Matematika 7 - 1.4 Pravokutni koordinatni sustav s racionalnim koordinatama

Očitavanje koordinata točaka

Primjer 1.

Pogledajmo sliku i očitajmo koordinate točaka smještenih u pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini.

Uočimo na slici da su koordinate točaka smještene između cijelih brojeva. Možemo zaključiti da su koordinate točaka racionalni brojevi. Koordinate točaka na slici su redom

$A (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}),$ $B (1 \frac{5}{6}, - \frac{2}{3}),$ $C (- \frac{1}{2}, 2 \frac{1}{6}),$ $D (- 1 \frac{1}{3}, 0) .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Pokušajte sada sami očitati koordinate točaka na slici. Ako ispravno upišete koordinate, zasvijetlit će ukras na boru. Pripazite! Koordinatna mreža podijeljena je na četvrtine, tako da su neke koordinate decimalni brojevi s dvije decimale.

Zadatak 2.

Očitajte koordinate točaka sa slike. Ako vam zatreba pomoć, kliknite na rješenje.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu

Koordinate točaka su: $A (- 2 \frac{1}{2}, 1 \frac{3}{4}),$ $B (0, 3 \frac{3}{8}),$ $C (3 \frac{1}{4}, 3 \frac{3}{8}),$ $D (1, 0) .$

Zadatak 3.

Očitajte koordinate točaka sa slike.

Točke u pravokutnim koordinatnom sustavu

Upišite koordinate točaka.

A

(

Pažljvo pogledajte sliku.

)

B

(

Pažljvo pogledajte sliku.

)

C

(

Pažljvo pogledajte sliku.

)

D

(

Pažljvo pogledajte sliku.

)

Pomoć:

Koordinate točaka koje nisu cjelobrojne upišite u obliku decimalnog broja na predviđena mjesta.

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Očitajte koordinate točaka sa slike.

Dovucite koordinate točaka na ispravna mjesta.
$A$ (

)

B

(

)

C

(

)

D

(

)

- 3 \frac{2}{5}

- 2 \frac{1}{2}

3 \frac{4}{5}

2 \frac{2}{3}

- \frac{7}{5}

0

\frac{21}{5}

\frac{5}{6}

Pomoć:

Pažljvo pogledajte sliku.

Zadatak 5.

Brodu Marica koji se nalazi na mjestu s koordinatama $A (\begin{array}{l} - 2.9, 1.4 \end{array})$ pokvario se motor pa je poslao poziv upomoć. U njegovoj su blizini četiri broda: Slavica na koordinatama $B_{1} (\begin{array}{l} 4.2, 3.4 \end{array})$ $,$ Katica $B_{2} (\begin{array}{l} 7.4, - 1 \end{array})$ $,$ Milica $B_{3} (\begin{array}{l} 1.2, 0 \end{array})$ i Vikica $B_{4} (\begin{array}{l} - 8.1, 3 \end{array})$ $.$ Najbliži od njih krenuo je pomoći brodu Marica. Koji je to brod?

Upotrijebite interaktivni predložak kako biste smjestili brodove na pravo mjesto i lakše riješili zadatak.

Upomoć je krenuo brod Milica $B_{3} (\begin{array}{l} 1.2, 0 \end{array}) .$

Zadatak 6.

Graf koji pokazuje ovisnost duljine prijeđenog puta o vremenu

U koordinatnom sustavu prikazan je put koji Josip prolazi hodajući. Sa slike očitajte koliki će put prijeći Josip za četiri sata.

Josip će za četiri sata prijeći

Procijenite i zaokružite na cijeli broj .

kilometara.

Pomoć:

Brojčano rješenje upišite na predviđeno mjesto.

null

Zatvori

Ucrtavanje točaka

Primjer 2.

Ucrtajmo točke $A (2 \frac{1}{4}, 1 \frac{3}{4})$ $,$ $B (- 2, 1 \frac{1}{2})$ $,$ $C (\frac{11}{4}, - \frac{1}{2}),$ $D (0, - \frac{5}{4})$ u pravokutni koordinatni sustav u ravnini i napišimo kojem kvadrantu ili kojoj koordinatnoj osi pripadaju.

