9.3 Metoda suprotnih koeficijenata

Uvrstimo vrijednosti nepoznanice $x$ i $y$ u prvu jednadžbu.

$\begin{array}{l}3·1+2·\left(-1\right)=1\\ 3-2=1\\ 1=1\end{array}$

Zatim iste te vrijednosti uvrstimo u drugu jednadžbu.

$\begin{array}{l}-3·1-5·\left(-1\right)=2\\ -3+5=2\\ 2=2\end{array}$

Uređeni par je rješenje sustava.

Uočimo suprotne koeficijente uz nepoznanicu $y$ i zbrojimo jednadžbe.

$\left.\begin{array}{l}5x+\cancel{4y}=5\\ \underset{\_}{10x-\cancel{4y}=-2}\end{array}\right\}+$
$15x=3/:15$
$x=\frac{1}{5}$

Uvrstimo dobivenu vrijednost nepoznanice $x$ u bilo koju jednadžbu.

$5·\frac{1}{5}+4y=5$
$1+4y=5$
$4y=4/:4$
$y=1$

Rješenje sustava je uređeni par $\left(\frac{1}{5},1\right).$

Uvrstite vrijednosti nepoznanica $x$ i $y$ u prvu jednadžbu.

$\begin{array}{l}10·1-6·1=4\\ 10-6=4\\ 4=4\end{array}$

Zatim ih uvrstite u drugu jednadžbu.

$\begin{array}{l}-2·1+6·1=4\\ -2+6=4\\ 4=4\end{array}$ 

Uređeni par $\left(1,1\right)$ je rješenje sustava.

Uvrstimo vrijednosti $x$ i $y$ iz uređenog para u prvu jednadžbu.

$\begin{array}{l}5·1-3·1=2\\ 5-3=2\\ 2=2\end{array}$
Zatim u drugu jednadžbu.

$\begin{array}{l}-2·1+6·1=4\\ -2+6=4\\ 4=4\end{array}$

Uređeni par $\left(1,1\right)$ je rješenje zadanog sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

Uočimo da je koeficijent $2$ uz nepoznanicu $x$ u drugoj jednadžbi djelitelj koeficijenta $4$ uz nepoznanicu $x$ u prvoj jednadžbi. Pomnožimo drugu jednadžbu s $\left(-2\right)$ da bismo dobili suprotne koeficijente uz nepoznanicu $x.$

$4x-2y=14$

$\underset{\_}{2x+3y=3 /·\left(-2\right)}$ 

Dobili smo ekvivalentan sustav koji ćemo riješiti metodom suprotnih koeficijenata.

$\left.\begin{array}{l}\cancel{4x}-2y=14\\ \underset{\_}{-\cancel{4x}-6y=-6}\end{array}\right\}+$

$-8y=8 /:\left(-8\right)$ 

$y=-1$

Uvrstimo vrijednost nepoznanice $y$ u bilo koju jednadžbu, primjerice drugu.

$2x+3·\left(-1\right)=3$
$2x-3=3$
$2x=6 /:2$
$x=3$
Rješenje sustava je uređeni par $\left(3,-1\right).$

$\begin{array}{l}-9·2-12·\left(-2\right)=6\\ -18+24=6\\ 6=6\end{array}$

$\begin{array}{l}10·2+12·\left(-2\right)=-4\\ 20-24=-4\\ -4=-4\end{array}$

Uređeni par $\left(2,-2\right)$ je rješenje sustava.

$\begin{array}{l}3·2+4·\left(-2\right)=-2\\ 6-8=-2\begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\\ -2=-2\end{array}$

$\begin{array}{l}5·2+6·\left(-2\right)=-2\\ 10-12=-2\\ -2=-2\end{array}$

Uređeni par $\left(2,-2\right)$ je rješenje i ovog sustava.

Nemamo suprotne koeficijente uz istu nepoznanicu, niti je neki koeficijent djelitelj drugog, pa moramo množiti obje jednadžbe.

Odabrat ćemo koeficijente uz nepoznanicu $x.$ Ako želite, odaberite koeficijente uz nepoznanicu $y,$ pa na kraju usporedite rješenja.

Najmanji zajednički višekratnik brojeva $8$ i $10$ je $40,$ i brojevi su istog predznaka, pa ćemo prvu jednadžbu pomnožiti s $-5,$ a drugu s $4.$ Ako želite, možete prvu jednadžbu pomnožiti s $5,$ a drugu s $-4$ pa na kraju usporedite rješenja.
Možete jednadžbe pomnožiti i primjerice prvu s $10,$ a drugu s $-8$ pa na kraju usporedite rješenja.

Ako budete dobro radili, u svim slučajevima rješenja će biti jednaka.

$\begin{array}{l}8x-3y=11/·\left(-5\right)\\ \underset{\_}{10x+7y=3/·4}\end{array}$

$\left.\begin{array}{l}-\cancel{40x}+15y=-55\\ \underset{\_}{\cancel{40x}+28y=12}\end{array}\right\}+$

$43y=-43$
$y=-1$
$8x-3·\left(-1\right)=11$
$8x+3=11$
$8x=8/:8$
$x=1$

Rješenje sustava je uređeni par $\left(1,-1\right).$