Matematika 7 - 9.4 Svođenje sustava na standardni oblik

Rješavanje sustava svođenjem na standardni oblik

Svedimo na standardni oblik sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice koji je djevojčica s početka ove jedinice dobila kad je pokušala pogoditi brojeve koje je dječak zamislio. Zatim riješimo taj sustav i provjerimo dobiveno rješenje.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Poredajte korake prema kojima je djevojčica izračunala brojeve koje je dječak zamislio.

$\begin{array}{l} 2 x - y = 2 \\ - x + y = 2 \end{array}\} +$
$y = 2 + 4$
$- 4 + y = 2$
$y = 6$
$\begin{array}{l} 2 x - 2 = y \\ y - 2 = x \end{array}$
$x = 4$
$\begin{array}{l} 2 x - y = 2 \\ - x + y = 2 \end{array}$

Pomoć:

Najprije sustav svedemo na standardni oblik. Zatim prepoznamo pogodniju metodu kojom ćemo riješiti sustav u standardnom obliku. Na kraju možemo provjeriti dobiveno rješenje uvrštavajući ga u početni zadatak.

null

Zadatak 13.

Provjerimo je li djevojčica dobro izračunala brojeve koje je dječak zamislio. Prisjetimo se njegovih rečenica i uvrstimo dobivene brojeve. Dječak je rekao djevojčici: "Ako od dvostrukog prvog broja oduzmeš $2,$ dobit ćeš drugi broj, a ako od drugog broja oduzmeš $2,$ dobit ćeš prvi broj." Djevojčica je izračunala da je prvi broj $(x) 4,$ a drugi broj $(y) 6 .$

Dvostruko veći broj od

4

je broj

Dvostruki broj dobijemo kad zadani broj pomnožimo s

2 .

, od njega oduzmimo

2

i dobit ćemo broj

8 - 2

što je vrijednost drugog broja. A ako od tog drugog broja oduzmemo

2,

dobit ćemo broj

6 - 2

što je vrijednost prvog zamišljenog broja. Djevojčica je dobro izračunala.

null

Zatvori

Primjer 4.

Svedite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

$\begin{array}{l} x - 2 (y - 1) = - 3 \\ y + 1 = 2 x + 5 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

na standardni oblik. Riješite dobiveni sustav u standardnom obliku tako da odaberete metodu koja se čini pogodnija s obzirom na koeficijente koje ste dobili.

Sustav svedemo na standardni oblik tako da se riješimo zagrada u prvoj jednadžbi, a premjestimo poznanice na desnu stranu i nepoznanice na lijevu stranu u drugoj jednadžbi.

$\begin{array}{l} x - 2 (y - 1) = - 3 \\ \underline{y + 1 = 2 x + 5 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array}} \end{array}$

$\begin{array}{l} x - 2 y + 2 = - 3 \\ \underline{- 2 x + y = 5 - 1 \begin{array}{l} \end{array}} \end{array}$

$\begin{array}{l} x - 2 y = - 3 - 2 \\ \underline{- 2 x + y = 4 \begin{array}{l} \begin{array}{l} \end{array} \end{array} \begin{array}{l} \begin{array}{l} \end{array} \end{array} \begin{array}{l} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}} \end{array}$

$\begin{array}{l} x - 2 y = - 5 \\ \underline{- 2 x + y = 4} \end{array}$

Odabrat ćemo metodu supstitucije tako da izrazimo nepoznanicu $x$ iz prve jednadžbe. Metodu supstitucije odabrali smo zato što je koeficijent uz nepoznanicu $x$ broj $1,$ a nemamo suprotnih koeficijenata uz istu nepoznanicu. Ako želite, možete riješiti sustav i metodom suprotnih koeficijenata pa usporediti dobivena rješenja.

$x - 2 y = - 5 \to x = 2 y - 5$
$\underline{- 2 x + y = 4}$

$- 2 (2 y - 5) + y = 4$

$- 4 y + 10 + y = 4$

$- 3 y = - 6 / : (- 3)$

$y = 2$

$x = 2 \cdot 2 - 5$

$x = - 1$

Rješenje sustava je uređeni par $(- 1, 2) .$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 14.

Provjerite dobiveno rješenje sustava tako da vrijednosti nepoznanica $x$ i $y$ uvrstite u početni sustav u nestandardnom obliku.

