Matematika 7 - 10.4 Graf linearne funkcije

Na početku...

Od najranijih školskih dana prati nas pojam čitanje s razumijevanjem. Osim književnih tekstova, nastavnih sadržaja ili stripova, iznimno je važno s razumijevanjem čitati i grafove. Oni nam nude mnoštvo informacija pomoću kojih bolje razumijemo svoju svakidašnjicu.

Strip: djevojčica Iskra i profesor razgovaraju o važnosti pravilnog čitanja grafa.

O čemu je, zapravo, riječ u ovom grafičkom prikazu u novinama? Vrije li voda zaista na $373$ stupnja?

Ako grafički prikaz čitamo s razumijevanjem, vidjet ćemo da opisuje zavisnost dviju temperaturnih skala, Kelvinove i Celzijeve. Proučimo sljedeći primjer kako bismo doznali nešto više o odnosu ovih dviju temperaturnih skala.

Zanimljivost

Karikatura prikazuje Williama Thomsona poznatijeg pod imenom Lord Kelvin

Temperaturnu skalu, poznatu pod nazivom Kelvinova skala, još je 1848. godine predložio škotski fizičar sir William Thomson (1824.-1907.), poznatiji pod imenom lord Kelvin. Temperaturu od nula kelvina nazivamo još i apsolutna nula, a njezina vrijednost iznosi $- 273.15 ° C .$

O apsolutnoj nuli detaljnije ćete učiti u srednjoj školi u dijelu fizike koji nazivamo termodinamika.

Primjer 1.

Temperatura u kelvinima $(K)$ izračunava se približno tako da se temperaturi iskazanoj u $° C$ pribroji $273,$ tj. $T [K] = t [° C] + 273 .$

U skladu s dosadašnjim oznakama mogli bismo zapisati ovako: $f (x) = x + 273,$ pri čemu je $x$ temperatura iskazana u stupnjevima Celzijevim, a $f (x)$ odgovarajuća je temperatura iskazana u kelvinima.

U interakciji koja slijedi prikažimo grafički zadanu ovisnost.

Uputa: ako u tablicu upišete točno rješenje, pojavit će se točka koju je potrebno alatom Pomicanje postaviti na odgovarajući položaj u koordinatnom sustavu u ravnini.

Nacrtali smo pravac koji je određen jednadžbom $y = x + 273,$ a istodobno je taj pravac i grafički prikaz linearne funkcije $f (x) = x + 273$ u pravokutnom koordinatnom sustavu.

Graf linearne funkcije $f (x) = a x + b$ u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini pravac je s jednadžbom $y = a x + b,$ pri čemu je $a \neq 0 .$

Dakle, ako je u pravokutnom koordinatnom sustavu prikazan pravac koji nije usporedan ni s jednom koordinatnom osi, možemo biti sigurni da je to graf funkcije.

null

Čitanje grafa linearne funkcije

Zadatak 1.

Uvježbajmo čitati s razumijevanjem grafove linearnih funkcija.

Primjer 2.

Na slici je graf linearne funkcije zadan jednadžbom $y = x + 273,$ a prikazuje izračun temperature iskazane u kelvinima u ovisnosti o temperaturi iskazanoj u stupnjevima Celzijevim.

Poznato je da se šećer tali (mijenja agregacijsko stanje iz krutog u tekuće) na temperaturi od $433 K .$ Uz pomoć grafa očitajte približnu temperaturu iskazanu u $° C .$ Talište šećera iznosi približno $° C .$

Pomoć:

Prvo istaknemo na osi ordinata vrijednost zadanu u kelvinima te usporedno s osi apscisa idemo do pravca. Iz točke na pravcu spuštamo se po vertikali kako bismo očitali vrijednost na apscisi.

Postupak:

Talište šećera je na temperaturi od $160 ° C .$
Temperatura tališta voska iznosi $55 ° C .$ Očitajte s grafa koliko to iznosi u kelvinima.

$328 K$

$338 K$

$348 K$

Pomoć:

Proučite graf.

Postupak:

Približna temperatura iznosi $330 K .$
Kažemo li da se voda smrzava na $0 ° C,$ isto je kao da smo rekli da se to događa pri temperaturi od $K .$ Na temperaturi od $373 K$ voda pa sada možemo objasniti i uvodnu ilustraciju.

Postupak:

Vrelište je vode na temperaturi od $100 ° C .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Očitajte s grafa koju vrijednost zadana funkcija pridružuje argumentu te uparite odgovarajuće veličine.

$x = 4$	$x = - 4$
$y = 2$	$y = 1$
$x = 0$	$x = 2$
$y = \frac{1}{2}$	$y = 0$

Slika prikazuje graf funkcije na kojemu očitavamo koordinate točaka

Zadatak 3.

