Matematika 7 - 3.1 Pojam postotka

Postotak

Primjer 1.

Učiteljica je u e-Dnevnik upisala rezultate ispita znanja. U rubriku postotak prolaznih ocjena upisala je $100 % .$ Učenicima je pročitala ocjene i rekla da nitko ne treba ponavljati ispit znanja. Ako ispit ponavljaju samo učenici koji nisu dobili prolaznu ocjenu, što to znači?

S obzirom na to da je učiteljica upisala $100 %$ prolaznih ocjena, njezina izjava da nitko ne treba ponavljati ispit znanja znači da su svi učenici dobili prolaznu ocjenu. $100 %$ znači svi.

$100 %$ znači sve, jedna cjelina.

Zadatak 1.

Fran je na ispitu znanja dobio odličnu ocjenu. Učiteljica mu je napisala na ispit „ $100 %,$ bravo! ” Što to znači?

Znači da u ispitu nije nijedanput pogriješio. Sve je točno napisao i riješio.

Primjer 2.

U kinodvorani je popunjeno $50 %$ mjesta.

Što to znači?

Ako u dvorani ima ukupno $120$ mjesta, koliko je mjesta popunjeno?

Ako $100 %$ znači da su sva mjesta u kinodvorani popunjena, $50 %$ znači da je popunjeno pola od ukupnog broja mjesta. $100 %$ je jedna cjelina ili, matematički rečeno, jedno cijelo. $50 %$ je pola od $100 %$ ili matematički: $\frac{1}{2}$ od $100 % .$
Ako je u dvorani $120$ mjesta, $\frac{1}{2}$ od $120$ je $60 .$ Popunjeno je $60$ mjesta.

$50 %$ znači pola, $\frac{1}{2} .$

U jednom gradu u kojem živi

132 500

stanovnika,

50 %

ih je izišlo na izbore za gradonačelnika. Na izbore je izišlo

Pažljivo pročitajte zadatak.

građana.

null

Zadatak 2.

Odaberite omjer mješavine ljubičaste i bijele boje u spreju. U poljima pored broja ljubičastih i bijelih udjela izaberite broj od $0$ do $10 .$ Interaktivna simulacija pokazati će postotak ljubičaste i bijele boje u mješavini kao boju u spreju, ali i kao dijelove kruga.

Procijenite postotak popunjenosti bočice mješavinom boja ako u bočicu stane ukupno $20$ dijelova boje. Procjenu upišite u odgovor. Svoju procjenu provjerite klikom na gumb Rješenje.

Primjer 3.

Ana je dobila od bake džeparac. U papirnici je potrošila $25 % .$

Što to znači?

Koliko joj je ostalo?

Ako joj je baka dala $100 kn,$ koliko joj je još novca ostalo?

$25 %$ je pola od pola, znači $\frac{1}{4} .$
Džeparac je podijeljen na dva dijela; jedan je dio Ana potrošila, a drugi dio nije. Zbroj tih dvaju dijelova čini cjelinu pa i zbroj postotaka tih dijelova mora činiti cjelinu. Cjelina je $100 % .$ Ako je potrošila $25 %,$ ostalo joj je $100 % - 25 % = 75 % .$
Ako je potrošila $\frac{1}{4},$ ostalo joj je još $\frac{3}{4}$ cjeline. Znači da je $75 %$ zapravo $\frac{3}{4}$ od $100 kn,$ odnosno $75 kn .$ Ostalo joj je $75 kn .$

Zbroj postotaka dijelova jedne cjeline mora biti $100 % .$

Zadatak 3.

Izračunajte.

Mario je na rukometnoj utakmici postigao $30 %$ golova. Koliko su postigli ostali igrači na toj utakmici?

$45 %$
Pogledajte prethodni primjer.

$70 %$

$20 %$
Pogledajte prethodni primjer.

$100 %$
Pogledajte prethodni primjer.

null

null
$65 %$ stanovnika jedne države nema fakultetsku diplomu. Koliko stanovnika ima fakultetsku diplomu?

$35 %$

$65 %$
Proučite prethodni primjer.

$70 %$
Proučite prethodni primjer.

$90 %$
Proučite prethodni primjer.

null

null
$90 %$ učenika jedne škole prijavljeno je za topli obrok u školi. Njih
Proučite prethodni primjer.
$%$ ne koristi se tom mogućnošću.

null

null
Student je položio $70 %$ ispita s prve godine. Nije položio
Proučite prethodni primjer.
$%$ ispita.

null

null

Dovucite postotke jedan na drugi tako da dobijete zbroj postotaka dijelova jedne cjeline.

Pronađite parove.