$\begin{array}{l} x - 2 (y - 1) = - 3 \\ y + 1 = 2 x + 5 \end{array}$

Uvrstimo vrijednosti u prvu jednadžbu. Lijevu i desnu stranu jednadžbe računamo posebno, poštujući redoslijed računskih radnji: najprije izračunamo izraze u zagradama, slijedi množenje i dijeljenje i na kraju zbrajanje i oduzimanje.

\begin{array}{l} - 1 - 2 (2 - 1) = - 3 \\ - 1 - 2 \cdot 1 = - 3 \\ - 1 - 2 = - 3 \begin{array}{l}  \end{array} \begin{array}{l}  \end{array} \begin{array}{l}  \end{array} \begin{array}{l}  \end{array} \begin{array}{l}  \end{array} \\ - 3 = - 3 \end{array}

Zatim uvrstimo u drugu jednadžbu i provjerimo rješenje na isti način kao i kod prve jednadžbe.

$\begin{array}{l} 2 + 1 = 2 \cdot (- 1) + 5 \\ 3 = - 2 + 5 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ 3 = 3 \end{array}$

Uređeni par $(- 1, 2)$ je rješenje sustava zapisanog u nestandardnom obliku.

Zadatak 15.

Provjerite dobiveno rješenje sustava svedenog na standardni oblik.

$\begin{array}{l} x - 2 y = - 5 \\ - 2 x + y = 4 \end{array}$

Uvrstimo vrijednosti u prvu jednadžbu.

$\begin{array}{l} - 1 - 2 \cdot 2 = - 5 \\ - 1 - 4 = - 5 \\ - 5 = - 5 \end{array}$

Zatim uvrstimo u drugu jednadžbu.

$\begin{array}{l} - 2 \cdot (- 1) + 2 = 4 \\ 2 + 2 = 4 \\ 4 = 4 \end{array}$

Uređeni par $(- 1, 2)$ je rješenje i sustava svedenog na standardni oblik.

Zadani sustav u nestandardnom obliku i sustav koji smo sveli na standardni oblik imaju

rješenja. Za sustave koji imaju jednaka rješenja kažemo da su

sustavi.

ekvivalentni

jednaka

Pomoć:

Sustav zadan u nestandardnom obliku i sustav dobiven od njega svođenjem na standardni oblik moraju imati jednaka rješenja.

null

Zatvori

Kad rješavamo sustav koji je zadan u nestandardnom obliku, moramo ga najprije svesti na standardni oblik. Zatim ga riješimo metodom koja se čini pogodnija s obzirom na koeficijente koje smo dobili svođenjem sustava na standardni oblik. Na kraju provjerimo dobiveno rješenje tako da uvrstimo vrijednosti nepoznanica u zadani, nestandardni oblik.

Projekt

Podijelite se u parove. Izaberite jedan od primjera ili zadataka pod naslovom Svođenje sustava na standardni oblik, koji nisu riješeni do kraja. Jedan učenik neka riješi sustav sveden na standardni oblik metodom supstitucije, a drugi metodom suprotnih koeficijenata. Usporedite dobivena rješenja.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 16.

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice $\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1.5 x - 1.6 = 0.4 y \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ 1.2 y - 3.6 = - 2.5 x \end{array} \end{array}$

svedite na standardni oblik i riješite ga.

Dobiveno rješenje provjerite.

Rješenje sustava je uređeni par ( , ).

Pomoć:

Jednadžbe najprije pomnožite s $10,$ a zatim sustav svedite na standardni oblik.

Postupak:

Sustav u standardnom obliku je $\begin{array}{l} 15 x - 4 y = 16 \begin{array}{l} \end{array} \\ 25 x + 12 y = 36 \end{array}$

Zadatak 17.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

\begin{array}{l} 2 x + 2 y - 3 = 4 x \\ y - 5 = 2 x + 3 \begin{array}{l} y \end{array} \end{array}

i odaberite točno rješenje.

(2, \frac{1}{2})

Pogledajte uputu.

(- 2, \frac{1}{2})

Pogledajte uputu.

(- 2, - \frac{1}{2})

(2, - \frac{1}{2})

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Standardni oblik sustava je

$\begin{array}{l} - 2 x + 2 y = 3 \\ - 2 x - 2 y = 5 \end{array}$

Postupak:

Preporučujemo da riješite sustav metodom suprotnih koeficijanata.

