10.7 Grafičko rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Sustav ima jedinstveno rješenje

Primjer 1.

Zadan je sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

$x+y=7$

$x-y=3$

Svaku od jednadžbi promatrat ćemo kao jednadžbu pravca i te ćemo pravce nacrtati u koordinatnom sustavu u ravnini. Sjecište tih pravaca rješenje je zadanog sustava.

Da bismo ih nacrtali, svaku od jednadžbi trebamo prikazati u eksplicitnom obliku.

Prvu jednadžbu napisat ćemo u obliku $y=-x+7,$ a drugu u obliku $y=x-3.$

Kako bismo nacrtali te pravce u koordinatnoj ravnini, odredit ćemo po dvije njihove točke.

$x$	$y=-x+7$	$\left(x,y\right)$
$1$	$6$	$\left(1,6\right)$
$2$	$5$	$\left(2,5\right)$

$x$	$y=x-3$	$\left(x,y\right)$
$0$	$-3$	$\left(0,-3\right)$
$1$	$-2$	$\left(1,-2\right)$

Koordinate točke u kojoj se sijeku pravci zadovoljavaju obje jednadžbe. Naši pravci se sijeku u točki $S\left(5,2\right)$ i za nju kažemo da je grafičko rješenje zadanog sustava.

Grafičko rješavanje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice naziva se postupak pri kojem svaku linearnu jednadžbu promatramo kao jednadžbu pravca i u istom koordinatnom sustavu nacrtamo te pravce.  

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Grafički riješi sustav.

$x+y=-4$   ​

$x-y=-2$

Rješenje

Zapišimo svaku jednadžbu u eksplicitnom oblikui odredimo po dvije točke svakog pravca.

$x$	$y=-x-4$	$\left(x,y\right)$
$0$	$-4$	$\left(0,-4\right)$
$-1$	$-3$	$\left(-1,-3\right)$

$x$	$y=x+2$	$\left(x,y\right)$
$0$	$2$	$\left(0,2\right)$
$1$	$3$	$\left(1,3\right)$

Nacrtajmo pravce u koordinatnoj ravnini. Rješenje sustava njihovo je sjecište.

Uređeni par $\left(-3,-1\right)$ rješenje je sustava.

---

Zadatak 2.

Grafički riješi sustav.

$3x-y=5$ 

$5x+y=3$ 

Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Rješenje

---

Zadatak 3.

Rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama je  pravaca određenih tog sustava.

 

 

Zatvori

Sustav nema rješenje

Primjer 2.

Grafički riješimo sustav.

$-x+y=3$ 

$3x-3y=6$ 

Zapišimo svaku jednadžbu u eksplicitnom obliku i odredimo po dvije točke svakog pravca.

$x$	$y=x+3$	$\left(x,y\right)$
$1$	$4$	$\left(1,4\right)$
$2$	$5$	$\left(2,5\right)$

$x$	$y=x+2$	$\left(x,y\right)$
$-1$	$1$	$\left(-1,1\right)$
$1$	$3$	$\left(1,3\right)$

Nacrtajmo pravce u koordinatnoj ravnini.

Rješenje sustava sjecište je tih pravaca. Budući da su ova dva pravca usporedna i da nemaju zajedničkih točaka, vidimo da ovaj sustav nema rješenja.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Grafički riješite sustav.

$3x-y=5$ 

$-6x+2y=14$ 

Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri. 

Rješenje

Grafičko rješenje sustava dva su usporedna pravca, tj. sustav nema rješenja.

---

Zadatak 5.

Ako dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice određuju dva usporedna pravca, onda taj sustav nema rješenje. 

Da

Ne

Pomoć:

Dva usporedna pravca nemaju zajedničkih točaka.

null

Zatvori

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja

Primjer 3.

Grafički riješimo sustav.

$2x+y=4$

$6x+3y-12=0$ 

Zapišemo li svaku jednadžbu u eksplicitnom obliku, vidjet ćemo da obje jednadžbe određuju isti pravac $y=-2x+4.$

$x$	$y=-2x+4$	$\left(x,y\right)$
$0$	$4$	$\left(0,4\right)$
$1$	$2$	$\left(1,2\right)$

Koordinate svih točaka tog pravca zadovoljavaju obje jednadžbe sustava pa su one rješenje zadanog sustava i sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

Zadatak 6.

Grafički riješite sustav.

$3x+y-8=0$ 

$6x+2y-16=0$ 

Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Zapišemo li svaku jednadžbu u eksplicitnom obliku, vidjet ćemo da obje jednadžbe određuju pravac  $y=-3x+8.$

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

Ponovimo!

Grafičko rješenje sustava

$\begin{array}{l}2x-y=-3\\ -x+y=6\end{array}$

glasi:

 dva pravca koja se sijeku

 dva usporedna pravca

 jedan pravac.

null

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Grafičko rješenje sustava

$\begin{array}{l}3x+y=7\\ 3x+y+1=0\end{array}$

glasi:

dva pravca koja se sijeku 

dva usporedna pravca.

 

Postupak:

 ​

Zadatak 8.

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: 

$3x-y=8$  $5x+y=16$	ima beskonačno mnogo rješenjanema rješenjaima jedno rješenje
$2x+3y=6$  $2x+3y=-6$	ima beskonačno mnogo rješenjanema rješenjaima jedno rješenje
$4x+2y=10$  $6x+3y=18$  ​	ima beskonačno mnogo rješenjanema rješenjaima jedno rješenje

Pomoć:

 Grafički riješite sustave.

null

Zadatak 9.

1. Za grafičko rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice odaberite njegove jednadžbe.
   

   

   $\begin{array}{l}3x-y=3\\ 6x+3y=21\end{array}$

   $\begin{array}{l}5x-y=3\\ -10x+2y=-6\end{array}$

   $\begin{array}{l}3x+2y=14\\ 9x+6y=12\end{array}$

   

   null

   null

2. 
   

   

   
   

   $\begin{array}{l}3x-y=3\\ 6x+3y=21\end{array}$

   $\begin{array}{l}5x-y=3\\ -10x+2y=-6\end{array}$

   $\begin{array}{l}3x+2y=14\\ 9x+6y=12\end{array}$

   

   null

   null

3. 
   

   

   
   

   $\begin{array}{l}3x-y=3\\ 6x+3y=21\end{array}$

   $\begin{array}{l}5x-y=3\\ -10x+2y=-6\end{array}$

   $\begin{array}{l}3x+2y=14\\ 9x+6y=12\end{array}$

   

   null

   null

Zatvori