$60 %$	$20 %$
$80 %$	$40 %$
$10 %$	$50 %$
$30 %$	$90 %$
$50 %$	$70 %$

Pomoć:

Zbroj postotaka dijelova jedne cjeline je $100 % .$

null

Postotak kao razlomak

Vratimo se još malo na treći primjer. Uočimo da je Ana imala $100 kn$ i da je $75 %$ od $100 kn$ točno $75 kn .$ Lako ćemo izračunati da je Ana potrošila $25 kn .$ Znači da je $25 %$ od $100 kn$ točno $25 .$

Postotak označava omjer količine nekih jedinica na $100$ takvih jedinica.

Zanimljivost

$100 %$ je jedno cijelo, cjelina.
$50 %$ je pola cjeline.
$25 %$ je četvrtina cjeline.
$20 %$ je petina cjeline.
$10 %$ je desetina cjeline.

Cjelina je $100 %,$ a $50 %$ znači pola od cjeline. Ako stavimo u omjer brojeve $50$ i $100,$

dobit ćemo $50 : 100 = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} .$

$25 %$ znači četvrtinu cjeline. Ako stavimo u omjer brojeve $25$ i $100,$ dobit ćemo

$25 : 100 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} .$

Ako stavimo u omjer brojeve $75$ i $100,$ dobit ćemo $75 : 100 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} .$

Već smo vidjeli da je $75 %$ zapravo $\frac{3}{4} .$

Postotak je omjer nekog broja i broja $100 .$

Taj omjer zapisujemo u obliku razlomka s nazivnikom $100 .$

Razlomak skratimo do neskrativog ako se može.

Postotak je omjer nekog broja i broja $100$ .

Zadatak 4.

Pronađite parove.

Pomoć:

Slike prikazuju dijelove cjeline. Obojene dijelove možete prikazati i u obliku razlomka, koje proširite do nazivnika sto.

null

Zapišemo li omjer u razlomačkom obliku, dobit ćemo da je postotak razlomak s nazivnikom $100 .$

Postotak je razlomak s nazivnikom $100 .$

Primjer 4.

Tvornica crepova isporučuje paket naručenih proizvoda.

Koliki je omjer oštećenih proizvoda prema ukupnom broju proizvoda ako znamo da je oštećeno $5 %$ proizvoda?

Zapišite u bilježnicu taj omjer u obliku razlomka.

Ne znamo ukupnu količinu proizvoda, a zanima nas omjer oštećenih proizvoda prema ukupnom broju proizvoda. Postotak oštećenih proizvoda znači omjer oštećenih proizvoda prema cjelini, a to je $5 : 100 .$

Postotak $5 %$ zapisujemo u obliku omjera $5 : 100 .$ Taj omjer možemo pojednostavniti i dobit ćemo omjer oštećenih proizvoda prema ukupnom broju proizvoda $1 : 20 .$

U razlomku taj omjer zapisujemo $5 : 100 = 1 : 20 = \frac{1}{20} .$

Zadatak 5.

Slikarska paleta sa bojama. Podloga palete se skoro ni ne vidi od tragova boja koje su na njoj.

Izračunajte omjer crvene boje prema ukupnoj količini boje na paleti na kojoj je crvene boje $4 % .$ Omjer zapišite u bilježnicu u obliku razlomka.

Zanima nas omjer crvene boje prema ukupnoj količini boje na paleti. Postotak crvene boje znači omjer crvene boje prema cjelini, a to je $4 : 100 .$

Postotak $4 %$ zapisujemo u obliku omjera $4 : 100 .$ Ako taj omjer pojednostavnimo, dobivamo omjer crvene boje prema svim bojama na paleti $1 : 25 .$

U razlomku taj omjer zapisujemo $4 : 100 = 1 : 25 = \frac{1}{25} .$

Primjer 5.

Zapišite u bilježnicu postotke u obliku omjera i razlomka. Razlomke skratite do neskrativih ako se može.

$100 %$

$45 %$

$10 %$

$3 %$

$100 % = 100 : 100 = \frac{100}{100} = 1$
$45 % = 45 : 100 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$
$10 % = 10 : 100 = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
$3 % = 3 : 100 = \frac{3}{100}$

$100 % = 1$

Zadatak 6.

Dovucite brojeve na odgovarajuća mjesta tako da postotak bude zapisan u obliku omjera i razlomka, razlomak skratite do neskrativih ako se može.

$60 % =$

$:$

$=$

$=$

$100$

$\frac{3}{5}$

$\frac{60}{100}$

$60$

Pomoć:

Drugi je razlomak skraćena verzija prvog razlomka!
$12 % =$

$:$

$=$

$=$

$\frac{12}{100}$

$\frac{3}{25}$

$12$

$100$

Pomoć:

Drugi razlomak je skraćena verzija prvog razlomka!
$75 % =$

$:$

$=$

$=$

$100$

$75$

$\frac{3}{4}$

$\frac{75}{100}$

Pomoć:

Drugi razlomak je skraćena verzija prvog razlomka!

