6.4 Graf funkcije apsolutne vrijednosti

Graf po dijelovima linearne funkcije

Vidjeli smo u primjeru da postoje situacije u kojima se formula u pravilu pridruživanja mijenja pa za dio elemenata domene vrijedi jedna, a za dio elemenata domene druga formula. Ako su obje formule linearne ili konstanta, kažemo da je funkcija po dijelovima linearna. Možete li zamisliti još neke takve primjere? Kako nacrtati graf takve funkcije? Pogledajmo u sljedećem primjeru.

Primjer 1.

Nacrtajmo graf po dijelovima linearne funkcije $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ s pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-0.5x+0.5,x\le -3\\ \frac{1}{4}x+2.75,x>-3\end{array}\right.$

Pogledajte animaciju.

Zadatak 1.

Na isti način kao u prethodnoj animaciji nacrtajte u bilježnicu graf po dijelovima linearne funkcije $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ s pravilom pridruživanja

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+2,x<2\\ -x+5,x\ge 2\end{array}\right.$

U prethodnim su se primjerima dijelovi grafa nadovezali jedan na drugog. To se ne mora uvijek dogoditi. Riješite sljedeći zadatak.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Nacrtajte u bilježnicu graf po dijelovima linearne funkcije $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ s pravilom pridruživanja

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}x+\frac{1}{3},x\le -2\\ \frac{3}{4}x+2.5,x>-2\end{array}\right.$

Rješenje

---

Zadatak 3.

Nacrtajte u bilježnicu grafove funkcija zadanih pravilima priduživanja pa uparite graf i pravilo pridruživanja:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-2x-1,x<1\\ 4x-7,x\ge 1\end{array}\right.$ $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}x-\frac{11}{4},x\le 1\\ 2x-5,x>1\end{array}\right.$ $h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}4x+1,x<1\\ -\frac{1}{2}x+3.5,x\ge 1\end{array}\right.$ $i\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-4x+5,x\le 1\\ \frac{1}{2}x-2.5,x>1\end{array}\right.$​

1. 
   

   

   $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-2x-1,x<1\\ 4x-7,x\ge 1\end{array}\right.$

   $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}x-\frac{11}{4},x\le 1\\ 2x-5,x>1\end{array}\right.$

   $h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}4x+1,x<1\\ -\frac{1}{2}x+3.5,x\ge 1\end{array}\right.$

   $i\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-4x+5,x\le 1\\ \frac{1}{2}x-2.5,x>1\end{array}\right.$​

   

   null

   null

2. 
   

   

   $i\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-4x+5,x\le 1\\ \frac{1}{2}x-2.5,x>1\end{array}\right.$​

   $h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}4x+1,x<1\\ -\frac{1}{2}x+3.5,x\ge 1\end{array}\right.$

   $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}x-\frac{11}{4},x\le 1\\ 2x-5,x>1\end{array}\right.$

   $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-2x-1,x<1\\ 4x-7,x\ge 1\end{array}\right.$

   

   null

   null

3. 
   

   

   $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-2x-1,x<1\\ 4x-7,x\ge 1\end{array}\right.$

   $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}x-\frac{11}{4},x\le 1\\ 2x-5,x>1\end{array}\right.$

   $h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}4x+1,x<1\\ -\frac{1}{2}x+3.5,x\ge 1\end{array}\right.$

   $i\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-4x+5,x\le 1\\ \frac{1}{2}x-2.5,x>1\end{array}\right.$​

   

   null

   null

4. 
   

   

   $i\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-4x+5,x\le 1\\ \frac{1}{2}x-2.5,x>1\end{array}\right.$​

   $h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}4x+1,x<1\\ -\frac{1}{2}x+3.5,x\ge 1\end{array}\right.$

   $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}x-\frac{11}{4},x\le 1\\ 2x-5,x>1\end{array}\right.$

   $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-2x-1,x<1\\ 4x-7,x\ge 1\end{array}\right.$

   

   null

   null

Pravilo pridruživanja može sadržavati i više od dvije formule. Postupamo na isti način kao u prethodnim zadatcima.

Zadatak 4.

Nacrtajte u bilježnicu graf funkcije s pravilom pridruživanja

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-2x+6,x\le -4\\ \frac{1}{3}x+\frac{10}{3},-4<x\le -1\\ -\frac{2}{3}x+\frac{7}{3},x>-1\end{array}\right.$

Rješenje

---

Zatvori

Funkcija apsolutne vrijednosti

Pridružimo svakom realnom broju njegovu udaljenost od ishodišta na brojevnom pravcu. Jesmo li opisali funkciju? Što su domena i kodomena, a što je pravilo pridruživanja?