Nacrtajte graf linearne funkcije kojemu pripadaju točke $(1, - 3)$ i $(4, - 1),$ a zatim očitajte s grafa koju vrijednost ta funkcija pridružuje broju $7 .$

Crtati možete u bilježnicu ili se možete koristiti predloškom za crtanje pravaca. Ukoliko je potrebno, možete koristiti alat Pomicanje grafičkog prikaza.

Slika prikazuje rješenje zadatka, očitavanje vrijednosti funkcije.

Broju $7$ ova funkcija pridružuje broj $1,$ odnosno $f (7) = 1 .$

Zadatak 4.

Očitajte s grafa:

Za koji argument zadana linearna funkcija poprima vrijednost $6 ?$
Koju vrijednost linearna funkcija pridružuje broju $6 ?$

Slika prikazuje rješenje zadatka, očitavanje s grafa: apscisi 6 pridružena je ordinata 4

Ako je zadana vrijednost funkcije, a traži se argument, potrebno je na pravcu naći točku s ordinatom $6$ i očitati njezinu apscisu. Dakle, nepoznata je prva koordinata točke, odnosno apscisa točke kojoj je ordinata $6,$ tj. $(x, 6) .$ Traženi argument je broj $0 .$
Ako se traži vrijednost funkcije za zadani argument, onda je potrebno na $x$ -osi naći argument i po vertikali doći do pravca te očitati pripadajuću ordinatu točke na $y$ -osi. Tražena je vrijednost broj $4 .$

Zatvori

Pripadnost točke grafu linearne funkcije

U nekim je primjerima vrlo jednostavno odrediti pripada li zadana točka grafu linearne funkcije. Međutim, u nekim primjerima neće biti dovoljno samo proučiti graf i očitati koordinate točke. Važno je znati da točka pripada grafu funkcije ako njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu pripadnog pravca.

Primjer 3.

Procijenimo pripadaju li zadane točke nacrtanom pravcu. Prilikom procjene potrebno je razmisliti pripada li uopće zadana točka određenom kvadrantu.

Zadane točke odvucite na odgovarajuće polje.

(- 1, - 3)

(- 10, 9)

(- 2, 4)

(12, - 4)

(6, 0)

(10, - 2)

(2, 2)

(- 12, - 18)

(10, 16)

(0, 3)

(- 4, 6)

(1, 4)

točka ne pripada pravcu

točka pripada pravcu

ne možemo biti sigurni

Pomoć:

Za točke koje ne možete izravno očitati s grafa procijenite u kojem se kvadrantu nalaze. Ako pravac prolazi onim kvadrantom u kojemu se točka nalazi, ali nam nije vidljiva, tada ne možemo biti sigurni pripada li točka pravcu.

Primijetili smo da je za neke od točaka bilo teško utvrditi pripadaju li pravcu jer pripadaju kvadrantu u kojem se pravac nalazi, ali traženi dio pravca nije vidljiv. Da bismo ipak saznali pripada li točka pravcu, provjerit ćemo računski.

Prisjetimo se važne činjenice:

Točka $T (x, y)$ pripada pravcu $y = a x + b$ ako njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu toga pravca.

Primjer 4.

Provjerimo računski pripadaju li točke $(- 4, 6)$ i $(10, - 2)$ zadanom pravcu.

Želimo li računski provjeriti pripada li zadana točka pravcu, moramo znati jednadžbu pravca kako bismo koordinate točke uvrstili u jednadžbu jer znamo da točka pripada pravcu ako njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu pravca. Učinimo to.

$(- 4, 6) \to 6 = - 0.5 \cdot (- 4) + 3$

Izračunajmo sada desnu stranu jednakosti. Dobijemo li istinitu jednakost, tada točka pripada pravcu, a ako ne dobijemo istinitu jednakost, točka ne pripada pravcu.

$- 6 = - \frac{1}{2} \cdot (- 4) + 3$

$- 6 = 2 + 3$

$- 6 = 5$

Dobili smo neistinitu jednakost pa zaključujemo da koordinate zadane točke ne zadovoljavaju jednadžbu pravca, tj. točka ne pripada pravcu.

Isti postupak ponovimo za točku $(10, - 2) .$

$- 2 = - 0.5 \cdot 10 + 3$

$- 2 = - 2$

Dobili smo istinitu jednakost pa zaključujemo da koordinate zadovoljavaju jednadžbu pravca, tj. točka pripada pravcu.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Dva su pravca određena jednadžbama $y = - 2 x + 6$ i $y = \frac{3}{4} x - 5 .$ Koja od zadanih točaka pripada i jednom i drugom pravcu?

$A (2, 2)$

$B (4, - 2)$

$C (- 4, - 8)$

Pomoć:

Uvrstite koordinate svake točke u zadane jednadžbe pravca (kao u rješenju prethodnog primjera).
Točka koja je zajednička za oba pravca njihovo je .