Postotak kao decimalni broj

Prisjetimo se da decimalni broj dobijemo kad podijelimo brojnik razlomka s njegovim nazivnikom pa postotak možemo zapisati i u decimalnom obliku.

Primjer 6.

Zapišimo u bilježnicu postotke u decimalnom obliku.

$50 %$

$42 %$

$2 %$

$20 %$

$50 % = \frac{50}{100} = 0.50 = 0.5$ ili kraće $50 : 100 = 0.50 = 0.5$
$42 % = \frac{42}{100} = 0.42$ ili kraće $42 : 100 = 0.42$
$2 % = \frac{2}{100} = 0.02$ ili kraće $2 : 100 = 0.02$
$20 % = \frac{20}{100} = 0.20 = 0.2$ ili kraće $20 : 100 = 0.20 = 0.2$

Postotak zapisujemo u decimalnom obliku tako da ga podijelimo sa $100 .$

Zadatak 7.

Zapišite postotke u decimalnom obliku.

$3 % =$
$14 % =$
$98 % =$

Određivanje postotka s pomoću omjera

Primjer 7.

Iva je u ispitu znanja postigla $23$ od ukupno $25$ bodova.

Koliki je omjer Ivinih postignutih bodova i ukupnog broja bodova na tom ispitu?

Koliki je Ivin postotak uspješnosti na tom ispitu?

Primjer možemo riješiti na dva načina.

Prvi način je da omjer prikažemo u obliku razlomka.

Omjer postignutih bodova i ukupnog broja bodova je $23 : 25 .$
Omjer možemo prikazati u obliku razlomka $23 : 25 = \frac{23}{25},$ zatim dobiveni razlomak treba proširiti tako da mu nazivnik bude $100,$ $\frac{23}{25} = \frac{23 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{92}{100} .$

Razlomak s nazivnikom $100$ je postotak pa pišemo $\frac{92}{100} = 92 % .$

Da bismo dobili postotni oblik, trebamo taj decimalni broj pomnožiti sa $100,$ $0.92 \cdot 100 = 92 % .$

Ivin je postotak uspješnosti na tom ispitu $92 % .$

Drugi način je da vrijednost omjera prikažemo u decimalnom obliku.

Omjer postignutih bodova i ukupnog broja bodova je $23 : 25 .$
Izračunamo vrijednost omjera i zapišemo ga u obliku decimalnog broja; $23 : 25 = 0.92 .$

Da bismo dobili postotni oblik, trebamo taj decimalni broj pomnožiti sa $100,$

$0.92 \cdot 100 = 92 % .$

Ivin je postotak uspješnosti na tom ispitu $92 % .$

Ako dobiveni decimalni broj ima više decimala, postotak zaokružimo na cijeli broj ili na željeni broj decimala.

Zanimljivost

Ako dobiveni decimalni broj ima više decimala, postotak zaokružimo na cijeli broj ili na željeni broj decimala.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 8.

Izrazite postotkom koliki je dio lika obojen. U prazne kvadratiće upišite brojeve koji nedostaju, a potom kliknie na gumb Provjerite kako bi provjerili jeste li zadatak točno riješili. Pored slike pojaviti će se točno rješenje zadatka. Kliknite na gumb Novi zadatak ukoliko želite pokušati ponovno.

Zadatak 9.

U Osnovnoj školi Franjo Krežma je $300$ učenika. Izrazite postotkom, a postotak zaokružite na jednu ili dvije decimale:

$25$ učenika pjeva u zboru
$36$ učenika igra nogomet
$180$ učenika su djevojčice.

Rezultat zapišite u obliku decimalnog broja zaokruženoga na jednu decimalu ili na dvije decimale.
$%$ učenika pjeva u zboru.

null

null
Pozorno pročitajte zadatak!

$%$ učenika igra nogomet.

null

null
Pozorno pročitajte zadatak!
$%$ učenika su djevojčice.

null

null

Zatvori

Projekt

U svojem razredu istražite:

postotak učenika koji idu u glazbenu školu
postotak učenika koji treniraju neki sport
postotak učenika koji uče drugi strani jezik.

Rezultat prikažite postotkom zaokruženim na cijeli broj.

Zanimljivost

UNICEF (United Nations International Children's Emergency Found) je međunarodna humanitarna i razvojna agencija koja se brine o pravima i potrebama djece cijeloga svijeta nastojeći svakom djetetu osigurati dobre životne uvjete. U povodu 20. obljetnice objavljivanja Konvencije o pravima djeteta, ured UNICEF-a za Hrvatsku proveo je istraživanje o mišljenjima i stajalištima djece i mladih u Hrvatskoj.

Zadatak 10.

U UNICEF-ovu istraživanju o stajalištima djece i mladih u Hrvatskoj, od $503$ ispitanika njih $38$ pripada nekoj nacionalnoj manjini. Izrazite postotkom podatak o pripadnosti nacionalnim manjinama. Postotak zaokružite na cijeli broj.

