Pojam koordinata susreli ste već u geografiji. Naučili ste, na primjer, da svaki grad ima svoje geografske koordinate. Pridružite svakom gradu na slici njegove geografske koordinate.
(42N, 11E)
(43N, 18E)
(51N, 0)
(39N, 10W)
(37N, 42E)
Rješenja: (Rim
Dubrovnik
London
Lisabon
Atena
U matematici koordinate omogućuju povezivanje aritmetike i geometrije. Ta dva područja povezao je francuski matematičar Renè Descartes u 17. stoljeću uvođenjem koordinatnog sustava u ravnini. Legenda kaže da mu je ideja sinula kad je bolestan ležao u krevetu i dugo gledao muhu kako šeta po podu popločenom pločicama u obliku kvadrata. Dio matematike koji povezuje aritmetiku i geometriju naziva se analitička geometrija.
Pri izradi geografskih i pomorskih karata stari su se kartografi još od davnih vremena za označavanje objekata koristili koordinatama. Pomorcima koji su te karte poslije upotrebljavali na trgovačkim putovanjima i otkrivanju novih svjetova, koordinate su služile za lakše snalaženje i čitanje karte. Samo su najbolji među njima znali čitati karte i bili su vrlo cijenjeni. Danas se koordinatama koristimo u mnogim životnim područjima, primjerice u geografiji, pomorstvu, zrakoplovstvu, navigaciji, fizici i matematici.
Pogledajte video o pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini.
Pravokutni koordinatni sustav u ravnini čine dva okomita brojevna pravca. Ta dva pravca nazivamo koordinatne osi. Sjecište tih pravaca je ishodište koordinatnog sustava. Točkama pravokutnoga koordinatnog sustava u ravnini pridružujemo uređene parove.
Ishodište
koordinatnog sustava je točka u kojoj se sijeku koordinatne osi. Horizontalnu koordinatnu os nazivamo os apscisa ili os
.
Vertikalnu koordinatnu os nazivamo os ordinata ili os
Točki u pravokutnom koordinatnom sustavu pridružen je uređeni par brojeva Prvi član uređenog para naziva se prva koordinata ili apscisa točke a drugi član druga koordinata ili ordinata točke Pišemo:
Točka nalazi se na sjecištu pravaca usporednih s koordinatnim osima.
Primjer 1.
Na papiru ucrtajmo u pravokutni koordinatni sustav točke s koordinatama
Kako bismo nacrtali točku
najprije potražimo broj
na osi
a drugi član, broj
na osi
Iz koordinate
na osi
povučemo crtkano okomicu gore, a iz koordinate
na osi
povučemo crtkano okomicu desno. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka
Za točku
najprije potražimo broj
na osi
a drugi član, broj
na osi
Iz koordinate
na osi
povučemo crtkano okomicu gore, a iz koordinate
na osi
povučemo crtkano okomicu lijevo. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka
Crtanje točke
počinjemo tako da najprije potražimo broj
na osi
a drugi član, broj
na osi
Iz koordinate
na osi
povučemo crtkano okomicu dolje, a iz koordinate
na osi
povučemo crtkano okomicu lijevo. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka
Za točku najprije potražimo broj na osi a drugi član, broj na osi Iz koordinate na osi povučemo crtkano okomicu dolje, a iz koordinate na osi povučemo crtkano okomicu desno. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka
Ucrtajte točke
u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.
Točku ucrtavamo u pravokutni koordinatni sustav u ravnini tako da na osi nađemo prvu koordinatu točke i iz nje povučemo okomicu na os zatim na osi nađemo drugu koordinatu točke i iz nje povučemo okomicu na os U sjecištu tih okomica nalazi se točka
Ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav točke s koordinatama
Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.
Smjestite točke na odgovarajuće mjesto u pravokutnome koordinatnom sustavu.
Koordinatne osi dijele ravninu na četiri jednaka dijela koje nazivamo kvadranti. Kvadrante označavamo rimskim brojevima I., II., III. i IV. u smjeru suprotnom od smjera kazaljki sata.
Pogledajte sliku i uočite kakve predznake imaju koordinate točaka ovisno o kvadrantu u kojem se nalaze.
