Matematika 7 - 6.1 Proporcionalne dužine

Ponovimo

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Dopunite riječi koje pripadaju definiciji.

Odnos između dviju veličina $a : b$ nazivamo , pri čemu je $a$ omjera, a $b$ omjera.

null

null
Jednakost dvaju omjera $a : b = c : d$ nazivamo
proporcija
ili
razmjer
.
Članovi $a i d$ su članovi proporcije ili razmjera.
Članovi $b i c$ su članovi proporcije ili razmjera.

null

null
U kojem su odnosu mjere, odnosno veličine koje se jednako puta povećaju ili smanje?

Jednakom.

Sličnom.

Proporcionalnom.

Obrnuto proporcionalnom.

null

null
Vrijednost omjera dviju proporcionalnih veličina je stalna i naziva se
koeficijent
proporcionalnosti.

null

null

Pogledajmo sada što su Tamara i Bojan dobili mjerenjem i računom.

Zadatak 2.

Pogledajte još jedanput animaciju iz uvoda, zapišite rezultate mjerenja i odgovorite na pitanja.

Usporedili smo visine iz 5. i 7. razreda. Utvrdili smo da je i kod Tamare i kod Bojana nova visina $1.09$ puta veća od visine iz 5. razreda.

Dovucite dobivene rezultate na točne pojmove.

$163 : 149 = 165 : 152$	vrijednost (količnik) omjera
$1.09$	omjer
$163 : 149$	razmjer

null

Zadatak 3.

Tamara i Bojan su vrijednost omjera zaokružili na dvije decimale. Izračunajte vrijednosti njihovih omjera na tri decimale.

Tamara: $\frac{163}{149} = 1.094$

Bojan: $\frac{165}{152} = 1.086$

Vidimo da se tu već razlikuje vrijednost dvaju omjera.

Najprije se činilo da Bojan ima pravo, ali preciznijim računom vidjeli smo da je ipak Tamara malo više narasla i približila se Bojanovoj visini.

Uočite razliku između onoga kada se traži koliko puta su narasli (što smo upravo dobili) i pitanja za koliko su narasli. Vidjeli smo da je Tamara viša za $14 cm,$ a Bojan za $13 cm .$

Zatvori

Povezani sadržaji

Koliko je posto narasla Tamara, a koliko Bojan u odnosu prema 5. razredu? Zaokružite na jednu decimalu.

Tamara je narasla $9.4 %,$ a Bojan $8.6 %$ u odnosu prema visini iz 5. razreda.

Proporcionalne dužine

Vratimo se na animaciju s početka priče i pogledajmo kako smo visinu učenika prikazali s pomoću dužina. Usporedili smo njihove duljine i izračunali njihov kvocijent (vrijednost omjera). Napravimo isto s dužinama u sljedećem primjeru.

Primjer 1.

Promotrimo dužine sa slike. Odredimo omjere dužina $\bar{A B}$ i $\bar{C D}$ te omjere dužina $\bar{E F}$ i $\bar{G H} .$ Usporedimo dobivene koeficijente proporcionalnosti.

Postupak pogledajte u rješenjima.

Omjer dužina iskazujemo omjerom njihovih duljina izraženih istom mjernom jedinicom.

Ako vrijedi proporcija $\bar{A B} : \bar{C D} = \bar{E F} : \bar{G H}$ za dužine $\bar{A B}, \bar{C D}, \bar{E F} i \bar{G H},$ kažemo da su te dužine proporcionalne.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Koliki je omjer dužina $\bar{A B} : \bar{C D} i \bar{C D} : \bar{A B}$ ako je $|A B| = 25 mm i |C D| = 5 mm ?$

$\bar{A B} : \bar{C D} = 25 : 5 = 5 : 1,$ $\bar{C D} : \bar{A B} = 5 : 25 = 1 : 5$

Zadatak 5.

Izračunajte duljinu dužine $\bar{E F}$ ako je dužina $\bar{G H}$ duga $12 cm,$ a njihov je omjer jednak $|E F| : |G H| = 2 : 3 .$

Prvi način

$|E F| : |G H| = 2 : 3 \Rightarrow \underset{vanjski članovi}{\underset{⏟}{|E F| : \underset{unutarnji}{\underset{⏟}{12 = 2}} : 3}} \Rightarrow 3 \cdot |E F| = 12 \cdot 2 \Rightarrow$

$|E F| = \frac{12^{4} \cdot 2}{3^{1}} = 8 cm$
Drugi način

Zadatak se može riješiti i s pomoću trojnog pravila.

Veličine su proporcionalne pa vrijedi: $\begin{array}{l} |E F| \\ 12 \end{array} ↓ \begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array} ↓ \Rightarrow |E F| : 12 = 2 : 3 .$

Dalje je isto kao u prvom slučaju.

Zatvori

Talesov poučak

Zanimljivost

Na slici je starogrčki matematičar Tales iz Mileta

Jedna od anegdota o Talesu Miletskom naziva se Pad u bunar.