Izvor: Mišljenja i stavovi djece i mladih u Hrvatskoj, UNICEF-ova publikacija

Nekoj od nacionalnih manjina pripada

Postotak zaokružite na cijeli broj!

%

ispitane djece.

null

Primjer 8.

Zapišimo, u bilježnicu, u obliku postotka da pet devetina učenika 7.b razreda pohađa izbornu nastavu iz talijanskog jezika.

Razlomak $\frac{5}{9}$ ne možemo jednostavno proširiti tako da u nazivniku bude broj $100$ pa ćemo umjesto zapisa u razlomačkom obliku taj broj zapisati u decimalnom obliku.

$\frac{5}{9} \approx 0.56 .$

Ako želimo dobiti precizniji postotak, decimalni broj možemo zaokružiti i na tri, četiri ili više decimala.

Kao u prethodnom primjeru, sada taj decimalni broj pomnožimo sa $100$ i dobit ćemo postotni oblik, $0.56 \cdot 100 = 56 % .$

$56 %$ učenika 7.b razreda pohađa izbornu nastavu iz talijanskog jezika.

Decimalni broj zapisujemo u obliku postotka tako da ga pomnožimo sa $100 .$

Razlomak zapisujemo u obliku postotka tako da ga proširimo do dekadskog razlomka s nazivnikom $100$ ili tako da razlomak zapišemo kao decimalni broj i zatim ga pomnožimo sa $100 .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 11.

Razlomke u bilježnicu zapišite u postotnom obliku (postotak zaokružite na cijeli broj).

$\frac{1}{4}$
$\frac{6}{15}$
$\frac{2}{3}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$
$\frac{6}{15} = \frac{6 : 3}{15 : 3} = \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{40}{100} = 40 %$
$\frac{2}{3} = 2 : 3 \approx 0.67,$ $0.67 \cdot 100 = 67 %$

Zadatak 12.

Zapišite u obliku postotka.

Pronađite parove.

$\frac{4}{16}$	$25 %$
$\frac{13}{50}$	$27 %$
$0.2678$	$26 %$

Pomoć:

Postotak zaokružite na cijeli broj.

null

Zatvori

Postotci veći od $100 %$

Kutak za znatiželjne

Objasnimo ovu izjavu iz TV dnevnika: Ovogodišnji prihod od turizma je $120 %$ od lanjskog prihoda od turizma.

$120 %$ u decimalnom obliku je $120 % = 120 : 100 = 1.2 .$

Rečenicu iz zadatka možemo zapisati ovako: Ovogodišnji prihod od turizma je $1.2$ puta veći od lanjskog prihoda od turizma.

Postotak veći od $100 %$ Postotak veći od $100 %$ znači više od jednog cijelog.

S postotcima većim od $100 %$ računamo kao i s postotcima manjim od $100 % .$

Zadatak 13.

Što znače izjave:

Lucijin tata je na novomu radnom mjestu dobio $110 %$ plaće koju je imao na prijašnjemu radnom mjestu.
Baka priprema sok od rajčice i napravila je $320 %$ prošlogodišnje količine.
Andreju je u Irskoj stanarina $400 %$ stanarine u Hrvatskoj.
Prodaja rashladnih uređaja u srpnju je $300 %$ prodaje u lipnju.

Lucijin je tata dobio $1.1$ put veću plaću na novomu radnom mjestu jer je $110 : 100 = 1.1 .$
Baka je ove godine napravila $3.2$ puta više soka nego prošle godine jer je $320 : 100 = 3.2 .$
Andrej u Irskoj plaća četiri puta višu stanarinu nego u Hrvatskoj jer je $400 : 100 = 4 .$
Prodaja rashladnih uređaja u srpnju je tri puta veća od prodaje u lipnju jer je $300 : 100 = 3 .$

3.1 Pojam postotka

Na početku...

Zanimljivost

Postotak

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Postotak kao razlomak

Zanimljivost

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Postotak kao decimalni broj

Zadatak 7.

Određivanje postotka s pomoću omjera

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Projekt

Zanimljivost

Zadatak 10.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Postotci veći od $100 %$

Kutak za znatiželjne

Zadatak 13.

...i na kraju

Zadatak 14.

3.2 Izračun postotnog iznosa

Na početku...

Zanimljivost

Postotak

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Postotak kao razlomak

Zanimljivost

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Postotak kao decimalni broj

Zadatak 7.

Određivanje postotka s pomoću omjera

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Projekt

Zanimljivost

Zadatak 10.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Postotci veći od 100 %

Kutak za znatiželjne

Zadatak 13.

...i na kraju

Zadatak 14.

3.2 Izračun postotnog iznosa

Postotci veći od $100 %$