Primjer 2.

Kako izgleda graf funkcije apsolutne vrijednosti? Rekli smo da je graf funkcije skup točaka $T\left(x,y\right),$ gdje se vrijednost ordinate $y$ računa prema zadanom pravilu pridruživanja za sve vrijednosti argumenta $x$ iz domene funkcije $f.$ Nacrtajte u bilježnici tablicu i odredite brojeve koji nedostaju u tablici. Nacrtajte koordinatni sustav u bilježnicu i u njega ucrtajte dobivene parove $\left(x,\left|x\right|\right).$ Je li graf funkcije apsolutne vrijednosti pravac? Jesmo li nacrtali graf funkcije apsolutne vrijednosti?

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f\left(x\right)=\left|x\right|$

Nacrtane točke ne pripadaju jednom pravcu pa zaključujemo da graf funkcije apsolutne vrijednosti nije pravac. Nismo nacrtali cijeli graf, već samo neke točke grafa. Domena funkcije je skup $R$ pa treba crtati sve parove $\left(x,\left|x\right|\right)$ u kojima je $x$ realni broj.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f\left(x\right)=\left|x\right|$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Zadatak 5.

Vidjeli smo da graf funkcije apsolutne vrijednosti nije pravac. Kako izgleda taj graf?

Prisjetimo se najprije defincije apsolutne vrijednosti realnog broja.

​ Postavite izraze na odgovarajuća mjesta.
$\left|x\right|=$ 

 

ako je $x\le 0.$
$\left|x\right|=$

 

ako je $x>0.$

$x$

$-x$

null

null

Povlačenjem elemenata na odgovarajuće mjesto, zapišite pravilo pridruživanja $f$  funkcije apsolutne vrijednosti.

$x$   

$x\le 0$   ​

$x>0$   ​

null

null

Funkcija apsolutne vrijednosti je

 linearna.

 po dijelovima linearna.

null

null

Graf funkcije apsolutne vrijednosti

Funkcija apsolutne vrijednosti po dijelovima je linearna s pravilom pridruživanja​ $f\left(x\right)=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}-x,x\le 0\\ x,x>0\end{array}\right.$

Primjer 3.

Nacrtajmo u bilježnicu graf funkcije apsolutne vrijednosti. Crtamo pravac $y=-x$ te na njemu istaknemo točke čije su apscise negativne ili nula. Ostalo obrišemo. Zatim crtamo pravac $y=x$ i na njemu istaknemo točke čije su apscise pozitivne. Ostalo obrišemo. Nacrtali smo graf funkcije apsolutne vrijednosti.  

Na slici je graf funkcije apsolutne vrijednosti.

Zadatak 6.

Na isti način kao i graf funkcije apsolutne vrijednosti možemo nacrtati i grafove funkcija u čijim se pravilima pridruživanja pojavljuje apsolutna vrijednost. Raspišite pravilo pridruživanja po slučajevima pa nacrtajte u bilježnicu graf funkcije:

  a. $f\left(x\right)=\left|2x\right|$

a. ​ $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-2x,x\le 0\\ 2x,x>0\end{array}\right.$

b. $g\left(x\right)=\left|\frac{3}{2}x\right|$

b. ​ $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}x,x\le 0\\ \frac{3}{2}x,x>0\end{array}\right.$

Grafovi funkcija s apsolutnim vrijednostima

Primjer 4.

Nacrtajmo graf funkcije s pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\left|x-2\right|$ . Raspišimo najprije pravilo pridruživanja po slučajevima.

 

$\left(x-2\right)$ ​

$x-2>0$ 

$x-2$ 

$x-2\le 0$ 

 

null

 

$-x+2$ 

$x-2$ 

$x\le 2$ 

$x>2$ 

null

Zadatak 7.

Pravilo pridruživanja može se sastojati od nekoliko apsolutnih vrijednosti. Kako nacrtati graf takve funkcije? Pogledajmo na primjeru.

Nacrtajmo graf funkcije s pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\left|x+1\right|+\left|2x-6\right|+x.$

Najprije ćemo zapisati pravilo pridruživanja bez znakova apsolutne vrijednosti. Pritom  treba pratiti predznake izraza koji se nalaze ispod znaka apsolutne vrijednosti. Predznake ćemo zapisati u tablicu predznaka.

Zadatak 8.

Zadana je funkcija $f$ s pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\left|x+1\right|+\left|2x-6\right|+x.$ Koristeći se tablicom predznaka, raspišite pravilo pridruživanja po slučajevima. Povežite intervale i odgovarajuće formule.

