Baka vas je zamolila da joj pomognete podijeliti vrt na tri dijela jednakih površina. Vrt je u obliku pravokutnika dimenzija
Kako biste to najpreciznije učinili?
Trebalo bi dulju stranicu vrta podijeliti na tri dijela jednakih duljina i problem podjele je riješen. Ali, nemate čime to izmjeriti. Dosjetili ste se nacrtati umanjeni vrt na papiru u omjeru
Sada biste trebali podijeliti pravokutnik na tri sukladna dijela. Kako to učiniti?
Ponovimo
Povezani sadržaji
Ako s
i
označimo duljine stranica vrta, onda je
i
Označimo umanjene stranice s
i
Tada vrijedi
Iz te proporcije lako dobijemo umanjene stranice pravokutnika, ali kako stranicu podijeliti precizno na tri jednaka dijela (bez mjerenja)?
U ovoj jedinici naučit ćemo kako podijeliti dužinu na sukladne dijelove bez mjerenja njihove duljine.
Koliko su vam ispale duljine stranica malog pravokutnika?
Budući da članovi omjera moraju biti istih mjernih jedinica, pretvorimo sve u centimetre.
i
Zadatak se može riješiti i s pomoću trojnog pravila.
Postavimo zadatak:
Sada prateći strelice dobijemo istu proporciju kao i u prvom načinu rješavanja:
i
Dalje rješavamo isto.
Zadatak 1.
Ponovite pojmove koje ste naučili u 5. razredu o skupovima točaka u ravnini i odgovorite na pitanja.
Točka na dužini
koja je jednako udaljena od krajnjih točaka dužine naziva se
.
Pravac koji je okomit na tu dužinu i prolazi njezinim polovištem naziva se
.
null
null
Uvjeti koji moraju biti ispunjeni da bi neki pravac bio simetrala dužine:
1. pravac mora biti
na dužinu.
2.
prolaziti
dužine.
null
null
Ako duljinu dužine
označimo s
, za konstrukciju polovišta potrebno je uzeti u šestar duljine dužine
Zabodemo vrh šestara u
te zarežemo luk iznad i ispod dužine.
Kroz dobivene presjeke lukova povučemo
.
null
null
Koji su od pravaca na slici simetrale dužine
null
Pokušajte što točnije postaviti točku
koja raspolavlja dužinu
Pomoć:
Dovucite točku na odgovarajuće mjesto.
null
Dužina
podijeljena je na
Napišite broj jednakih dijelova dužine brojkom.
jednakih dijelova.
null
U zadnjem je zadatku dužina podijeljena na šest sukladnih dijelova. Kako to konstruirati šestarom i ravnalom bez mjerenja?
Podijelite dužinu duljine na dužine jednakih duljina.
To ćemo lako učiniti geometrijskom konstrukcijom simetrale dužine. Nacrtajte dužinu duljine u bilježnicu te konstruirajte simetralu dužine.
Uzmemo u šestar više od pola duljine dužine
Zabodemo vrh šestara u točku te nacrtamo dio kružnice.
Ponovimo za točku
Kroz točke gdje se sijeku lukovi kružnica nacrtamo pravac.
Možemo nacrtati samo dio pravca koji siječe dužinu i time smo dobili točku polovišta dužine
Konstrukciju možete pogledati u sljedećoj GeoGebrinoj interakciji.
Zadatak 3.
Istu dužinu
podijelite na četiri sukladna dijela.
Nakon što smo podijelili dužinu na dva sukladna dijela, ponovimo postupak za svaku dobivenu polovicu. Time smo dobili četiri sukladna dijela.
Uočimo da se dužina može dijeliti na
sukladnih dijelova.
Prisjetimo se Talesova poučka i proporcionalnosti dužina koje odsijecaju paralelni pravci na krakovima kuta. Pogledajmo ponovno interakciju u kojoj smo dužinu podijelili na više jednakih dijelova. Mijenjajte broj paralelnih pravaca te pomičući točku uočite mijenjaju li se duljine dužina na donjem kraku.
Zadatak 4.
U prethodnoj interakciji podijelite dužinu na pet jednakih dijelova. Pomičite točku
Promatrajte što se događa s dobivenim duljinama na dužini
a što se događa na drugom kraku kuta s duljinama dobivenih odsječaka. Odgovorite na pitanja.
Ako na neko pitanje ne znate odgovor, vratite se na interakciju te pozornije proučite promjene.
Nazovimo svaki od dobivenih dijelova na dužini osnovnim dužinama, a one dobivene na drugom kraku kuta pomoćnim dužinama.
Jesu li sve osnovne dužine na dužini
međusobno sukladne?
null
null
Jesu li sve pomoćne dužine na drugom kraku međusobno sukladne?
null
null
Pomicanjem točke
osnovne dužine duljinu.
Pomoćne dužine na drugom kraku
duljinu.
null
null
Vrijedi li za omjer dobivenih osnovnih i pomoćnih dužina Talesov poučak?
null
Dovucite omjere iz lijevog stupca na njihove jednakosti u desnom stupcu.
Pomoć:
Postupak:
Omjere duljina s pomoćnog polupravca spojite s omjerima duljina na dužini
a omjere duljina na dužini spojite s brojčanim omjerima.
Možemo zaključiti da nam podjela dužine na jednake dijelove ne ovisi o duljinama jednakih dužina na pomoćnom polupravcu. Budući da su zbog Talesova poučka te dužine proporcionalne (bitno je da ih dobijemo paralelnim pravcima), možemo konstrukciju početi djelišnim točkama na polupravcu proizvoljne duljine.