Kada su koordinate točaka racionalni brojevi u razlomačkom obliku, za duljinu jedinične dužine pogodno je odabrati zajednički višekratnik svih nazivnika (ne nužno najmanji) ili razlomački oblik pretvoriti u decimalni, a za duljinu jedinične dužine izabrati $1 cm .$ Pritom trebamo dobro pogledati sve koordinate i procijeniti koliko će mjesta trebati za njihovo ucrtavanje.

Točka $A$ pripada I. kvadrantu, točka $B$ pripada II. kvadrantu, točka $C$ pripada IV. kvadrantu i točka $D$ pripada osi $y .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Točke $A (- 1 \frac{1}{6}, \frac{1}{2}),$ $B (\frac{1}{6}, \frac{1}{3}),$ $C (0, - \frac{2}{3}),$ $D (- 1, - \frac{5}{6})$ ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Točke s racionalnim koordinatama u pravokutnom koordinatnom sustavu

Zadatak 8.

Ucrtajte točke $A (1, - \frac{3}{4}),$ $B (- 1 \frac{1}{2}, 0),$ $C (\frac{1}{4}, \frac{5}{4}),$ $D (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Točke sa racionalnim koordinatama u pravokutnom koordinatnom sustavu

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Točke $A (- \frac{7}{3}, 3 \frac{2}{5})$ $,$ $B (\frac{17}{6}, 0)$ $,$ $C (- \frac{2}{3}, - 2.4)$ i $D (0, \frac{1}{2})$ što točnije ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav.

Zadatak 10.

Točke $A (4, - \frac{5}{3})$ $,$ $B (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2}),$ $C (\frac{7}{2}, \frac{11}{3})$ i $D (- \frac{3}{4}, 4 \frac{1}{2})$ što točnije ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav.

Zadatak 11.

Kvadrat $A B C D$ zadan je koordinatama triju svojih vrhova: $A (- 2 \frac{3}{4}, - 2 \frac{1}{4}),$ $B (3 \frac{1}{2}, - 2 \frac{1}{4}),$ $C (3 \frac{1}{2}, 4) .$ Procijenite koordinate četvrtog vrha, $D,$ zadanog kvadrata i ucrtajte taj kvadrat u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Točke kao vrhovi kvadrata u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini

Četvrti je vrh kvadrata $D (- 2 \frac{3}{4}, 4) .$

Zatvori

Primjene koordinatnog sustava

Povezani sadržaji

Već smo vidjeli neke primjene koordinatnog sustava u ravnini u fizici. Osim u fizici, koordinatni sustav koristi se i u geografiji za geografske koordinate te za grafičko prikazivanje različitih statističkih podataka i veza među njima.

Zanimljivost

GPS (Global Positioning System) je mreža satelita koji kontinuirano šalju kodirane informacije s pomoću kojih možemo precizno odrediti nečiji položaj na Zemlji. Takav sustav određivanja koordinata omogućuje navigaciju, ali i geodetska mjerenja, praćenje kretanja u različitim sportovima i slično. Međutim, postoje okolnosti u kojima GPS ne radi dobro. Istražite koja su ograničenja GPS-a. Dodatne informacije o GPS-u možete pronaći u priručniku GPS za početnike.

Geografske koordinate su veličine koje određuju položaj točke na Zemljinoj površini. Geografske koordinate su geografska širina i geografska dužina, a izražavaju se u stupnjevima, minutama i sekundama. Postoji nekoliko načina zapisivanja geografskih koordinata:

stupnjevi, minute i sekunde (DMS): $41 ° 24' 12.2'' N,$ $2 ° 10' 26.5'' E,$
stupnjevi i decimalne minute (DMM): $41 ° 24.2028',$ $2 ° 10.4418',$
decimalni stupnjevi (DD): $41.40338 °,$ $2.17403 ° .$

Primjer 3.