U prvom su kvadrantu smještene točke kojima su obje koordinate pozitivni brojevi. U drugom su kvadrantu smještene točke kojima je apscisa negativni, a ordinata pozitivni broj. U trećem su kvadrantu smještene točke kojima su obje koordinate negativni brojevi. U četvrtom su kvadrantu smještene točke kojima je apscisa pozitivan, a ordinata negativan broj.
Označite točne odgovore.
Točka
pripada I. kvadrantu.
Točka
pripada III. kvadrantu.
Točka
pripada I. kvadrantu.
Točka
pripada III. kvadrantu.
Primjer 2.
Ucrtajmo točke u pravokutni koordinatni sustav.
Sjetimo se da se točka koja se nalazi na sjecištu koordinatnih osi, naziva ishodište koordinatnog sustava. Točku ucrtamo jediničnih duljina desno od na osi jer joj je druga koordinata nula, a točku jedinične duljine dolje od na osi jer joj je prva koordinata nula. Točka nalazi se na osi a točka na osi
Kako prepoznajemo točke koje se nalaze na osi A kako točke koje su na osi
Točke koje se nalaze na osi imaju ordinatu a točke koje su na osi imaju apscisu
Na papir ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav točke pa napišite u kojem su kvadrantu ili na kojoj osi smještene.
Svrstajte točke u odgovarajući kvadrant ili na koordinatnu os.
| |
Pomoć:
Nacrtajte na papir koordinatni sustav, kako biste lakše pronašli rješenje.
Primjer 3.
Očitajmo koordinate točaka na slici.
Točka
je
jedinične duljine lijevo i
jedinične duljine gore od ishodišta, točka
je
jedinične duljine desno i
jediničnu duljinu dolje od ishodišta, točka
je
jedinične duljine lijevo i
jedinične duljine dolje, točka
je
jedinične duljine gore na osi
a točka
je
jedinične duljine dolje na osi
Prvu koordinatu točke čitamo na horizontalnoj osi (osi apscisa), a drugu koordinatu na vertikalnoj osi (osi ordinata).
Očitajte koordinate točaka sa slike.
Pomoć:
Koordinate upišite brojčano na predviđena mjesta.
Očitajte koordinate točaka na slici.
Pogledajte sliku pa odgovorite na pitanja.
Rješenja upišite u obliku prirodnih brojeva, mjesece možete upisati kao redne brojeve ili slovima.
Pomoć:
Pri upisu traženih brojčanih podataka, broj zapišite na predviđeno mjesto.
Pomoć:
Pri upisu traženih brojčanih podataka broj zapišite na predviđeno mjesto.
Koordinatni sustav u ravnini često se koristi u Fizici za crtanje grafova koji prikazuju ovisnost dviju veličina. Neki takvi grafovi, na primjer, mogu prikazivati kako duljina prijeđenog puta ili brzina tijela ovise o vremenu. S obzirom na to da su sve spomenute veličine pozitivne, crta se samo prvi kvadrant, a često radi veličine papira ili preglednosti jedinične dužine imaju različite duljine na svakoj od koordinatnih osi.
U svakom je kućanstvu važno praćenje troškova stanovanja. Koristeći se internetskim uslugama možete pratiti mnoge troškove, kao što su potrošnja vode, struje, telefona, plina ili internetskog prometa. Primjerice, Zagrepčani mogu pratiti potrošnju vode u kućanstvu na stranici Vodoopskrba i odvodnja. Na taj je način lakše voditi računa o uštedi energenata ili upravljati svojim ukupnim troškovima. Potražite mrežne stranice na kojima možete pratiti troškove stanovanja u vašemu mjestu.
Pogledajte sliku pa odgovorite na pitanja.
Pomoć:
Pri upisu traženih brojčanih podataka broj zapišite na predviđeno mjesto.
U
je potrošnja bila između
i
Pomoć:
Pažljivo pogledajte grafički prikaz.
Pogledajte sliku pa odgovorite na pitanja.
Pomoć:
Pri upisu traženih brojčanih podataka broj zapišite u predviđeni okvir.
Pogledajte sliku pa odgovorite na pitanja.
Pomoć:
Pri upisu traženih brojčanih podataka broj zapišite u predviđeni okvir.