Dokažimo da su dobivene osnovne dužine na dužini doista sukladne. U sljedećoj interakciji pomičući točku pratite što se događa s vrijednostima istaknutih kutova i dužina. Provjerite s pomoću poučaka o sukladnosti trokuta jesu li istaknuti trokuti sukladni.
Zadatak 5.
Istaknuti su trokuti sukladni. Vidimo da se podudaraju u dvama kutovima i jednoj stranici koja se nalazi između tih dvaju kutova.
Iz kojeg poučka o sukladnosti to slijedi? Trokuti su sukladni ako su im sukladne:
null
null
Pokušajte sami utvrditi redoslijed crtanja elemenata pri dijeljenju dužine na jednake dijelove.
Pravac kroz zadnju točku na polupravcu i
Polupravac iz vrha
Točke na dužini
Paralele kroz ostale točke
Dužina
Točke na polupravcu
null
null
Podijelili smo dužinu na pet jednakih dijelova s pomoću digitalnih alata, a sada je vrijeme da u ruke uzmete bilježnicu, olovku i šestar te podijelite nacrtanu dužinu na pet jednakih dijelova. Ako u prethodnom zadatku niste uspjeli točno poredati korake konstrukcije, sada ćemo sve ponoviti.
Primjer 1.
Nacrtajmo dužinu
duljine
Podijelimo je na pet dužina jednakih duljina. Korake konstrukcije pogledajte u sljedećoj animaciji.
Naučili smo geometrijski konstruirati djelišnu točku zadane dužine u danom omjeru. Možemo li to napraviti s pomoću programa dinamične geometrije?
Poigrajte se sa sljedećom interakcijom te prethodne zadatke pokušajte riješiti podešavanjem omjera
mijenjajući na klizačima prvi
i drugi
član omjera. (Dobro će doći i za provjeru domaće zadaće.)
Kako iskoristiti Talesov poučak za konstrukciju geometrijskih likova
Praktična vježba
Pokušajte saviti komad žice ili užeta u krug, kvadrat i jednakostranični trokut.
Za krug spojimo dva kraja žice i oblikujemo ga rukom.
Ali kako saviti u kvadrat da budu sve strane jednake ili u jednakostranični trokut?
Za kvadrat žicu treba podijeliti na četiri jednaka dijela. Nacrtajmo u bilježnicu dužinu duljine naše žice (ako je prevelika, napravimo to u umanjenom omjeru kao što smo učinili u uvodu s bakinim vrtom). Dalje je jasno. S pomoću Talesova poučka podijelimo dužinu na četiri jednaka dijela.
Na koliko jednakih dijelova moramo podijeliti žicu da bismo ju savili u jednakostranični trokut?
Napišite odgovor brojkom.
dijela.
null
null
Kako nazivamo duljinu (zbroj) svih stranica trokuta ili četverokuta?
null
null
Kojem geometrijskom liku pripada formula za opseg?
null
null
Primjer 4.
Konstruirajmo jednakostranični trokut čiji opseg iznosi
Slijedite korake:
nacrtamo dužinu duljine
podijelimo je na tri sukladne dužine
uzmemo u šestar jednu od triju dobivenih dužina i konstruiramo trokut.
U sljedećem dinamičnom uratku sami pomičite korake te prateći upute riješite zadatak u bilježnicu.
Ovu vježbu možete upotrijebiti za konstrukciju proizvoljnoga jednakostraničnog trokuta zadanog opsega.
Da bismo savili žicu duljine metara u jednakostranični trokut, koliki dio žice ide na svaku stranicu? Konstruirajte trokut danog opsega u omjeru
Svaka je stranica dugačka
Zadatak 14.
Konstruirajte kvadrat opsega
Iz formule za opseg
vidimo da dužinu duljine
treba podijeliti na četiri sukladne dužine da bismo dobili stranicu kvadrata.
Zadatak 15.
Konstruirajte pravokutnik opsega kojemu se duljine stranica odnose kao
Iz formule za opseg pravokutnika imamo
i
Nacrtamo dužinu duljine
i podijelimo je u omjeru
Time smo dobili stranice pravokutnika s pomoću kojih konstruiramo traženi pravokutnik.
Konstruirajmo jednakokračni trokut kojemu su duljina osnovice i kraka u omjeru
Nacrtajmo dužinu. Podijelimo je na
jednakih dijelova. Podijelimo dužinu u zadanom omjeru. Time je dužina podijeljena na
dijela ‒ osnovicu i krak S pomoću tih dviju dužina konstruiramo jednakokračni trokut.
Zadatak 17.
Konstruirajte jednakokračni trokut kojemu je krak dvostruko veći od osnovice.
Jeste li baki podijelili vrt? Možda da to ipak ostavimo geometrima i sličnim stručnjacima, a mi pokušajmo
konstruirati umanjenu varijantu vrta sada kada znamo kako to učiniti.
Vrt nam je dugačak
Zbog omjera umanjen puta iznosi
Tu duljinu podijelite na tri jednaka dijela te nacrtajte vrt u obliku pravokutnika podijeljen ogradom na tri jednaka dijela. Znamo da je druga stranica pravokutnika
Dobili ste vrt sličanbakinu vrtu. Sličnost podrazumijeva da su likovi jednakog oblika, ali proporcionalnih veličina. Više o sličnosti geometrijskih likova učit ćete u sljedećim jedinicama.