Matematika 7 - 5.2 Računanje vjerojatnosti slučajnog događaja

Matematički pokusi

Bacite novčić $20$ puta, koja je strana pala više puta?

Bacite novčić još $20$ puta, koja je strana sada pala više puta?

Nacrtajte tablicu i zapišite frekvenciju obaju elementarnih događaja.

Želimo saznati koja strana novčića češće pada, odnosno je li veća vjerojatnost da padne pismo ili glava.

Pokus treba ponavljati mnogo puta kako bismo saznali koji događaj ima veću vjerojatnost.

Bacanje pravog novčića i bilježenje u tablicu frekvencija može biti zamorno pa vam predlažemo interaktivnu simulaciju bacanja novčića. Simulacija odmah računa i relativne frekvencije u obliku postotka za svaki događaj. Relativna frekvencija je kvocijent obične frekvencije i ukupnog broja podataka. Zbroj relativnih frekvencija je $1 .$ Kliknite na gumb Bacite novčić više puta i provjerite na koji se način mijenja ishod pokusa. Klikom na Ponovno možete ponoviti pokus.

Koja strana novčića češće pada?

Zamijetimo da je, što više puta bacimo novčić, broj pojavljivanja pisma i glave podjednak. Relativne frekvencije za događaj P, „palo je pismo”, približno su $0.5$ ili $50 % .$ Relativna frekvencija je omjer broja pojavljivanja događaja P i ukupnog broja bacanja. Za veliki broj ponavljanja pokusa relativna frekvencija bit će približno jednaka vjerojatnosti željenog događaja.

Kažemo da su izgledi, odnosno vjerojatnost da padne pismo $50 % = 0.5 = \frac{1}{2} .$

Isto će biti i za događaj „pala je glava”, G.

Vjerojatnost za događaj G je $\frac{1}{2} = 50 % .$

Kada bacamo novčić imamo dva elementarna događaja, a vjerojatnost da se dogodi jedan od njih je $50 %$ ili $\frac{1}{2} .$

Ukupan broj elementarnih događaja kod bacanja novčića je $2$ – palo je pismo i pala je glava. Zanimala nas je vjerojatnost jednog od tih dvaju događaja, da je palo pismo. Od dvaju mogućih događaja samo jedan je povoljan, palo je pismo.

Vjerojatnost računamo kao omjer broja povoljnih elementarnih događaja i ukupnog broja elementarnih događaja u nekom matematičkom pokusu.

Primjer 1.

Uzmite jednu kockicu za igru Čovječe ne ljuti se, bacite ju na stol i pogledajte koji je broj na gornjoj strani. Razmislite kolika je vjerojatnost da to bude broj $6 ?$

Ovisi li to o tome jeste li srećković ili je vjerojatnost za taj sretni broj manja nego za neki drugi broj? Ili možda veća?

Što mislite, je li ista vjerojatnost da padne neki drugi broj, primjerice $4,$ ili je za četvorku malo veća? A za broj $1 ?$

Možete sami bacati kockicu mnogo puta i zapisati podatke u tablicu, ili pogledati interaktivnu simulaciju bacanja kockice. Pomicanjem klizača možete sami odabrati broj bacanja kockice i uočiti promjenu podataka i oblika dijagrama.

Što zamjećujete?

Što više bacamo kockicu, to više vidimo da se svi brojevi pojavljuju na gornjoj strani kockice približno jednaki broj puta.

Pri bacanju kockice imamo ukupno $6$ elementarnih događaja. Od tih šest događaja nas zanima događaj pao je broj $6 .$ Zanima nas vjerojatnost da se dogodi jedan od mogućih $6$ događaja. Vjerojatnost da padne broj $6$ je $1 : 6 = \frac{1}{6} = 0.17 = 17 % .$

Zamijetimo da je relativna frekvencija u tablici u simulaciji za broj $6$ približno $0.17,$ ali da je približno ista i za svaki drugi broj na kockici, odnosno za svaki drugi elementarni događaj bacanja kockice.

Za svaki broj na kockici jednaka je vjerojatnost da taj broj bude na gornjoj strani i ta vjerojatnost iznosi $\frac{1}{6} = 0.17 = 17 % .$

Znači, ako dobijete šesticu u prvom bacanju, imate sreće. Što se matematike tiče, svi brojevi imaju jednaku vjerojatnost da budu na gornjoj strani.

Vjerojatnost da će pasti bilo koji od šest brojeva na stranama kockice je $\frac{1}{6} = 0.17 = 17 % .$

Vjerojatnost nekog događaja računa se kao omjer broja povoljnih elementarnih događaja i ukupnog broja elementarnih događaja.

