Mnogokut koji ima stranica ima i vrhova i kutova. Takav mnogokut naziva se
Postupak:
mnogokut
trokut
četverokut (kvadrat)
šesterokut
dvanaesterokut
Zanimljivost
Na egipatskim i babilonskim spomenicima nalaze se pravilni četverokuti, šesterokuti i osmerokuti u obliku crteža ili kao ukrasi uklesani u kamenu ili napravljeni od kamena.
Pravilni mnogokutisu mnogokuti koji imaju sve stranice jednake duljine i sve kutove jednake veličine.
Svakom pravilnom mnogokutu možemo izračunati i veličinu vanjskog kuta. Od prije znamo da je zbroj veličina vanjskih kutova mnogokuta
Kako su svi oni međusobno jednaki u pravilnom veličina vanjskog kuta iznosi
Zadatak 6.
Za zadani pravilni mnogokut odredite veličinu njegova vanjskog kuta.
Pomoć:
Na slici su nacrtani pravilni mnogokuti. Izračunaj vanjske kutove prema formuli
Postupak:
Primjer 2.
Izračunajmo veličinu vanjskog i unutarnjeg kuta pravilnog dvanaesterokuta.
Veličine kutova možemo izračunati tako da najprije odredimo veličinu vanjskog kuta:
s obzirom da su vanjski i unutarnji kut sukuti, onda je
Zadatak 7.
Izračunajte veličine unutarnjeg i vanjskog kuta pravilnog dvadeseterokuta.
Ponovimo!
Primjer 3.
Jednakostraničnom trokutu konstruirajmo opisanu i upisanu kružnicu.
Konstruirajmo u bilježnici jednakostranični trokut
Konstruirajmo simetrale stranica tog trokuta.
Sjecište tih simetrala označimo sa
Sjecište simetrala stranica je središte trokutu opisane kružnice.
Konstruirajmo trokutu opisanu kružnicu sa središtem u točki
i polumjerom
Konstruirajmo trokutu upisanu kružnicu sa središtem u točki
i polumjerom
gdje je
polovište jedne stranice tog trokuta.
Zadanom kvadratu opišimo kružnicu. Kvadrat nacrtajte u bilježnicu.
Nacrtaj dijagonale kvadrata.
Dijagonale kvadrata međusobno su jednake duljine i sijeku se u točki (označi je sa
) koja je njihovo polovište.
Točka
je središte kvadratu opisane kružnice.
Konstruiraj kružnicu sa središtem u točki
koja prolazi vrhovima kvadrata.
Upisana kružnica mnogokutu je kružnicakoja dodiruje sve stranice mnogokuta.
Primjer 5.
Zadanom kvadratu upišimo kružnicu. Nacrtajte kvadrat u bilježnicu.
Konstruirajmo simetrale stranica kvadrata.
Simetrale kvadrata sijeku se u točki (označi je sa
) koja je središte kvadratu upisane kružnice.
Konstruiraj kružnicu sa središtem u točki
koja sadrži polovišta stranica kvadrata.
Svakom se pravilnom mnogokutu može opisati i upisati kružnica. Središta tih kružnica se poklapaju i nalaze se u sjecištu simetrala unutarnjih kutova tog mnogokuta.
Karakteristični trokut
Spojimo li središte opisane (upisane) kružnice pravilnog mnogokuta s dva susjedna vrha, dobit ćemo jednakokračni trokut čiji su krakovi polumjer opisane kružnice, a osnovica stranica tog mnogokuta. Taj trokut zovemokarakteristični trokut.
Kut karakterističnog trokuta čiji je vrh u središtu opisane kružnice kut pravilnog
-terokuta naziva se središnji kut i njegova veličine iznosi
.
Kut pravilnog
-terokuta
ili
Kut uz osnovicu karakterističnog trokuta jest
Primjer 6.
Izračunajmo veličine kutova karakterističnog trokuta pravilnog osmerokuta.
Zadatak 8.
Izračunajte veličine kutova karakterističnog trokuta pravilnog -terokuta kojem možemo povući dijagonala iz svakog vrha.
Kako iz svakog vrha mnogokuta možemo povući
dijagonale, tada je:
...i na kraju
Pravilne mnogokute s i stranica poznavali su stari Babilonci i Egipćani, a i mi se danas njima koristimo u svakodnevnom životu.
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE
1
Na slici je nacrtan pravilni mnogokut?
Bravo!
Na slici je nacrtan peterokut kojemu su svi kutovi iste veličine i sve stranice jednake duljine.