Jedne se noći Tales toliko zadubio u zvijezde da nije vidio kuda hoda te je pao u bunar. Na poziv upomoć neka duhovita starica mu se narugala: „E, Talese, ti nisi kadar vidjeti što ti je pod nogama, a htio bi spoznati što je na nebu.”

Više o Talesu Miletskom (640. – 546. g. pr. Krista) pročitajte na Wikipediji.

Primjer 2.

Nacrtajmo kut s vrhom $V .$ Krakove kuta $a i b$ presijecimo parom usporednih pravaca $p i q$ kao na slici.

Koje sve dužine uočavate?

$\bar{V A}, \bar{V B}, \bar{V A'}, \bar{V B'}, \bar{A A'}, \bar{B B'}, \bar{A B}, \bar{A' B'}$

Primjer 3.

Izmjerimo pa izračunajmo i usporedimo vrijedosti sljedećih omjera:

$|V A| : |V A'|,$ $|V B| : |V B'|,$ $|A B| : |A' B'|,$ $|V A| : |A A'|,$ $|V B| : |B B'| .$

Napravite u bilježnicu tablicu s duljinama stranica i pripadajućim omjerima (kao na slici).

Interakcija u nastavku omogućava vam pomicanje točaka $V,$ $A,$ $B$ i $A' .$ Promatrajte što se događa s omjerima. Jesu li neki omjeri jednaki?

Napišite pripadajuće proporcije koje ste uočili da vrijede.

$|V A| : |V A'| = |V B| : |V B'| = |A B| : |A' B'|$

$|V A| : |A A'| = |V B| : |B B'|$

Talesov poučak o proporcionalnim dužinama.

Usporedni pravci $p i q$ na krakovima kuta $∠ a V b$ odsijecaju proporcionalne dužine.

Zanimljivost

Na slici je nacrtano kako je Tales izmjerio piramidu

Proporcionalnost dužina određena presjekom paralelnih pravaca bila je poznata još babilonskim matematičarima, iako se to otkriće pripisuje Talesu Miletskom (640. – 546. g. pr. Krista) po kome je poučak dobio naziv.

Tales je izmjerio visinu piramide s pomoću sjene. Čekao je da duljina njegove sjene bude jednaka njegovoj visini. U tom trenutku izmjerio je duljinu sjene piramide i zaključio koliko je visoka.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

S pomoću zadanih dužina na slici provjerite vrijede li jednakosti:

$|V A| : |V A'| = |V B| : |V B'| = |A B| : |A' B'|$

$|V A| : |A A'| = |V B| : |B B'| .$

Ispišite u bilježnicu duljine svih potrebnih dužina te izjednačite proporcionalne dužine.

Na slici je određivanje proporcionalnih dužina pomoću Talesovog poučka.

$|V A| : |V A'| = |V B| : |V B'| = |A B| : |A' B'| = 3 : 4$

$|V A| : |A A'| = |V B| : |B B'| = 3 : 1$

Zadatak 7.

S obzirom na oznake sa slike, odgovorite na pitanja.

Na slici je uočavanje proporcija koristeći Talesov poučak

U kakvom su položaju pravci $a$ i $b$ ?

Paralelni su.

Okomiti su.

Sijeku se.

Ništa od navedenoga.

null

Dovucite omjere na njihove jednakosti.

$\|O M\| : \|M P\|$	$\|M N\| : \|P Q\|$
$\|O N\| : \|O Q\|$	$\|O N\| : \|O Q\|$
$\|O M\| : \|O P\|$	$\|O N\| : \|N Q\|$

null

Koja je dužina sukladna dužini $\bar{O M} ?$

$\bar{O P}$

$\bar{O N}$

$\bar{P Q}$

Nijedna.

null

null
Proporcionalnost dužina koje odsijecaju paralelni pravci na krakovima kuta naziva se poučak.

null

Zatvori

Računanje nepoznate duljine

Zadatak 8.

Duljine dužina označavamo malim slovima. Neka je:

$|V A| = a, |V B| = b, |A A'| = c, |B B'| = d, |A B| = m i |A' B'| = n .$

Ispišite u bilježnicu sve proporcije koje vrijede za proporcionalne dužine (Talesov poučak) s pomoću novih oznaka (kao na slici).

Slika kuta presječenog paralelnim pravcima s oznakama duljina dužina

Prva proporcija: $a : (a + c) = b : (b + d) = m : n$

Druga proporcija: $a : c = b : d$

Primjer 4.

Odredimo nepoznatu veličinu $x$ sa slike.

Koristit ćemo se proporcijama koje smo ispisali u prethodnom zadatku te pravilima računanja proporcija ili razmjera.

Ovdje ćemo primijeniti prvu proporciju. Imamo $6 + 4 = 10$ pa vrijedi $4 : 10 = 3 : x .$

Nakon množenja vanjskih i unutarnjih članova, na lijevu stranu stavimo umnožak s nepoznanicom.

$4 x = 30 / : 4 \Rightarrow x = \frac{30^{15}}{4^{2}} = \frac{15}{2} = 7.5$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Odredite $x$ sa slike.

