Matematika 7 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Ako se zagledate u točku u središtu kružnica i udaljite glavu od monitora, kružnice će se početi okretati. Kad počnete približavati glavu, kružnice će se okretati u suprotnom smjeru. Pokušajte.

Na slici je optička iluzija,Ako se zagledate u točku u središtu kružnica i udaljite glavu od monitora, kružnice će se početi okretati. Kad počnete približavati glavu, kružnice će se okretati u suprotnom smjeru

Zanimljivost

Optičke iluzije bojom, kontrastima i uzorcima mogu stvoriti slike koje zbunjuju mozak, stvarajući prizor koji se ne podudara sa stvarnim prikazom. Naš mozak se pokušava prilagoditi i interpretirati prizor koji vidi čineći ga smislenim te se katkad prevari gledajući ono što se ne čini stvarnim.

Nekoliko optičkih iluzija možete vidjeti ovdje, a možete posjetiti i Muzej iluzija.

Riješite, provjerite i podijelite

Za uvježbavanje kružnice i kruga predlažemo nekoliko zadataka koje možete samostalno riješiti u bilježnicu ili u nekom interaktivnom elementu. Zadnjih nekoliko zadataka je za one koji žele znati više, ali svi ih možete pokušati riješiti. Nakon što riješite zadatke, usporedite svoje rješenje s rješenjima ostalih učenika. Podijelite svoje znanje s njima ili zamolite da vam pomognu ako vam je neki zadatak težak.

Zadatak 1.

Pažljivo pogledajte sliku i dopunite rečenice.
Skup svih točaka u ravnini koje su jednako udaljene od točke

S

Pažljivo pogledajte sliku i ponovite jedinicu Osnovno o kružnici i krugu.

null

Točka

S

na slici je

Pažljivo pogledajte sliku i ponovite jedinicu Osnovno o kružnici i krugu.

kružnice.

null

Dužina

\bar{S A}

Pažljivo pogledajte sliku i ponovite jedinicu Osnovno o kružnici i krugu.

kružnice.

null

Dužina

\bar{A B}

Pažljivo pogledajte sliku i ponovite jedinicu Osnovno o kružnici i krugu.

kružnice.

null

Dio kružnice između točaka

A

B

je kružni

Pažljivo pogledajte sliku i ponovite jedinicu Osnovno o kružnici i krugu.

null

Dio ravnine omeđen kružnicom je

Pažljivo pogledajte sliku i ponovite jedinicu Osnovno o kružnici i krugu.

null

Dio kruga omeđen polumjerima

\bar{S A}

je kružni

Pažljivo pogledajte sliku i ponovite jedinicu Osnovno o kružnici i krugu.

null

Dio kruga omeđen tetivom

\bar{A B}

i kružnim lukom

\overset{⌢}{A B}

je kružni

Pažljivo pogledajte sliku i ponovite jedinicu Osnovno o kružnici i krugu.

null

Projekt

Istražite gdje se u vašoj okolini pojavljuje krug, kružnica ili njihovi elementi. Nađite što više primjera i prikažite ih prezentacijom.

Zanimljivost

Olimpijske igre su sportsko natjecanje koje se održava svake četiri godine. Prve Igre nastale su u antičkoj Grčkoj, ali su se tijekom vremena prestale održavati. Ponovno su oživljene potkraj 19. stoljeća pod vodstvom francuskog baruna Pierrea de Coubertina.

Simbol Olimpijskih igara je pet povezanih krugova u plavoj, žutoj, crnoj, zelenoj i crvenoj boji. Coubertin je izabrao taj znak kao simbol pet naseljenih kontinenata svijeta (računajući Ameriku kao jedan kontinent). Isto tako, svaka država koja je sudjelovala na Olimpijskim igrama imala je barem jednu od boja simbola Olimpijskih igara. Kako je motiv pet krugova nastao nakon petih Olimpijskih igara, smatra se da krugovi predstavljaju pet uspješno održanih Igara. Uz to, krugovi prikazuju kontinuitet i cjelovitost te su izvrstan simbol Olimpijskih igara.

Više o Olimpijskim igrama možete pročitati ovdje.

Zadatak 2.

Konstruirajte znak Olimpijskih igara kao na slici. U kojem su međusobnom položaju crna i žuta kružnica, a u kojem žuta i crvena kružnica na slici?

Crna i žuta kružnica se sijeku u dvije točke, a žuta i crvena kružnica nemaju zajedničkih točaka.

Projekt

Organizirajte matematičke olimpijske igre u razredu. Podijelite se u skupine. Neka svaka skupina osmisli jednu disciplinu (aktivnost). Pripremite način bodovanja svih aktivnosti. Natječite se i proglasite pobjednika.

Zadatak 3.