Zanima nas koja se mjesta skrivaju iza ovih koordinata:

$48.858398, 2.294492$

$40.452150, - 3.690396 .$

Otvorite Googleove karte (ili neku drugu online kartu) pa u okvir za pretraživanje pri vrhu karte unesite koordinate. Na mjestu određenom tim koordinatama prikazat će se posebna oznaka.

Na ( $48.858398, 2.294492$ ) nalazi se Eiffelov toranj u Parizu, a na ( $40.452150, - 3.690396$ ) stadion Santiago Bernabeu u Madridu.

Zanimljivost

Indeks potrošačkih cijena odražava promjene u razini cijena dobara i usluga koje se prate tijekom određenog vremena s određenom skupinom korisnika. Dakle, prati se rast ili pad potrošnje privatnih kućanstava.

Izračunava se na temelju reprezentativne košarice koju čini oko $910$ proizvoda. Svakog mjeseca Državni zavod za statistiku (DZS) prikuplja oko $38 000$ cijena na unaprijed definiranom uzorku prodajnih mjesta na devet geografskih lokacija. (Izvor: DZS, 2017.)

Za određivanje koordinata nekog mjesta na Zemlji, za pronalaženje mjesta zadanog geografskim koordinatama ili određivanje udaljenosti i površina možete upotrijebiti i stranicu MapsZoom.

U sljedećoj tablici možete vidjeti geografske koordinate krajnjih točaka Republike Hrvatske.(Izvor: Državni zavod za statistiku, Statistički ljetopis 2016.)

Geografske koordinate krajnjih točaka
	Naselje	Sjeverna goegrafska širina	Istočna goegrafska dužina
Sjever	Sveti Martin na Muri	$46 ° 33' 18 "$	$16 ° 22' 08 "$
Jug	Palagruža (Komiža)	$42 ° 22' 40 "$	$16 ° 20' 19 "$
Istok	Ilok	$45 ° 11' 45 "$	$19 ° 26' 50 "$
Zapad	Bašanija (Umag)	$45 ° 29' 13 "$	$13 ° 29' 30 "$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 12.

Povežite imena mjesta s njihovim geografskim koordinatama.

Split
Sydney
Dublin
Grenada
Tokio

Pomoć:

Pogledajte geografsku kartu.

null

Zadatak 13.

U koordinatnom su sustavu ucrtani podatci o indeksu potrošačkih cijena u Republici Hrvatskoj za 2016. godinu. (Izvor: DZS, 2017.)

Indeks potrošačkih cijena prikazan grafikonom

Pročitaj sa slike:

U kojem je mjesecu indeks potrošnje bio najveći?
U kojem je mjesecu indeks potrošnje bio najmanji?
Koliki je bio indeks potrošnje u studenome 2016. godine?

U rujnu.
U siječnju i srpnju.
$100 .$

Razmislite o mogućim uzrocima povećanja i smanjenja indeksa potrošnje. Istražite promjene indeksa potrošnje za 2015. i 2014. godinu na stranicama Državnog zavoda za statistiku (DZS).

Zadatak 14.

U koordinatni sustav ucrtani su podatci bacanja lopte pod kutom od

45 °

(kosi hitac). Pročitajte sa slike potrebne podatke i dopunite tekst. Koordinate najviše točke koju je lopta dosegnula su (

Pažljivo pročitajte zadatak.

Pažljivo pročitajte zadatak .

). Koordinate točke u kojoj je lopta pala na tlo su (

Pažljivo pročitajte zadatak .

Pažljivo pročitajte zadatak.

).
Lopta je i drugi put dosegnula visinu od

15 m

na udaljenosti

Pažljivo pročitajte zadatak.

m

od mjesta bacanja.

Pomoć:

Brojčana rješenja napišite na predviđena mjesta.

null

Zatvori

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 15.

Na papiru ucrtajte točke $A (\begin{array}{l} - 2.5, 1.4 \end{array}),$ $B (\begin{array}{l} 0, - 4.3 \end{array}),$ $C (\begin{array}{l} - 3.2, 0 \end{array})$ i $D (\begin{array}{l} - 3.6, 2.8 \end{array})$ u pravokutni koordinatni sustav.

Zadatak 16.

Prikladno odaberite jediničnu dužinu i na papiru ucrtajte točke $A (\frac{3}{5}, 1 \frac{4}{5}),$ $B (\frac{3}{2}, - 3 \frac{4}{5}),$ $C (- 5 \frac{3}{10}, - \frac{27}{5}),$ $D (- \frac{28}{5}, 2 \frac{1}{2})$ u pravokutni koordinatni sustav u ravnini.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini

Zadatak 17.

Na papiru ucrtajte točke $A (1 \frac{3}{5}, 0),$ $B (- \frac{7}{2}, \frac{16}{5}),$ $C (3.5, \frac{3}{2})$ i $D (- 2 \frac{1}{2}, - \frac{14}{10})$ u pravokutni koordinatni sustav te napišite kojem kvadrantu ili koordinatnoj osi pripadaju.

Pridružite svakoj točki njezin položaj u pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini.

$A$
$B$
$C$
$D$

Pomoć:

Pažljivo pogledajte sliku.

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 18.

Očitajte koordinate točaka na slici te napišite kojem kvadrantu ili koordinatnoj osi pripadaju.

Točka $A$ (

) nalazi se u

.
Točka

B

(

) nalazi se u

.
Točka

C

(

) nalazi se na

.
Točka

D

(

) nalazi se u

1 \frac{1}{3}

IV. kvadrantu

0

osi apscisa

I. kvadrantu

- \frac{8}{9}

- 2 \frac{2}{3}

2

- 2 \frac{5}{9}

\frac{4}{9}

II. kvadrantu

\frac{7}{9}

Pomoć:

Pažljivo pogledajte sliku

Zadatak 19.

Majini roditelji planiraju u vrtu urediti novi povrtnjak. Budući da njihova parcela nije pravokutnog oblika, moraju odabrati drukčiji oblik povrtnjaka od uobičajenog. Skicirali su povrtnjak u koordinatnom sustavu i zabilježili koordinate vrhova $A (- 1 \frac{1}{2}, 0),$ $B (6.2, 0),$ $C (4 \frac{1}{2}, 3)$ i $D (2, 3) .$

Koji lik dobivate ako redom spojite točke $A$ i $B,$ $B$ i $C,$ $C$ i $D$ te $D$ i $A ?$
Procijenite, a zatim izračunajte koliko bi kvadratnih jedinica bila površina njihova povrtnjaka. Pri računanju uzmite da je jedinična duljina jednaka $1 m .$

Naziv lika upišite slovima, a površinu u obliku prirodnog broja.

Vrhovi trapeza u pravokutnom koordinatnom sustavu

Upišite točan odgovor u prazno polje. Lik je
Dobro pročitajte zadatak i nacrtajte na papiru sliku.
.
Njegova je površina
Dobro pročitajte zadatak i nacrtajte sliku. Rezultat zapišite u obliku decimalnog broja.
metara kvadratnih.

Pomoć:

$P = \frac{a + c}{2} \cdot v$

Za pomoć pogledajte ponuđeno rješenje.

Rezultat zapišite u brojčanom obliku na za to predviđeno mjesto.

Postupak:

$c = |\begin{array}{l} C D \end{array}| = 2.5 m$

$v = 3 m$ je okomica povučena iz točke $C$ ili $D$ na stranicu $\bar{A B}$

Zadatak 20.

Pravokutnik $A B C D$ zadan je koordinatama triju svojih vrhova: $A (- 1.5, - 1 \frac{1}{2}),$ $B (4.5, - 1 \frac{1}{2}),$ $D (- 1.5, 2) .$ Procijenite koordinate četvrtog vrha, $C,$ zadanog pravokutnika i ucrtajte ga u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Četvrti je vrh pravokutnika $C (\begin{array}{l} 4.5, 2 \end{array}) .$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 8

Zadatak 21.