Slika za 1. zadatak određivanja nepoznate veličine x pomoću Talesovog poučka

$10 : 6 = 9 : x \Rightarrow x = \frac{27}{5} = 5.4$

Zadatak 10.

S pomoću proporcije $a : (a + c) = m : n$ odredite nepoznanicu $x$ sa slike.

Slika za 2. zadatak određivanja nepoznate veličine x pomoću Talesovog poučka

$9 : (9 + x) = 6 : 11 \Rightarrow 6 (9 + x) = 9 \cdot 11 \Rightarrow 9 + x = \frac{99}{6} \Rightarrow x = \frac{15}{2}$

Zadatak 11.

Dvanaest metara od stabla postavljena je rampa duljine $4 m$ i visine $1 m .$

Slika za 3. zadatak određivanja nepoznate veličine x pomoću Talesovog poučka

Odgovorite na pitanja.

Koliko je visoko stablo?
Koliko je puta stablo više od visine rampe?
Kolika je udaljenost od rampe do stabla?
Ako ste na vrhu rampe, koliko ste udaljeni od vrha stabla u odnosu prema duljini kosine rampe?

Pomoć:

$12$ je trostruko od $4,$ pa je visina stabla trostruko od $1 .$

$8$ je dvostruko od $4,$ pa je udaljenost od vrha rampe do vrha stabla dvostruko veća od duljine kosine rampe.

Postupak:

$4 : 12 = 1 : 3$

$4 : 8 =$ duljina kosine rampe $:$ udaljenost od vrha rampe do vrha stabla

Zatvori

Uvježbajmo

Zadatak 12.

Koristeći se Talesovim poučkom riješite zadatke.

Za zadani omjer $3 : 2 = 5 : x$ rasporedite elemente na pravo mjesto na slici.

$2$

$3$

$5$

null

null
Odredite nepoznanicu $x .$

$x = 4$

$x = \frac{10}{2}$

$x = \frac{10}{3}$

$x = \frac{15}{3}$

null

null
Izračunajte duljinu dužine $\bar{M N}$ ako vrijedi proporcija $4 : |M N| = 2 : 5 .$ Sve duljine izražene su u centimetrima.
$|M N| =$
$2 \cdot |M N| = 4 \cdot 5$
$cm .$

null

null
Za dani razmjer iz prethodnog primjera dovucite točke na pravo mjesto na slici ako je $|M Q| = 2 cm i |M P| = 4 cm .$

$P$

$N$

$Q$

$R$

null

null

Kutak za znatiželjne

Primjer 5.

Odredite nepoznate elemente sa slike.

Slika za dodatni zadatak određivanja nepoznate veličine a i b pomoću Talesovog poučka

$(2 + a) : 2 = 3 : 1.5$

$a = 2, b = \frac{5}{2} = 2.5$

Zadatak 13.

Odredite nepoznate elemente sa slike.

Slika za dodatni zadatak određivanja nepoznate veličine x i y pomoću Talesovog poučka

$x : (x + 0.5) = 3 : 5$

$x = \frac{3}{4}, y = \frac{9}{4}$

Primjer 6.

Odredite nepoznate elemente sa slike.

Izračunajmo nepoznate duljine dužina koje na krakovima kuta odsijecaju tri usporedna pravca.

Odsječke na krakovima usporedimo u parovima, ovisno što nam je zadano.

$\frac{x}{2} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{4}{3}$

$y : 1 = 3 : 2 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$

Zadatak možemo riješiti zapisom s pomoću razmjera, ali ga možemo riješiti i tako da omjer stavimo u razlomak.

Pazite: Krak s kojeg duljinu prvu stavljate u omjer mora u proporciji uvijek biti prvi. Obično na prvo mjesto stavljate nepoznanicu radi lakšeg računanja.

Zadatak 14.

Izračunajte nepoznate veličine sa slike.

Krakovi kuta presječeni s tri paralelna pravca: traže se tri nepoznate duljine dužina.

$x : 7 = 4.5 : 10.5 \Rightarrow x = 3$

Iskorstite dobiveni $x :$ $y : 2.5 = 4.5 : 3 \Rightarrow y = \frac{11.25}{3} = 3.75$

$(x + 2.5) : (x + 2.5 + 4.5) = 5.5 : z \Rightarrow 5.5 : 10 = 5.5 : z \Rightarrow z = 10$

$\|O M\| : \|M P\|$	$\|M N\| : \|P Q\|$
$\|O N\| : \|O Q\|$	$\|O N\| : \|O Q\|$
$\|O M\| : \|O P\|$	$\|O N\| : \|N Q\|$

6.1 Proporcionalne dužine

Na početku...

Ponovimo

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Povezani sadržaji

Proporcionalne dužine

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Talesov poučak

Zanimljivost

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Računanje nepoznate duljine

Zadatak 8.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Uvježbajmo

Zadatak 12.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 13.

Zadatak 14.

...i na kraju

6.2 Dijeljenje dužine u zadanom omjeru