Katkad umjesto da rečenicu koja opisuje događaj pišemo u zagradi, možemo događaj opisati u zadatku i nazvati ga velikim tiskanim slovom.

Vjerojatnost nekog događaja $A$ označavamo s $p (A)$ i čitamo „vjerojatnost da se dogodi događaj $A” .$

Prisjetimo se da je vjerojatnost nekog događaja uvijek broj između $0$ i $1$ pa vjerojatnosti možemo pisati i u obliku postotka.

Zanimljivost

Slovo $p$ dolazi od engleske riječi probability što znači vjerojatnost.

Vjerojatnost događaja $A$ je omjer broja povoljnih događaja i ukupnog broja elementarnih događaja.

$p (A) = \frac{broj povoljnih elementarnih događaja}{ukupan broj elementarnih događaja}$

Izračun vjerojatnosti slučajnog događaja

Primjer 2.

U ladici su $4$ para čarapa: $1$ par bijelih, $1$ par crvenih, $1$ par plavih i $1$ par crnih čarapa.

Kolika je vjerojatnost da u mraku izvučemo iz ladice par crvenih čarapa?

Kolika je vjerojatnost da u mraku izvučemo iz ladice par plavih čarapa?

Kolika je vjerojatnost da u mraku izvučemo iz ladice par crnih čarapa?

Kolika je vjerojatnost da u mraku izvučemo iz ladice par bijelih čarapa?

Koliki je zbroj vjerojatnosti tih događaja?

U ladici su $4$ para čarapa, ukupno su $4$ elementarna događaja.

Izvlačimo par crvenih čarapa. U ladici je samo jedan crveni par, broj povoljnih događaja je $1 .$

$\begin{array}{l} p (par crvenih čarapa) = \frac{broj povoljnih elementarnih događaja}{ukupan broj elementarnih događaja} = \frac{1}{4} = 0.25 = 25 % \end{array}$

Vjerojatnost da izvučemo par crvenih čarapa iznosi $0.25 = 25 % .$
Izvlačimo par plavih čarapa. U ladici je samo jedan plavi par, broj povoljnih događaja je $1 .$

$\begin{array}{l} p (par plavih čarapa) = \frac{broj povoljnih elementarnih događaja}{ukupan broj elementarnih događaja} = \frac{1}{4} = 0.25 = 25 % \end{array}$

Vjerojatnost da izvučemo par plavih čarapa iznosi $0.25 = 25 % .$
Izvlačimo par crnih čarapa. U ladici je samo jedan crni par, broj povoljnih događaja je $1 .$

$\begin{array}{l} p (par crnih čarapa) = \frac{broj povoljnih elementarnih događaja}{ukupan broj elementarnih događaja} = \frac{1}{4} = 0.25 = 25 % \end{array}$

Vjerojatnost da izvučemo par crnih čarapa iznosi $0.25 = 25 % .$
Izvlačimo par bijelih čarapa. U ladici je samo jedan bijeli par, broj povoljnih događaja je $1 .$

$\begin{array}{l} p (par bijelih čarapa) = \frac{broj povoljnih elementarnih događaja}{ukupan broj elementarnih događaja} = \frac{1}{4} = 0.25 = 25 % \end{array}$

Vjerojatnost da izvučemo par bijelih čarapa iznosi $0.25 = 25 % .$
Zbroj vjerojatnosti je $0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 = 1$ ili $25 % + 25 % + 25 % + 25 % = 100 % .$

Događaj iz podzadatka a) možemo označiti velikim slovom $A .$

Događaj $A$ $=$ izvučen je par crvenih čarapa. Tada vjerojatnost događaja $A$ pišemo $p (A)$ i računamo na isti način kao u zadatku.

Tako smo mogli označiti sve događaje iz podzadataka.

Zbroj vjerojatnosti jednog pokusa svih mogućih elementarnih događaja je $1$ ili $100 % .$

Zadatak 1.

Slika prikazuje crveni ikosaedar s brojevima.

Bacamo igračku oblika ikosaedra, pravilnoga geometrijskog tijela koje je sastavljeno od $20$ jednakostraničnih trokuta na kojima pišu brojevi od $1$ do $20,$ kao na slici.

Kolika je vjerojatnost da je broj, koji se nalazi na trokutu u dodiru s podlogom kada se ikosaedar umiri, broj $7 ?$

Zanimljivost

Slika prikazuje Platonova tijela u vedrim bojama.