Koliki je središnji kut nosača na panoramskom vrtuljku ilustriranom na slici, ako je obodni kut prikazan na slici veličine $12 ° ?$

Na slici je panoramski kotač Ferris Wheel u Londonu

Središnji kut nosača i dani obodni kut nad istim su kružnim lukom. Znamo i da je središnji kut dvostruko veći od obodnog kuta nad istim kružnim lukom. Prema tome, središnji kut je $24 ° .$

Projekt

Izradite maketu Ferrisova kotača Adria Eye, najvećeg panoramskog vrtuljka u Hrvatskoj, koji se nalazi u Biogradu na Moru, i osmislite nekoliko zadataka vezanih uz njegove mjere.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Konstruirajte kružnicu promjera $58 mm$ i na njoj označite tri točke $A,$ $B$ i $C .$ Točkama $A$ i $B$ povucite sekantu, a točkom $C$ tangentu na tu kružnicu.

Na slici su kružnica i njene tangenta i sekanta

Zadatak 5.

Konstruirajte pravokutni trokut $A B C$ s hipotenuzom $\bar{A B}$ duljine $5.9 cm$ i duljinom katete $a = 2.3 cm .$

Na slici je konstruiran pravokutnoi trokut s pomoću Talesovog poučka

Zadatak 6.

Popunite tablicu; $r$ je duljina polumjera kruga, $α$ veličina središnjeg kuta, $l$ duljina pripadnog kružnog luka, $p_{k i}$ površina pripadnog kružnog isječka, $o$ opseg kruga i $p$ površina kruga te $π \approx 3.14 .$

$r$	$α$	$l$	$p_{k i}$
$4 cm$	$48 °$
$2 cm$		$2.512 cm$
$3 m$			$\frac{3 π}{2} m^{2}$
	$45 °$	$3.925 dm$

$r$	$α$	$l$	$p_{k i}$	$o$	$p$
$4 cm$	$48 °$	$\frac{16 π}{15} \approx 3.35 cm$	$\frac{32 π}{15} \approx 6.70 {cm}^{2}$	$8 π \approx 25.12 cm$	$16 π \approx 50.24 {cm}^{2}$
$2 cm$	$72 °$	$2.512 cm$	$\frac{4 π}{5} \approx 2.512 {cm}^{2}$	$4 π \approx 12.56 cm$	$4 π \approx 12.56 {cm}^{2}$
$3 m$	$60 °$	$π \approx 3.14 m$	$\frac{3 π}{2} m^{2}$	$6 π \approx 18.84 m$	$9 π \approx 28.26 m^{2}$
$5 dm$	$45 °$	$3.925 dm$	$\frac{25 π}{8} \approx 9.81 {dm}^{2}$	$10 π \approx 31.4 dm$	$25 π \approx 78.5 {dm}^{2}$

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Na slici je privezište brodica oblika prstena

Duljina željezne cijevi potrebne za privezište brodica oblika prstena, kao na slici, promjera

45

Decimalni dio odvojite decimalnom točkom ili pogledajte uputu.

cm .

Pomoć:

$r = 45 : 2$

$o = 2 r π$

null

Zadatak 8.

Po površini kružnog toka gradsko komunalno poduzeće želi zasaditi ruže. Promjer kružnog toka je $6$ metara. Ruže sadimo tako da oko svake bude razmak polumjera približno $25 cm .$ Koliko sadnica ruža trebaju nabaviti za taj kružni tok?

576

sadnica

Pogledajte uputu.

342

sadnice

Pogledajte uputu.

200

sadnica

Pogledajte uputu.

144

sadnice

Pomoć:

Polumjer kružnog toka je $300 cm .$

Postupak:

Površinu kružnog toka podijelite s površinom razmaka oko svake sadnice.

$282 600 {cm}^{2} : 1962.5 {cm}^{2}$

Zadatak 9.

Vrtlar je odlučio napraviti jezerce u vrtu i u njega posaditi vodene ljiljane.

Jezerce je kružnog oblika promjera $2 m,$ pa je njegova površina približno

$31 400 {cm}^{2}$

$314 {cm}^{2}$
Pogledajte uputu.

$31.4 {dm}^{2}$
Pogledajte uputu.

$3140 {dm}^{2}$
Pogledajte uputu.

Pomoć:

$1 m^{2} = 10 000 {cm}^{2}$

$1 m^{2} = 100 {dm}^{2}$

null
List ljiljana je oblika kružnog isječka promjera oko $20 cm$ i središnjeg kuta oko $320 °,$ pa je njegova površina približno
Decimalni dio odvojite decimalnom točkom ili pogledajte uputu.
${cm}^{2}$ .

Pomoć:

$r = 20 : 2 = 10 cm$

null
Po površini u jezerce stane oko listova ljiljana.