	$f\left(x\right)=7$
	$f\left(x\right)=4x-5$
	$f\left(x\right)=-2x+5$

 

Postupak:

Za vrijedi: $f\left(x\right)=-x-1-2x+6+x=-2x+5.$
Za vrijedi: $f\left(x\right)=x+1-2x+6+x=7.$
Za vrijedi: $f\left(x\right)=x+1+2x-6+x=4x-5.$

Nacrtajte u bilježnicu graf funkcije $f$ pa označite sliku na kojoj je prikazan.

Zrcaljenje

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 9.

U aktivnosti je tablica vrijednosti i graf funkcije ​ $g:\left\{-3,-2,-\mathrm{1,0,1,2,3}\right\}\to \mathbf{R}.$ Upišite vrijednosti i nacrtajte u bilježnicu graf funkcije $f:\left\{-3,-2,-\mathrm{1,0,1,2,3}\right\}\to \mathbf{R}$ s pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\left|g\left(x\right)\right|.$ Uputa: Izračunajte vrijednost funkcije $f\left(-3\right)$ i upišite dobivenu vrijednost na odgovarajuće mjesto. Pojavit će se točka $A$ koju treba postaviti na odgovarajuće mjesto grafa funkcije $f.$ Na isti način odredite i upišite ostale vrijednosti funkcije i postavite sve točke grafa.

U kakvu su odnosu grafovi funkcija $g$ i $f=\left|g\right|?$ Na osnovi prethodne aktivnosti riješite zadatak.

Ako je $g\left(x\right)\le 0,$ točke $\left(x,g\left(x\right)\right)$ i $\left(x,\left|g\left(x\right)\right|\right)$	se podudaraju.su identične.simetrični su s obzirom na os apscisu.simetrične su s obzirom na os apscisu.
Ako je $g\left(x\right)>0$ točke $\left(x,g\left(x\right)\right)$ i $\left(x,\left|g\left(x\right)\right|\right)$ ​	se podudaraju.su identične.simetrični su s obzirom na os apscisu.simetrične su s obzirom na os apscisu.
Na dijelu grafa funkcije ​ $g,$ koji je iznad osi apscise, grafovi funkcija $g$ i $f=\left|g\right|$	se podudaraju.su identične.simetrični su s obzirom na os apscisu.simetrične su s obzirom na os apscisu.
Na dijelu grafa funkcije ​ $g,$ koji je ispod osi apscise, grafovi funkcija $g$ i $f=\left|g\right|$	se podudaraju.su identične.simetrični su s obzirom na os apscisu.simetrične su s obzirom na os apscisu.

null

null

Zadatak 10.

Primijenimo prethodna razmatranja. Nacrtajte u bilježnici graf funkcije:

1. $f\left(x\right)=\left|2x-1\right|$ ​
2. $f\left(x\right)=\left|0.5x+1\right|.$

U aktivnosti upišite koeficijente $a,b$  pa provjerite rezultate.

Zadatak 11.

U bilježnici nacrtajte zrcaljenjem grafove funkcija zadanih pravilima pridruživanja pa uparite pravilo pridruživanja i graf:

$f\left(x\right)=\left|\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right|,$  $g\left(x\right)=\left|4x+8\right|,$ $h\left(x\right)=\left|2-x\right|$​ , $i\left(x\right)=\left|\frac{4}{3}-\frac{1}{3}x\right|.$

1. 
   

   

   $f\left(x\right)=\left|\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right|$

   $g\left(x\right)=\left|4x+8\right|$

   $h\left(x\right)=\left|2-x\right|$​

   $i\left(x\right)=\left|\frac{4}{3}-\frac{1}{3}x\right|$

   

   null

   null

2. 
   

   

   $i\left(x\right)=\left|\frac{4}{3}-\frac{1}{3}x\right|$

   $h\left(x\right)=\left|2-x\right|$​

   $g\left(x\right)=\left|4x+8\right|$

   $f\left(x\right)=\left|\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right|$

   

   null

   null

3. 
   

   

   $f\left(x\right)=\left|\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right|$

   $g\left(x\right)=\left|4x+8\right|$

   $h\left(x\right)=\left|2-x\right|$​

   $i\left(x\right)=\left|\frac{4}{3}-\frac{1}{3}x\right|$

   

   null

   null

4. 
   