Postupak:

Kako se naziva točka u kojoj se sijeku dva pravca?

Zadatak 6.

Odredite bez crtanja nepoznatu koordinatu točke $M (36, y)$ koja pripada pravcu $y = - \frac{1}{3} x + 4 .$

$y = - 8$

$y = 16$

$y = - 96$

Pomoć:

S obzirom na to da je poznata prva koordinata točke, uvrstite je umjesto $x$ pa izračunajte $y .$

Postupak:

$y = - \frac{1}{3} \cdot 36^{12} + 4 = - 8$
Pravac $y = 5 x - 12$ prolazi točkom $P (x, 0) .$ Odredite točku $P .$

$P (\frac{5}{12}, 0)$

$P (- \frac{12}{5}, 0)$

$P (\frac{12}{5}, 0)$

Pomoć:

Budući da je zadana ordinata točke, potrebno ju je uvrstiti u jednadžbu umjesto $y .$

Postupak:

$y = 5 x - 12$

Nakon uvrštavanja imamo: $0 = 5 x - 12$

Možda nam je jednostavnije zapisati jednadžbu kao da je čitamo zdesna i tada je riješiti.

$5 x - 12 = 0$

$5 x = 12$

$x = \frac{12}{5}$

Zatvori

Linearna funkcija zadana grafom

Linearnu funkciju, osim formulom i tablicom, možemo zadati i grafom.

Primjer 7.

Zadan je pravac u koordinatnom sustavu u ravnini.

Zapišimo jednadžbu zadanog pravca.

Zapišimo formulu linearne funkcije kojoj nacrtani graf pripada.

Da bismo mogli zapisati jednadžbu pravca ili formulu funkcije, potrebno je znati vrijednosti parametara $a$ i $b .$

Jedan od načina bio bi odabrati bilo koje dvije točke čije koordinate očitamo s grafa te ih uvrstimo u jednadžbu pravca $y = a x + b$ pa riješimo dobiveni sustav jednadžbi (kao što smo naučili ranije).

Najjednostavnije nam je iskoristiti znanje o sjecištima pravca s koordinatnim osima.

Sjecište s $x$ -osi: $(0, 1)$ $\to$ Očitavamo da je odsječak na $y$ -osi $b = 1 .$

Sjecište s $y$ -osi: $(2, 0)$ $\to$ $a \cdot 2 + 1 = 0,$

uvrstili smo $x = 2, y = 0, b = 1$

Rješenje jednadžbe glasi $a = - \frac{1}{2} .$

Jednadžba zadanoga pravca glasi $y = - \frac{1}{2} x + 1 .$
Linearna funkcija čiji je graf nacrtan je $f (x) = - \frac{1}{2} x + 1 .$

Zanimljivost

Talijanski autor Osvaldo Cavandoli zadužio je svijet animiranog filma serijom crtića La Linea (u prijevodu: linija, crta). Ako ste poklonici spomenutog medija, potražite La Lineu na mrežnim stranicama i pogledajte poneku epizodu. Upitajte starije ukućane jesu li u djetinjstvu ili mladosti gledali spomenuti crtić, a ako im naziv ništa ne govori, možda ih izraz "bajum, bajum" iz odjavne špice podsjeti na bijelog čovječuljka.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Slika prikazuje pravac u koordinatnom sustavu u ravnini (y=3x-4)

Zapišite u bilježnicu jednadžbu pravca sa slike.

Nepoznati su nam parametri (koeficijenti) linearne funkcije (ili jednadžbe pravca).

Odsječak na $y$ -osi: $b = - 4 .$

Sjecište s $x$ -osi ne možemo sa sigurnošću očitati pa biramo neku drugu točku, npr. $(1, - 1)$ ili $(2, 2) .$

Uvrstimo poznate vrijednosti pa riješimo jednadžbu.

$\begin{array}{l} (2, 2), b = - 4, \to a \cdot 2 - 4 = 2 \end{array}$

$2 a = 6 / : 3$

$a = 3$

Jednadžba zadanog pravca glasi $y = 3 x - 4 .$

Zadatak 13.

Zatvori

$y = - x - \frac{1}{4}$	$(0, 1)$
$y = 5 x + 1$	$(0, - \frac{1}{4})$
$y = - \frac{1}{4} x - 2$	$(0, - 2)$

$y = - 4 x + 8$	$\begin{array}{l} T (3, - 2), & a = 2 \end{array}$
$y = \frac{1}{3} x + 8$	$\begin{array}{l} B (3, 9), & A (0, 8) \end{array}$
$y = 2 x - 8$	$\begin{matrix} T (3, - 4), & b = 8 \end{matrix}$

10.4 Graf linearne funkcije

Na početku...

Zanimljivost

Čitanje grafa linearne funkcije