Platonova tijela ili pravilni poliedri geometrijska su tijela omeđena sukladnim pravilnim mnogokutima.

Pravilni mnogokut geometrijski je lik koji ima sve stranice jednakih duljina i sve kutove jednakih veličina. Platonovih tijela ima ukupno pet.

Tetraedar je omeđen s $4$ jednakostranična trokuta.

Kocka ili heksaedar omeđena je sa $6$ kvadrata.

Oktaedar je omeđen s $8$ jednakostraničnih trokuta.

Dodekaedar je omeđen s $12$ pravilnih peterokuta.

Ikosaedar je omeđen s $20$ jednakostraničnih trokuta.

Na trokutima su napisani brojevi od $1$ do $20,$ što znači da je ukupno $20$ elementarnih događaja.

Samo na jednom trokutu je broj $7,$ dakle, imamo jedan povoljni događaj.

Označimo s $A$ događaj da je ikosaedar pao tako da je na trokutu u dodiru s podlogom broj $7 .$

$p (A) =$ $\frac{broj povoljnih elementarnih događaja}{ukupan broj elementarnih događaja}$ $= \frac{1}{20} = 0.05 = 5 %$

Vjerojatnost da je ikosaedar pao tako da je na trokutu u dodiru s podlogom broj $7$ iznosi $0.05 = 5 % .$

Primjer 3.

U ladici je $8$ pari čarapa, od toga su $3$ jednaka ljubičasta para, a $5$ ih je jednakih svijetloplavih.

Što mislite, jesu li veći izgledi da bez gledanja izvučemo par svijetloplavih ili par ljubičastih čarapa?

Kolika je vjerojatnost da u mraku izvučemo jedan par svijetloplavih čarapa?

Kolika je vjerojatnost da bez gledanja izvučemo par ljubičastih čarapa?

Koliki je zbroj vjerojatnosti tih dvaju događaja?

Više je parova svijetloplavih čarapa pa su veći izgledi da izvučemo par svijetloplavih čarapa.
U ladici je $8$ pari čarapa pa je ukupno $8$ elementarnih događaja. U ladici je $5$ jednakih svijetloplavih parova čarapa. Postoji $5$ mogućnosti da izvučemo jedan svjetloplavi par. To je $5$ povoljnih događaja.

$p ($ par svijetloplavih čarapa $) =$ $\frac{broj povoljnih elementarnih događaja}{ukupan broj elementarnih događaja}$ $= \frac{5}{8} = 0.625 = 62.5 %$

Vjerojatnost izvlačenja para svijetloplavih čarapa iznosi $0.625$ ili $62.5 % .$
U ladici su $3$ jednaka ljubičasta para čarapa. To su $3$ povoljna događaja.

$p ($ par ljubičastih čarapa $) =$ $\frac{broj povoljnih elementarnih događaja}{ukupan broj elementarnih događaja}$ $= \frac{3}{8} = 0.375 = 37.5 %$

Vjerojatnost izvlačenja para ljubičastih čarapa iznosi $0.375$ ili $37.5 % .$
Zbroj vjerojatnosti je $0.625 + 0.375 = 1 .$ Zbroj vjerojatnosti u obliku postotka je $62.5 % + 37.5 % = 100 % .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

U posudi su $3$ bijele, $5$ crvenih i $6$ plavih pikula. Zvonimir iz posude vadi jednu pikulu bez gledanja.

Kolika je vjerojatnost da je izvukao plavu pikulu?
Kolika je vjerojatnost da je izvukao zelenu pikulu?

U posudi se nalazi $14$ kuglica pa je ukupno $14$ elementarnih događaja. Postoji $6$ mogućnosti da izvučemo jednu plavu kuglicu. To je $6$ povoljnih događaja.

$p ($ izvučena je plava kuglica $) =$ $\frac{broj povoljnih elementarnih događaja}{ukupan broj elementarnih događaja}$ $= \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \approx 43 %$

Vjerojatnost izvlačenja plave kuglice iznosi $43 % .$
U posudi nema zelene pikule, $p ($ izvučena je zelena pikula $) = 0 .$ To je nemogući događaj.

Zadatak 3.

U zdjeli je $5$ jabuka, $3$ kruške, $7$ šljiva, $3$ breskve i jedna banana. Jan nasumce uzima jedan komad voća iz zdjele, bez gledanja. Kolika je vjerojatnost da će uzeti jabuku?