   

   $i\left(x\right)=\left|\frac{4}{3}-\frac{1}{3}x\right|$

   $h\left(x\right)=\left|2-x\right|$​

   $g\left(x\right)=\left|4x+8\right|$

   $f\left(x\right)=\left|\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right|$

   

   null

   null

Zatvori

Grafička metoda

Grafičkom se metodom možemo koristiti i pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi s apsolutnim vrijedostima. Pogledajmo na primjeru.

Primjer 5.

Biciklist vozi ravnom biciklističkom stazom od Supetra do Sutivana i natrag do Supetra. Graf prikazuje udaljenost (u kilometrima) biciklista od Sutivana u ovisnosti o vremenu (u minutama). Odgovorimo na pitanja:

1. Koliko je biciklist bio udaljen od Sutivana nakon $20$ minuta vožnje?
2. Nakon koliko je minuta vožnje biciklist bio od Sutivana udaljen $5\mathrm{km}?$ A nakon koliko je bio udaljen $4\mathrm{km}?$
3. Koliko je bio udaljen od Sutivana između $10.$ i $20.$ minute vožnje?
4. Kada je od Sutivana bio udaljen za manje od $2.5\mathrm{km}?$
5. Kada je od Sutivana bio udaljen za više od $5\mathrm{km}?$
6. Koliko je Supetar udaljen od Sutivana?
7. Koliko je trajala vožnja od Supetra do Sutivana?
   

a. Na grafu treba očitati vrijednost​ $d\left(20\right).$ Čitamo $2.5\mathrm{km}.$ Nakon $20\min$ biciklist je od Sutivana bio udaljen $2.5\mathrm{km}.$

b. Traži se vrijednost​ $t$ za koju je $d\left(t\right)=5.$ S grafa čitamo dva rješenja: $10$ i $50.$ Biciklist je od Sutivana bio udaljen $5\mathrm{km}$ nakon $10$ minuta vožnje i ponovno nakon $50$ minuta.

Za $d\left(t\right)=4$ vrijednosti možemo očitati samo približno. Možemo reći da postoje dva rješenja; jedno je malo manje od $15,$ a drugo malo veće od $45.$

Primijenimo algebarsku metodu. Odredimo najprije pravilo pridruživanja. Prepoznajemo karakterističan oblik grafa pa zaključujemo da će se u pravilu pridruživanja pojaviti apsolutna vrijednost. Odredimo linearnu ovisnost $y=at+b$ jedne grane, na primjer, lijeve. Točka $\left(\mathrm{0,7.5}\right)$ pripada grafu pa je $b=7.5.$ Kad se argument $t$ poveća za $30,$ vrijednost se funkcije smanji za $7.5.$ Zaključujemo da je $a=-\frac{7.5}{30}=-0.25.$ Pravilo pridruživanja je $d\left(t\right)=\left|-0.25t+7.5\right|,$ domena je interval $\left[\mathrm{0,60}\right],$ a kodomena skup realnih brojeva. Riješimo jednadžbu:

$d\left(t\right)=4$

$\left|-0.25t+7.5\right|=4$

$-0.25t+7.5=4$ ili $-0.25t+7.5=-4$

c. S grafa čitamo interval ​ $\left[\mathrm{2.5,5}\right].$ Između $10.$ i $20.$ minute biciklist je od Sutivana bio udaljen između $2.5$ i $5\mathrm{km}.$

d. S grafa čitamo interval ​ $\left[\mathrm{20,40}\right].$ Biciklist je od Sutivana bio udaljen manje od $2.5\mathrm{km}$ od $20.$ do $40.$ minute. Provjerimo rješenje računski. Riješimo nejednadžbu:

$d\left(t\right)\le 2.5$

$\left|-0.25t+7.5\right|\le 2.5$

$-2.5\le -0.25t+7.5\le 2.5$

$-10\le -0.25t\le -5$

$40\ge t\ge 20.$

e. S grafa čitamo intervale $\left[\mathrm{0,10}\right]$ i $\left[\mathrm{50,60}\right].$ Biciklist je od Sutivana bio udaljen više od $5\mathrm{km}$ do $10$ minute i između $50.$ i $60.$ minute.

Grafičkom metodom možemo rješavati i neke složenije jednadžbe i nejednadžbe. Pogledajmo najprije kako uspoređujemo vrijednosti funkcija s pomoću njihovih grafova.

Primjer 6.

Riješimo grafičkom metodom jednadžbu​ $\left|3x-2\right|=-0.5x+5.$

Promotrimo funkcije s pravilima pridruživanja $f\left(x\right)=\left|3x-2\right|,g\left(x\right)=-0.5x+5.$ Upišite u aktivnost koeficijente $a=3,b=-2,c=-0.5,d=5.$ Mijenjajte položaj točke $x.$

Što mora vrijediti za $x$ koji je rješenje jednadžbe? Pronađite rješenja jednadžbe.