Zadatak 18.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l} 3 (x - 1) - 2 (y + 1) = - 1 \\ 3 x - 2 = 2 (3 - y) \end{array}$

Dobiveno rješenje provjerite.

Rješenje sustava je uređeni par (

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Standardni oblik sustava je $\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 4 \\ 3 x + 2 y = 8 \end{array}$

Postupak:

Preporučujemo rješavanje metodom suprotnih koeficijenata.

Zatvori

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 19.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l} \frac{x}{3} - 2 (y - 1) = - 1 \\ \frac{3}{2} (x - 1) = y + 1 \end{array}$

Rješenje sustava je uređeni par ( , ).

Pomoć:

Najprije se riješite zagrada, zatim pomnožite s najmanjim zajedničkim nazivnikom, premjestite nepoznanice i poznanice te riješite sustav metodom po želji.

Postupak:

Sustav u standardnom obliku je $\begin{array}{l} x - 6 y = - 9 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{array}$

Zadatak 20.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: $\begin{array}{l} 2 (x + 3) - 3 (y + 1) = 8 \\ \frac{x + 3}{2} + \frac{y - 1}{3} = \frac{4}{3} \end{array}$

Dobiveno rješenje provjerite.

Rješenje je uređeni par (

Pogledajte uputu.

Pomoć:

U prvoj jednadžbi oslobodite se zagrada, a drugu pomnožite s najmanjim zajedničkim nazivnikom. Pripazite na minus ispred zagrade.

Postupak:

Sustav u standardnom obliku je $\begin{array}{l} 2 x - 3 y = 5 \\ 3 x + 2 y = 1 \end{array}$

Zadatak 21.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l} \frac{x + y}{3} - \frac{x - y}{5} = - \frac{2}{3} \\ \frac{2 x + y}{3} - \frac{3 x + y}{4} = 0 \end{array}$

Rješenje je uređeni par ( , ).

Pomoć:

Pomnožite jednadžbe s najmanjim zajedničkim nazivnikom. Pripazite na minus ispred razlomačke crte, odnosno zagrade.

Postupak:

Sustav u standardnom obliku je

$\begin{array}{l} 2 x + 8 y = - 10 \\ - x + y = 0 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

a možemo ga još pojednostavniti ako prvu jednadžbu podijelimo s $2 .$ Sustav možete riješiti metodom supstitucije tako da iz druge jednadžbe izrazite $y .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 8

Zadatak 22.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: $\begin{array}{l} \frac{2 x + 3 y}{4} - \frac{x + 3}{2} = 0 \\ \frac{1}{2} (x - y) - 2 (x + 3) = - 10 \end{array}$

Provjerite dobiveno rješenje.

Rješenje sustava je uređeni par (

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Prvu jednadžbu pomnožite s najmanjim zajedničkim nazivnikom, a u drugoj se najprije riješite zagrada, zatim i nju pomnožite s najmanjim zajedničkim nazivnikom. Pazite na minus ispred zagrade.

Postupak:

Sustav u standardnom obliku je

$\begin{array}{l} y = 2 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ 3 x + y = 8 \end{array}$

Zadatak 23.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice $\begin{array}{l} \frac{x + 2}{2} - \frac{y + 1}{3} = 1 \frac{1}{6} \\ \frac{x - 1}{4} - \frac{y + 2}{3} = - \frac{7}{12} \end{array}$
i odaberite točno rješenje.

(\frac{2}{3}, - \frac{1}{2})

(- \frac{2}{3}, - \frac{1}{2})

Pogledajte uputu.

(- \frac{2}{3}, \frac{1}{2})

Pogledajte uputu.

(\frac{2}{3}, \frac{1}{2})

Pomoć:

Pomnožite svaku jednadžbu s najmanjim zajedničkim nazivnikom. Pritom pazite na predznake.

Postupak:

Sustav u standardnom obliku je $\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 3 \\ 3 x - 4 y = 4 \end{array}$

Zadatak 24.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: $\begin{array}{l} \frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = - 3 \frac{7}{10} \\ \frac{x + y}{2} + x - \frac{3}{2} = 10 - 3 y \end{array}$

Rješenje sustava je uređeni par ( , ).

Pomoć:

Pomnožite svaku jednadžbu s najmanjim zajedničkim nazivnikom. Pritom pazite na predznake.

Postupak:

Sustav u standardnom obliku je

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} - 3 x + 7 y = - 37 \\ 3 x + 7 y = 23 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array} \end{array}$

Zadatak 25.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l} \frac{2 (x + y)}{3} - \frac{x - 3}{2} = 3 \\ \frac{3 (x - y)}{2} - \frac{y + 2}{3} = - 2 \frac{5}{6} \end{array}$

Dobiveno rješenje provjerite.

Rješenje sustava je uređeni par (

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Pomnožite svaku jednadžbu s najmanjim zajedničkim nazivnikom. Pritom pazite na predznake.

Postupak:

Sustav u standardnom obliku je

$\begin{array}{l} x + 4 y = 9 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ 9 x - 11 y = - 13 \end{array}$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 9

Zadatak 26.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: $\begin{array}{l} \frac{\frac{1}{2} (x - y)}{3} - 2 (\frac{3}{4} x + 2 y) = \frac{\frac{5}{6} x - 1}{2} - 13 (\frac{x + 5 y}{4}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{3}{5} (\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) - \frac{\frac{2}{5} (x - 3)}{\frac{5}{6}} = \frac{5}{4} (y - 1) + 2.75 \end{array}$

Najprije riješimo dvojne razlomke u obje jednadžbe:

$\begin{array}{l} \frac{x - y}{6} - \frac{3}{2} x - 4 y = \frac{5}{12} x - \frac{1}{2} - \frac{13}{4} x - \frac{65}{4} y / \cdot 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} \underline{\frac{3 x}{10} - \frac{y}{5} - \frac{12}{25} x + \frac{36}{25} = \frac{5}{4} y - \frac{5}{4} + 2.75 / \cdot 100} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 x - 2 y - 18 x - 48 y = 5 x - 6 - 39 x - 195 y \\ \underline{30 x - 20 y - 48 x + 144 = 125 y - 125 + 275} \end{array}$

$\begin{array}{l} 18 x + 145 y = - 6 \\ \underline{- 18 x - 145 y = 6} \end{array}\} +$

$0 = 0$

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

Zadatak 27.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} 3 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y) - \frac{2}{3} (x + 2 y) = \frac{3}{4} (0.5 x + 1) - \frac{19}{6} y \\ \frac{\frac{1}{2} (x + 3)}{2} - \frac{2.5 (y - 1)}{3} + \frac{31}{24} x = 2 (x + y) \end{array}$

Riješimo se dvojnih razlomaka i zagrada i pomnožimo obje jednadžbe s $24 .$

$\begin{array}{l} \frac{3}{2} x + y - \frac{2}{3} x - \frac{4}{3} y = \frac{3}{8} x + \frac{3}{4} - \frac{19}{6} y / \cdot 24 \\ \underline{\frac{1}{4} x + \frac{3}{4} - \frac{5}{6} y + \frac{5}{6} + \frac{31}{24} x = 2 x + 2 y / \cdot 24} \end{array}$

$\begin{array}{l} 36 x + 24 y - 16 x - 32 y = 9 x + 18 - 76 y \\ \underline{6 x + 18 - 20 y + 20 + 31 x = 48 x + 48 y} \end{array}$

$\begin{array}{l} 11 x + 68 y = 18 \\ \underline{- 11 x - 68 y = - 38} \end{array}\} +$

$0 = - 20$

Sustav nema rješenja.

Zadatak 28.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} \frac{2}{5} (\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y) - \frac{3}{5} (0.5 x - y) = x - \frac{1}{5} \\ \frac{\frac{3}{4} (2 x - \frac{1}{2} y)}{2} - \frac{\frac{5}{6} (\frac{1}{2} x - 2 y)}{5} = \frac{13}{16} \end{array}$

Rješenje sustava je uređeni par (

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Sustav u standardnom obliku je $\begin{array}{l} - 11 x + 9 y = - 2 \\ 32 x + 7 y = 39 \end{array}$

Postupak:

Najprije se riješite zagrada, zatim razlomaka.

Zatvori

Na početku...

Ponovimo rješavanje linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Standardni oblik sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Svođenje sustava na standardni oblik

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zanimljivost

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Rješavanje sustava svođenjem na standardni oblik

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Projekt

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Zadatak 20.

Zadatak 21.

Zadatak 22.

Zadatak 23.

Zadatak 24.

Zadatak 25.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 26.

Zadatak 27.

Zadatak 28.

...i na kraju

9.5 Primjena sustava linearnih jednadžbi u algebarskim i geometrijskim zadacima