Najprije procijenite vjerojatnost događaja, a zatim ga točno riješite i usporedite svoju procjenu s točnim rješenjem. Procjenu upišite na za to predviđeno mjesto i zaokružite na cijeli broj. Računalo će vam priznati dobru procjenu.

Vjerojatnost da je Jan uzeo jabuku približno je
Ponovno pročitajte zadatak.
$% .$

Pomoć:

$5$ od $19$ je približno četvrtina.

null
Događaj označimo s $A .$ Vjerojatnost da je Jan uzeo jabuku je $p (A) =$
Ponovno pročitajte zadatak.
$% .$

Pomoć:

Ukupni broj elementarnih događaja je $19,$ broj povoljnih događaja je $5 .$

null

Zadatak 4.

U vrećici bombona nalazi se $12$ crvenih, $14$ žutih, $7$ smeđih, $7$ plavih i $10$ zelenih bombona. Eva bez gledanja uzima jedan bombon. Kolika je vjerojatnost da će uzeti smeđi bombon?

Vjerojatnost da je Eva uzela smeđi bombon približno iznosi
Pažljivo pročitajte zadatak i unesite procjenjenu vrijednost.
$% .$

Pomoć:

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

null
Vjerojatnost da je Eva uzela smeđi bombon iznosi $p (A)$ =
Pažljivo pročitajte zadatak.
$% .$

Pomoć:

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

null

Zatvori

Primjer 4.

Na karticama su napisani redom brojevi od $5$ do $20 .$ Stipe izvlači jednu karticu i opet ju vraća natrag.

Kolika je vjerojatnost da je Stipe izvukao karticu s parnim brojem?

Kolika je vjerojatnost da je izvukao karticu na kojoj su brojevi jednaki broju $18$ ili veći od njega?

Kolika je vjerojatnost da je izvukao karticu na kojoj su višekratnici broja $7 ?$

Ukupan broj elementarnih događaja je $16$ jer su na karticama svi brojevi od broja $5$ do broja $20,$ uključujući i te brojeve.

Broj povoljnih događaja za događaj $A$ = izvučena je kartica s parnim brojem je $8$ jer je $8$ parnih brojeva na tim karticama.

$p (A) = \frac{8}{16} = 50 %$
Broj povoljnih događaja za događaj $B$ = izvučena je kartica s brojem većim ili jednakim broju $18$ je $3$ jer su to brojevi $18,$ $19$ i $20 .$

$p (B) = \frac{3}{16} = 18.75 %$
Broj povoljnih događaja za događaj $C$ = izvučena je kartica s višekratnikom broja $7$ je $2$ jer su to brojevi $7$ i $14 .$

$p (C) = \frac{2}{16} = 12.5 %$

Zadatak 5.

Učenici sedmog razreda na maturalnom su putovanju u Šibeniku. Odlučili su ići na izlet u Nacionalni park Krka. Budući da će taj izlet trajati cijeli dan, agencija im je osigurala pizze koje će pojesti na livadi ispred Skradinskog buka. Pizze su raznovrsne. Kako bi učenicima olakšali izbor, napravili su tablicu s nazivom, sastojcima i količinom pizza. Međutim, kuharica je zaboravila staviti naljepnice na pizze kako bi ih učenici razlikovali i pizze su se pomiješale. Učenici će saznati koja je koja pizza tek kada ju uzmu i izvade iz omota.

Naziv pizze	Sastojci	Komada
Margarita	rajčica, sir	$2$
Vesuvio	rajčica , sir, šunka	$5$
Miješana	rajčica, sir, šunka, gljive	$7$
Slavonska	rajčica, sir, šunka, kulen, vrhnje, ljuta paprika	$4$
Vegetarijanska	rajčica, sir, gljive, sezonsko povrće	$5$
Plodovi mora	rajčica, sir, plodovi mora	$2$

Marija želi rajčicu na pizzi. Kolika je vjerojatnost da će uzeti pizzu s rajčicom ako prva bira?
Ante bi želio pizzu s kukuruzom. Kolika je vjerojatnost da će uzeti pizzu na kojoj je kukuruz ako prvi bira?
Adrian želi pizzu s plodovima mora. Kolika je vjerojatnost da će ju dobiti ako prvi bira?
Iva ne voli gljive. Kolika je vjerojatnost da će dobiti gljive na pizzi ako prva bira?
Luka je rekao kako bi volio dobiti kulen ili sezonsko povrće na pizzi. Kolika je vjerojatnost da će uzeti pizzu na kojoj se nalazi ili kulen ili sezonsko povrće ako prvi bira?

Ukupan broj elementarnih događaja je $25$ jer je toliko i pizza.

Broj povoljnih događaja za događaj $A =$ odabrana je pizza s rajčicom je $25$ jer svih $25$ pizza sadržava rajčicu.

$p (A) = \frac{25}{25} = 100 %$
Broj povoljnih događaja za događaj $B =$ odabrana je pizza s kukuruzom je $0$ jer ni jedna pizza ne sadržava kukuruz.

$p (B) = \frac{0}{25} = 0 %$
Broj povoljnih događaja za događaj $C =$ odabrana je pizza s plodovima mora je $2$ jer $2$ pizze sadržavaju plodove mora.

$p (C) = \frac{2}{25} = 8 %$
Broj povoljnih događaja za događaj $D =$ odabrana je pizza s gljivama je $12$ jer $12$ pizza sadržava gljive ( $7$ Miješanih i $5$ Vegetarijanskih pizza).

$p (D) = \frac{12}{25} = 48 %$
Broj povoljnih događaja za događaj $E =$ odabrana je pizza s kulenom ili sezonskim povrćem je $9$ jer $4$ Slavonske pizze sadržavaju kulen i $5$ Vegetarijanskih pizza sadržava sezonsko povrće.

$p (E) = \frac{9}{25} = 36 %$

Kutak za znatiželjne

Zadatak 6.

Slika prikazuje špil igračih karata. Karte su poredane jedna do druge.

Lena ima špil od $52$ igraće karte. U snopu su $4$ niza (herc, tref, pik i karo) po $13$ karata: as, brojevi od $2$ do $10$ pa slike dečko, dama, kralj. Dva niza su crvene boje: herc i karo, a dva su crne boje: tref i pik. Proučite karte na slici pa uočite koliko ima crvenih karata, koliko ima kraljeva, a koliko karata na kojima je napisan neki broj.

Lena isprobava mađioničarske trikove pa izvlači jednu kartu i vraća ju natrag u snop.

...i na kraju

Vjerojatnost slučajnog događaja računamo kao omjer broja povoljnih događaja i ukupnog broja elementarnih događaja. Uvijek je to broj između $0$ i $1$ jer je omjer dijela prema cjelini pa vjerojatnost često izražavamo i u obliku postotka. Za kraj riješite još jedan zadatak za samovrednovanje i usporedite svoje rješenje s ponuđenim.

Zadatak 7.

Na slici su prikazane kartice sa slovima. Na karticama se nalaze slova K, A, L, K, U, L, A, T, O, R.

Dva prijatelja imaju deset karata sa slovima koja čine riječ KALKULATOR. Karte su poslagane u snop, a zatim se bez gledanja izvlači jedna karta i nakon toga vraća u snop.

Koliko ima elementarnih događaja?
Kolika je vjerojatnost da je izvučena karta s uskličnikom?
Kolika je vjerojatnost da je izvučena karta sa slovom?
Kolika je vjerojatnost da je izvučena karta sa slovom L?
Kolika je vjerojatnost da je izvučena karta sa samoglasnikom?

Rezultat u zadatcima a, b, c napiši u obliku prirodnog broja, a u d, e u obliku razlomka.

Elementarnih događaja je
Pogledajte uputu.
.

Pomoć:

Elementarnih je događaja onoliko koliko ima kartica sa slovima.

Postupak:

Kako je u riječi kalkulator $10$ slova, imamo $10$ elementarnih događaja.
Vjerojatnost da je izvučena karta s uskličnikom je
Pogledajte uputu.
.
Vjerojatnost da je izvučena karta sa slovom je
Pogledajte uputu.

.

Pomoć:

Kako je slovo na svim kartama, izvlačenje karte sa slovom je siguran događaj.
Vjerojatnost da je izvučena karta sa slovom L je
Rješenje zapišite u obliku decimalnog broja ili postotka ili pogledajte uputu.
.

Pomoć:

Slovo L nalazi se na dvjema kartama.

Postupak:

$\frac{2}{10}$
Vjerojatnost da je izvučena karta sa samoglasnikom je
Rješenje zapišite u obliku decimalnog broja ili postotka ili pogledajte uputu.
.

Pomoć:

Karata sa samoglasnikom ima četiri (A, U, A, O).

Postupak:

$\frac{4}{10}$

5.2 Računanje vjerojatnosti slučajnog događaja

Na početku...

Matematički pokusi

Zanimljivost

Izračun vjerojatnosti slučajnog događaja

Zadatak 1.

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 6.

...i na kraju

Zadatak 7.

5.3 Primjena vjerojatnosti slučajnog događaja