Zadatak 12.

Upišite u aktivnost iz prethodnog primjera koeficijente $a=1,b=-3,c=2,d=6.$ Nacrtani su grafovi funkcija s pravilima pridruživanja $f\left(x\right)=\left|x-3\right|,g\left(x\right)=2x+6$ . Pomičite točku $x,$ promatrajte vrijednosti funkcija pa riješite zadatke.

Uparite odgovarajuće iskaze.

$f\left(x\right)>g\left(x\right)$
$f\left(x\right)<g\left(x\right)$  ​	​
$f\left(x\right)=g\left(x\right)$	$x=-1$

null

null

Uparite povezane iskaze.

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$	sjecište grafovagraf funkcije f je ispod grafa funkcije ggraf funkcije f je iznad grafa funkcije g
$f\left(x\right)<g\left(x\right)$	sjecište grafovagraf funkcije f je ispod grafa funkcije ggraf funkcije f je iznad grafa funkcije g
$f\left(x\right)>g\left(x\right)$  ​	sjecište grafovagraf funkcije f je ispod grafa funkcije ggraf funkcije f je iznad grafa funkcije g

null

null

Zaključimo.

Apscisa sjecišta grafova funkcija $f$ i $g$ rješenje je jednadžbe ​ $f\left(x\right)=g\left(x\right).$

Ako je točka grafa funkcije $f$ iznad točke grafa funkcije $g$ s istom apscisom, onda je ta apscisa rješenje nejednadžbe $f\left(x\right)>g\left(x\right).$

Ako je točka grafa funkcije $f$ ispod točke grafa funkcije $g$ s istom apscisom, onda je ta apscisa rješenje nejednadžbe $f\left(x\right)<g\left(x\right).$

Zadatak 13.

Na slici su grafovi funkcija $f$ i $g.$ Označite točne odgovore.

Broj rješenja jednadžbe

Grafičkom metodom ne možemo uvijek precizno očitati rješenje pa ćemo u tim situacijama primjenjivati algebarsku metodu. Grafičkom ćemo se metodom koristiti ako možemo točno očitati, ako nas zanima samo približno rješenje ili kada je samo potrebno odrediti koliko ima rješenja. Rješenje dobiveno grafičkom metodom uvijek možemo provjeriti uvrštavanjem u jednadžbu ili nejednadžbu.

Zadatak 14.

Na slici je graf funkcije $f.$ Koliko rješenja ima jednadžba $f\left(x\right)=m$ ako je 

a. $m=3$

a. Pravac $y=3$ siječe graf funkcije u dvije točke. Jednadžba ​ $f\left(x\right)=3$ ima dva rješenja: $x_1,x_2.$

b. $m=-2$

b. Pravac $y=-2$ siječe graf funkcije u jednoj točki. Jednadžba ​ $f\left(x\right)=-2$ ima jedno rješenje $x_1.$

c. $m=-\mathrm{3?}$

c. Pravac $y=-3$ ne siječe graf funkcije. Jednadžba​ $f\left(x\right)=-3$ nema rješenja.

Malo rasprave

Kutak za znatiželjne

Odredite vrijednost parametra​ $a$ tako da jednadžba $\left|\left|\left|x+1\right|-5\right|-2\right|-1=a$ ima točno tri rješenja.

Zadatak riješite grafičkom metodom. Najprije treba u bilježnici nacrtati graf funkcije $f\left(x\right)=\left|\left|\left|x+1\right|-5\right|-2\right|-1.$

Graf koje funkcije ćete najprije nacrtati? Rekli smo da funkcija apsolutne vrijednosti zrcali dijelove grafa koji su ispod osi apscise. Kako možete opisati djelovanje operacije oduzimanja broja $5$ na graf funkcije?

Graf funkcije prikazan je na slici.

Jednadžba $\left|\left|\left|x+1\right|-5\right|-2\right|-1=a$ ima tri rješenja ako je $a=2.$

Zadatak 15.

Raspravljajte o broju rješenja jednadžbe ​ $\left|x\right|+\left|x+1\right|+\left|x+2\right|=5+a$ u ovisnosti o realnom parametru $a.$

Za​ $a<-3$ jednadžba nema rješenja.

Za​ $a=-3$ jednadžba ima jedno rješenje.

Za​ $a>-3$ jednadžba ima dva rješenja.