Koliko kvadratnih jedinica ima površina trokuta u pravokutnome koordinatnom sustavu kojemu su koordinate $A (2 \frac{5}{6}, 0),$ $B (0, 3 \frac{2}{3})$ i $C (0, 0) .$ Nacrtajte taj trokut u pravokutnome koordinatnom sustavu. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu kao vrhovi pravokutnog trokuta

Površina trokuta je $P = 5 \frac{7}{36}$ kvadratnih jedinica.

Zadatak 22.

U pravokutnome koordinatnom sustavu nacrtajte trokut $A B C$ s koordinatama $A (- 2.4, 3),$ $B (- 1.3, - 1.5)$ i $C (0, 1) .$ Nacrtajte na papiru njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na os ordinata. Ispišite koordinate novog trokuta.

Osnosimetrična slika vrhova trokuta obzirom na os ordinata

Koordinate vrhova osnosimetrične slike trokuta

A B C

A' (2.4, 3),

B' (1.3, - 1.5)

C' (0, 1) .

Zadatak 23.

U pravokutnome koordinatnom sustavu nacrtajte trokut $A B C$ s koordinatama $A (- 2.2, 2 \frac{2}{5}),$ $B (0, - 3)$ i $C (4 \frac{1}{2}, 1.3) .$ Nacrtajte na papiru njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na os apscisa. Ispišite koordinate novog trokuta.

Osna simetrija trokuta obzirom na os apscisu

Koordinate vrhova osnosimetrične slike trokuta ABC su

A' (- 2.2, - 2 \frac{2}{5}),

B (0, 3)

C' (4 \frac{1}{2}, - 1.3) .

Zatvori

...i na kraju

Za prikazivanje točaka čije su koordinate racionalni brojevi zapisani u razlomačkom obliku prikladno je za jediničnu duljinu odabrati zajednički višekratnik svih nazivnika.

Koordinatni sustav primjenjuje se u različitim područjima, primjerice za grafičko prikazivanje gibanja, za geografske koordinate ili za grafičko prikazivanje različitih statističkih podataka i veza među njima.

Projekt

Potražite geografske koordinate nekog mjesta koje vam je posebno zanimljivo. Odredite geografske koordinate četiriju mjesta koja čine vrhove kvadrata. Usporedite svoj tako dobiveni kvadrat s kvadratima ostalih učenika. Istražite na kojim se još područjima primjenjuje koordinatni sustav.

Provjerite znate li riješiti ove zadatke. Zadatke najprije samostalno riješite, a zatim svoje rješenje usporedite s ponuđenim.

Kolekcija zadataka 9

Zadatak 24.

Očitajte koordinate točaka sa slike.

Koordinate točaka su $A (\begin{array}{l} 2.3, - 3.4 \end{array}),$ $B (\begin{array}{l} - 1.3, 0 \end{array}),$ $C (\begin{array}{l} 0, - 5 \end{array})$ i $D (\begin{array}{l} - 3.3, - 4.9 \end{array}) .$

Zadatak 25.

Približno ucrtajte na papiru točke $A (\frac{2}{3}, 2 \frac{4}{5}),$ $B (\frac{4}{5}, - 2 \frac{4}{15}),$ $C (\begin{array}{l} 0, 2 \end{array})$ i $D (\frac{16}{5}, - \frac{3}{15})$ u pravokutni koordinatni sustav i napišite kojem kvadrantu ili koordinatnoj osi pripadaju.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu sa nazivima kvadranata u kojima se nalaze

$A$ – I. kvadrant, $B$ – IV. kvadrant, $C$ – os ordinata, $D$ – IV. kvadrant.

Zatvori

Na početku...

Očitavanje koordinata točaka

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Ucrtavanje točaka

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Primjene koordinatnog sustava

Povezani sadržaji

Zanimljivost

Zanimljivost

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Uvježbajmo

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Zadatak 20.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 21.

Zadatak 22.

Zadatak 23.

...i na kraju

Projekt

Zadatak 24.

Zadatak 25.