka.

U našem je primjeru $i=\frac{35}{100}·24=8.4.$

Ovaj broj zaokružimo na prvi veći cijeli broj, to je $9.$

Zaključimo: Podatak na 9. mjestu, odnosno $16$ bodova odgovara $35.$ percentilu, što znači da je $35\%$ učenika 1. a razreda postiglo $16$ ili manje od $16$ bodova, a $65\%$ učenika postiglo je $16$ ili više bodova na ovoj školskoj zadaći.

Izračunajte $75.$ i $95.$ percentil danih bodova.