Pomoć:

$31 400 : 279 \approx 113$

null
Najviše bi $75 %$ površine jezerca smjelo biti pokriveno, pa bi trebalo ukloniti oko listova.

Pomoć:

$75 %$ od $31 400 {cm}^{2} = 23 550 {cm}^{2}$

Postupak:

$23 550 : 279 \approx 84$

Broj listova koje treba ukloniti zaokružite na desetice.

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Zadatak 10.

Studentski centar sastoji se od $6$ odvojenih zgrada. Sve susjedne zgrade udaljene su $5 m .$ Uprava Studentskog centra odlučila je staviti internetski odašiljač na mjesto s kojega bi se odaslao jednak signal prema svim zgradama. Pomozite upravi u odluci na koje će mjesto staviti odašiljač, prikazujući zgrade i odašiljač točkama u omjeru $1 : 100 .$

Na slici je kružnica opisana pravilnom šesterokutu

Odašiljač treba staviti u središte kružnice opisane šesterokutu čiji vrhovi predstavljaju zgrade. Polumjer kružnice je $5 m .$

Projekt

Odaberite dvije susjedne zgrade ili kuće susjedne onoj u kojoj vi živite, ali tako da ne budu sve tri zgrade ili kuće u nizu. Odredite točku u koju biste stavili odašiljač da biste svi imali jednak internetski signal. Rješenja prikažite maketom ili plakatom.

Zadatak 11.

Arheolozi su pronašli krhotinu tanjura starog tisuću godina, koja izgleda kao na slici. Pomozite im i krhotinu dopunite da bi se vidjelo kako je taj tanjur izgledao kad je bio potpun.

Na slici je prikazano kako možemo rekonstruirati tanjur iz krhotine

Na slici je prikazano kako smo rekonstruirali tanjur iz krhotine

Primijetimo dva kružna luka na tanjuru. Izaberemo tri točke $A,$ $B,$ $C$ koje leže na jednom kružnom luku. Povežemo ih u trokut. Konstruiramo simetrale dviju stranica trokuta. U točki gdje se simetrale sijeku nalazi se središte kružnica kojima pripadaju kružni lukovi tanjura. Nadocrtamo kružnice i dobili smo obrube tanjura. Možete ga ispuniti i povijesnim uzorcima.

Projekt

Izradite od kartona krhotine povijesnih tanjura. Ispunite ih uzorcima. Razmijenite ih s ostalim učenicima te rekonstruirajte tanjure čije su vam konstrukcije dali. Najbolje radove nagradite i izložite.

Zadatak 12.

Opsezi dviju koncentričnih kružnica su $21.98 cm$ i $314 mm .$ Izračunajte površinu kružnog vijenca određenog tim kružnicama.

Rješenje pogledajte u videozapisu "Površina kružnog vijenca".

Zanimljivost

Zadaci s kružnicom i krugom često se pojavljuju na državnoj maturi pa predlažemo da pogledate i sljedeće zadatke:

Zadatak 13.

Popunite tablicu;

r

je duljina polumjera kruga,

α

veličina središnjeg kuta,

l

duljina pripadnog kružnog luka,

p_{k i}

površina pripadnog kružnog isječka,

o

opseg kruga i

p

površina kruga te

π \approx 3.14 .

r

α

l

p_{k i}

o

p

10 °

3.14 m^{2}

2.4 m

\frac{2 π}{3} m

90 °

2 π dm

180 °

81 π {cm}^{2}

$r$	$α$	$l$	$p_{k i}$	$o$	$p$
$6 m$	$10 °$	$\frac{π}{3} \approx 1.05 m$	$3.14 m^{2}$	$12 π \approx 37.68 m$	$36 π \approx 113.04 m^{2}$
$2.4 m$	$50 °$	$\frac{2 π}{3} m$	$\frac{4 π}{5} \approx 2.51 m^{2}$	$4.8 π \approx 15.07 m$	$5.76 π \approx 18.09 m^{2}$
$1 dm$	$90 °$	$\frac{π}{2} \approx 1.57 dm$	$\frac{π}{4} \approx 0.79 {dm}^{2}$	$2 π dm$	$π \approx 3.14 {dm}^{2}$
$9 cm$	$180 °$	$9 π \approx 28.26 cm$	$\frac{81 π}{2} \approx 127.17 {cm}^{2}$	$18 π \approx 56.52 cm$	$81 π {cm}^{2}$

Na početku...

Zanimljivost

Riješite, provjerite i podijelite

Zadatak 1.

Projekt

Zanimljivost

Zadatak 2.

Projekt

Zadatak 3.

Projekt

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 10.

Projekt

Zadatak 11.

Projekt

Zadatak 12.

Zanimljivost

...i na kraju

Zadatak 13.

Projekt