Tahograf je uređaj koji mjeri brzinu i prijeđeni put vozila. S tahografa se može očitati vrijeme vožnje, vrijeme provedeno u poslu koji nije vožnja ili vrijeme odmora, brzina kretanja vozila, prijeđena udaljenost i slični podatci pa često služi poslodavcima kao potvrda ili nadzorni uređaj o aktivnostima profesionalnih vozača, kormilara, strojovođa, pilota i članova njihove posade.
Više o tahografima možete saznati na stranici Tahograf-Wikipedija. Od 2009. godine u Hrvatskoj se koriste digitalni tahografi. O digitalnim tahografima možete više saznati na stranicama Mala škola tahografa.
Spojite parove tako da svakoj točki pridružite kvadrant ili koordinatnu os kojoj pripada.
Pomoć:
Na papiru nacrtajte koordinatni sustav kako biste lakše riješili zadatak.
Ucrtajte točke
u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.
Na papiru ucrtajte točke
u pravokutni koordinatni sustav te napišite kojem kvadrantu ili koordinatnoj osi pripadaju.
Točka
nalazi se na osi ordinata, točka
je u III. kvadrantu, a točka
je na osi ordinata.
Očitajte koordinate točaka sa slike i napišite kojem kvadrantu ili koordinatnoj osi pripadaju.
Točka nalazi se na osi apscisa, u III. kvadrantu, u IV. kvadrantu i točka na osi apscisa.
Na papiru ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav točke Spojite redom točke i i i te i Koji ste lik dobili? Procijenite površinu toga lika u zadanim kvadratnim jedinicama.
Površinu trapeza računamo prema formuli , gdje su i duljine osnovica trapeza, a njegova visina.
Kvadrat
zadan je koordinatama triju vrhova:
Procijenite koordinate četvrtog vrha
zadanog kvadrata i ucrtajte taj kvadrat u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.
Koordinate četvrtog vrha kvadrata su
Paralelogram zadan je koordinatama triju vrhova: Procijenite koordinate četvrtog vrha zadanog paralelograma i ucrtajte taj paralelogram u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.
Koordinate četvrtog vrha kvadrata su
Primjer 4.
Na papiru ucrtajmo točke i u pravokutni koordinatni sustav. Odredimo koordinate točke koja je osnosimetrična slika točke s obzirom na os apscisa, a zatim koordinate točke koja je osnosimetrična slika točke s obzirom na os ordinata.
Prisjetimo se: Osnosimetričnu sliku točke crtamo tako da najprije nacrtamo okomicu na os simetrije kroz zadanu točku , a zatim odredimo točku takvu da je sjecište okomice i osi simetrije polovište dužine Točka je osnosimetrična slika točke
Označite točan odgovor.
Koja od ponuđenih točaka je osnosimetrična slika točke
s obzirom na os ordinata?
Označite točan odgovor.
Ucrtajte točku
u pravokutni koordinatni sustav i odredite koordinate točke koja je osnosimetrična slika točke
s obzirom na os apscisa.
U pravokutnome koordinatnom sustavu nacrtan je trokut
kojemu su koordinate vrhova
i
Nacrtajte njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na os apscisa.
Nacrtajte na papiru trokut kojemu su koordinate vrhova i Nacrtajte njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na os ordinata.
Pravokutni koordinatni sustav u ravnini čine dva okomita pravca: horizontalni je os apscisa (os
) i vertikalni os ordinata (os
Točku u kojoj se sijeku nazivamo ishodište koordinatnog sustava i označavamo s
Svakoj točki
pravokutnoga koordinatnog sustava pridružen je uređeni par brojeva
Pišemo:
Prvi član uređenog para točke
naziva se prva koordinata ili apscisa točke
a drugi je član druga koordinata ili ordinata točke
Kako biste još bolje usavršili svoju vještinu snalaženja u koordinatnom sustavu možete odigrati i neku od ovih igara. Igre su na engleskom jeziku te zahtijevaju Adobe Flash Player: Krtica i Izvanzemaljac.
Točka
pripada I. kvadrantu.
Točka pripada II. kvadrantu.
Točka
pripada III. kvadrantu.
Točka
pripada IV. kvadrantu
Točka
pripada osi apscisa.
Točka
pripada osi ordinata.
Točka kojoj je pridružen uređeni par s ordinatom
i apscisom
je: