x
Učitavanje

7.4 Pravilni mnogokuti

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Koje sve vrste mnogokuta vidiš na slici? 

Na slici je prikazan dvanesterokut koji je satavljen od jednog šesterokuta kojemu su sve stranice jednake duljine, šest kvadrata i šest jednakostraničnih trokuta

Trokut, četverokut, šesterokut, dvanaesterokut...


Ponovimo.

Zadatak 1.

Spoji odgovarajuće parove.

Mnogokut koji ima tri vrha.
Trokut
Mnogokut koji ima dvanaest stranica.
Dvanaesterokut
Mnogokut koji ima šest unutarnjih kutova.
 Šesterokut
Kvadrat
Četverokut 

Pomoć:

Mnogokut koji ima n stranica ima i n vrhova i n kutova. Takav mnogokut naziva se

n - t e r o k u t  

Postupak:


n mnogokut
3 trokut
4 četverokut (kvadrat)
6 šesterokut
12 dvanaesterokut

Zanimljivost

Na egipatskim i babilonskim spomenicima nalaze se pravilni četverokuti, šesterokuti i osmerokuti u obliku crteža ili kao ukrasi uklesani u kamenu ili napravljeni od kamena.

Pravilni mnogokuti su mnogokuti koji imaju sve stranice jednake duljine i sve kutove jednake veličine.

Zadatak 2.

Svaki unutarnji kut jednakostraničnog trokuta ima ​ 60 .

Pomoć:

Zbroj kutova u trokutu je ​ 180 .

Postupak:

180 ° : 3 = 60 °

Zadatak 3.

Pravilni četverokut naziva se:

null
null

Do sada ste naučili da je zbroj veličina svih unutarnjih kutova ​ ( n - 2 ) · 180 .

U pravilnom mnogokutu svi su unutarnji kutovi međusobno jednaki, zato svaki unutarnji kut iznosi

α n = ( n - 2 ) · 180 n

Primjer 1.

Koliko stupnjeva ima unutarnji kut pravilnog deveterokuta?

α n = ( n - 2 ) · 180 n  

n   =   9  

α 9 = ( 9 - 2 ) · 180 9 = 7 · 180 9 = 140  

Zadatak 4.

Koji pravilni mnogokut ima unutarnji kut veličine ​ 156 ?

a n = 156   

n = ?

( n - 2 ) · 180 n = 156 / · n  

180 n - 360 = 156 n  

180 n - 156 n = 360   

24 n = 360 / : 24  

n = 15

Pravilni petnaesterokut ima veličinu unutarnjeg kuta 156 .


Zadatak 5.

Na slici je prikazan pravilni osmerokut
Kolika je veličina svih unutarnjih kutova pravilnog mnogokuta sa slike?

Pomoć:

Na slici je nacrtan pravilni osmerokut. 

Postupak:

α 8 = 8 - 2 · 180 8 = 135   ​

Svakom pravilnom mnogokutu možemo izračunati i veličinu vanjskog kuta. Od prije znamo da je zbroj veličina vanjskih kutova mnogokuta ​ 360 ° . Kako su svi oni međusobno jednaki u pravilnom n - t e r o k u t u ,   veličina vanjskog kuta iznosi  α n ' = 360 ° n .

Zadatak 6.

Za zadani pravilni mnogokut odredite veličinu njegova vanjskog kuta.

Na slici je pravilni šesterokut
 
Na slici je nacrtan pravilni osmerokut
Na slici je nacrtan pravilni peterokut

Pomoć:

Na slici su nacrtani pravilni mnogokuti. Izračunaj vanjske kutove prema formuli α ' = 360 n .

Postupak:

α 5 ' = 360 5 = 72

α 6 ' = 360 6 = 60

α 8 ' = 360 8 = 45

Primjer 2.

Na slici je nacrtan pravilni dvanaeserokut i jedan njegov unutarnji i vanjski kut.

Izračunajmo veličinu vanjskog i unutarnjeg kuta pravilnog dvanaesterokuta.

Veličine kutova možemo izračunati tako da najprije odredimo veličinu vanjskog kuta:

α 12 ' = 360 12 = 30

s obzirom da su vanjski i unutarnji kut sukuti, onda je

α 12 = 180 ° - 30 ° = 150 ° .

Zadatak 7.

Izračunajte veličine unutarnjeg i vanjskog kuta pravilnog dvadeseterokuta.

n = 20  

α 20 ' = 360 20 = 18  

α 20 = 180 - 18 = 162  


Ponovimo!

Primjer 3.

Jednakostraničnom trokutu konstruirajmo opisanu i upisanu kružnicu.

Na slici je prikazan jednakostranični trokut, njegove simetrale stranica i opisanu kružnicu.
  1. Konstruirajmo u bilježnici jednakostranični trokut Δ A B C .
  2. Konstruirajmo simetrale stranica tog trokuta.
  3. Sjecište tih simetrala označimo sa S .
  4. Sjecište simetrala stranica je središte trokutu opisane kružnice.
  5. Konstruirajmo trokutu opisanu kružnicu sa središtem u točki  S i polumjerom   r = A S .
  6. Konstruirajmo trokutu upisanu kružnicu sa središtem u točki S   i polumjerom ρ = S P , gdje je P polovište jedne stranice tog trokuta.


Na slici se nalazi peterokut i kružnica koja prolazi svim vrhovima peterokuta.

Opisana kružnica mnogokutu je kružnica koja prolazi kroz sve vrhove mnogokuta.

Primjer 4.

Na slici je nacrtan kvadrat.

Zadanom kvadratu opišimo kružnicu. Kvadrat nacrtajte u bilježnicu.

Na slici je nacrtan kvadrat i kružnica koja prolazi kroz sve njegove vrhove
  1. Nacrtaj dijagonale kvadrata.
  2. Dijagonale kvadrata međusobno su jednake duljine i sijeku se u točki (označi je sa S ) koja je njihovo polovište.
  3. Točka S je središte kvadratu opisane kružnice.
  4. Konstruiraj kružnicu sa središtem u točki S koja prolazi vrhovima kvadrata.


Na slici je nacrtan peterokut i kružnica koja dodiruje sve njegove stranice

Upisana kružnica mnogokutu je kružnica koja dodiruje sve stranice mnogokuta.

Primjer 5.

na slici je nacrtan kvadrat

Zadanom kvadratu upišimo kružnicu. Nacrtajte kvadrat u bilježnicu.

Na slici je nacrtan kvarat, simetrale njegovih stranica i kružnica koja dodiruje sve njegove stranice
  1. Konstruirajmo simetrale stranica kvadrata.
  2. Simetrale kvadrata sijeku se u točki (označi je sa S ) koja je središte kvadratu upisane kružnice.
  3. Konstruiraj kružnicu sa središtem u točki S koja sadrži polovišta stranica kvadrata.

Na slici je nacrtan pravilni šesterokut i njemu opisana i upisana kružnica.

Svakom se pravilnom mnogokutu može opisati i upisati kružnica. Središta tih kružnica se poklapaju i nalaze se u sjecištu simetrala unutarnjih kutova tog mnogokuta.

Karakteristični trokut

Na slici su pravilni peterokut i deveterokut i njihovi karakteristični trokuti.

Spojimo li središte opisane (upisane) kružnice pravilnog mnogokuta s dva susjedna vrha, dobit ćemo jednakokračni trokut čiji su krakovi polumjer opisane kružnice, a osnovica stranica tog mnogokuta. Taj trokut zovemo karakteristični trokut.

Na slici je prikazan karakteristični trokut pravilnog mnogokuta

Kut karakterističnog trokuta čiji je vrh u središtu opisane kružnice kut pravilnog n -terokuta naziva se središnji kut i njegova veličine iznosi  β n = 360 n .

Kut pravilnog n -terokuta

α n = 180 - β ili

α n = ( n - 2 ) 180 n

Kut uz osnovicu karakterističnog trokuta jest γ n = α n 2

Primjer 6.

Izračunajmo veličine kutova karakterističnog trokuta pravilnog osmerokuta.

n = 8

β 8 = 360 8 = 45

α 8 = 180 - 45 = 135

γ 8 = 135 2 = 67.5 = 67 30 '

Zadatak 8.

Izračunajte veličine kutova karakterističnog trokuta pravilnog n -terokuta kojem možemo povući 17 dijagonala iz svakog vrha. 

Kako iz svakog vrha mnogokuta možemo povući n - 3 dijagonale, tada je:

n - 3 = 17  

n = 17 + 3  

n = 20  

β 20 = 360 20 = 18 ,  ​ α 20 = 180 - 18 = 162 , γ 20 = 162 2 = 81 .


...i na kraju

Pravilne mnogokute s 3 , 4 , 6 i 8 stranica poznavali su stari Babilonci i Egipćani, a i mi se  danas njima koristimo u svakodnevnom životu.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1
Na slici je nacrtan peterokut kojemu su sve stranice jednake duljine i svi  unutarnji kutovi jednake veličine.

Na slici je nacrtan pravilni mnogokut?

null
2

 Veličina središnjeg kuta pravilnog deseterokuta iznosi:

Pomoć:

n = 10    

β n = 360 n  

Postupak:

β 10 = 360 10 = 36   ​

3

 Spoji odgovarajuće parove.

α ' n = 360 n  
γ n = α n 2  
n - 2 · 180
α n = ( n - 2 ) · 180 n   ​

Pomoć:

 Ponovite formule za određivanje veličina kutova pravilnog mnogokuta.

ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

7.5 Crtanje i konstrukcija pravilnih mnogokuta