Matematika 7 - 6.3 Sličnost trokuta

Izbacite uljeza

Sličice iz prethodna tri zadatka-analiza rješenja zadataka

Promotrimo još jedanput sličice iz prethodnih triju zadataka.

U svakom su zadatku tri lika bila potpuno jednaka, a jedan se razlikovao.

U prva dva zadatka lik koji je bio uljez od ostalih se likova razlikovao isključivo po veličini te je bio sličan preostalim likovima, a u trećem se zadatku razlikovao i izgledom.

Zadatak 4.

Četiri sličice trokuta od kojih je jedan uljez

Pogledajmo četiri trokuta. Koji je od nacrtanih trokuta uljez? Zbog čega?

A

Pažljivo pogledajte sličice.

B

C

Pažljivo pogledajte sličice.

D

Pažljivo pogledajte sličice.

Pomoć:

Jedan je trokut manji od ostalih.

null

Zadatak 5.

U prethodnom su zadatku tri trokuta bila jednaka i oblikom i veličinom.

Kako nazivamo takve trokute?
Koja su svojstva takvih trokuta?
Po čemu je uljez bio sličan ostalim trokutima, a po čemu se razlikovao od njih?

Trokute koji su jednaki i oblikom i veličinom nazivamo sukladnim trokutima.
Sukladni trokuti imaju odgovarajuće stranice jednakih duljina i odgovarajuće kutove jednakih veličina.
Trokut koji se razlikovao od ostalih (uljez) sličio je ostalim trokutima po obliku, veličine kutova tog trokuta bile su jednake veličinama odgovarajućih kutova ostalih trokuta. Trokut na slici B razlikovao se od ostalih trokuta po veličini, a duljine njegovih stranica bile su kraće od duljina odgovarajućih stranica preostalih triju trokuta.

Zatvori

Primjer 1.

Promotrimo sljedeće likove. Usporedimo ih po obliku i veličini. Što možemo zamijetiti?

Prvi i drugi kvadrat jednakog su oblika i jednake veličine. Treći je kvadrat jednakog oblika kao prva dva, ali različite veličine (veći je od preostalih dvaju kvadrata).
Prvi i treći krug jednakog su oblika i jednake veličine. Drugi je krug jednakog oblika kao prva dva, ali različite veličine (manji je od preostalih dvaju krugova).
Drugi i treći sedmerokut („strelica”) jednakog su oblika i jednake veličine. Prvi je sedmerokut jednakog oblika kao prva dva, ali različite veličine (veći je od preostalih dvaju sedmerokuta).

Zadatak 6.

Kako nazivamo geometrijske likove koji su istog oblika i iste veličine? Što mislite kako nazivamo geometrijske likove koji su istog oblika, ali različite veličine?

Geometrijske likove istog oblika i iste veličine nazivamo sukladnim likovima.
Geometrijske likove istog oblika i različite veličine nazivamo sličnim likovima.

Slični likovi

U geometriji pojam sličnosti likova ima vrlo specifično značenje.

Slične likove možemo dobiti povećavajući ili smanjujući zadani lik.

Geometrijski su likovi slični ako imaju isti oblik, ali ne nužno i jednaku veličinu.

Primjer 2.

Pronađimo parove sličnih likova.

A
C
D
F
K
I

Pomoć:

Pažljivo pogledajte likove.

null

Zadatak 7.

Promotrimo međusobno slične likove iz prethodnog primjera. Ovisi li sličnost likova o njihovu položaju u ravnini?

Ne ovisi. Likovi mogu biti slični neovisno o svojemu položaju u ravnini.

Zadatak 8.

Na slici su tri trokuta, drugi trokut je umanjeni prvi, a treći osnosimetričan drugome s obzirom na zadani pravac p

Početni trokut prvo je umanjen, a zatim preslikan osnom simetrijom preko pravca $p$ .

Jesu li prvi i treći trokut slični?

Prvi i drugi trokut jednakog su oblika, ali različite veličine te su međusobno slični. Drugi i treći trokut jednakog su oblika i jednake veličine te su međusobno sukladni. Osnom simetrijom ne mijenja se ni oblik ni veličina lika te su zato prvi i treći trokut međusobno slični.

Zatvori

Slični trokuti

Primjer 3.

Istražimo svojstva sličnih trokuta s pomoću sljedeće interakcije.

U interakciji uočite da su odgovarajući kutovi sličnih trokuta međusobno jednakih veličina.

Napišite omjere duljina odgovarajućih stranica sličnih trokuta, pojednostavnite ih, odnosno skratite do kraja i odgovorite na pitanje postavljeno u interakciji.

Dva su trokuta slična ako su im odgovarajući kutovi sukladni, a duljine odgovarajućih stranica proporcionalne (kažemo da su proporcionalne s koeficijentom sličnosti $k$ ).

Koeficijent sličnosti $k$ jednak je omjeru duljina odgovarajućih stranica tog trokuta.

Na slici su dva slična trokuta s označenim odgovarajućim kutovima koji su jednakih veličina

Trokut $A B C$ i trokut $D E F$ međusobno su slični trokuti.

Prisjetimo se da sukladne kutove označavamo istom oznakom, primjerice istom bojom ili istim brojem lukova.

Parovi odgovarajućih stranica su $\bar{A B}$ i $\bar{D E},$ $\bar{B C}$ i $\bar{E F}$ i $\bar{C A}$ i $\bar{F D} .$

Parovi odgovarajućih kutova (kutova jednake veličine) su

$∠ C A B ≅ ∠ F D E,$ $∠ A B C ≅ ∠ D E F$ i $∠ B C A ≅ ∠ E F D .$

Slične likove zapisujemo na isti način kao i sukladne likove: odgovarajuće elemente (vrhove, stranice i kutove) navodimo istim redoslijedom.

Za gore nacrtane trokute kažemo da je trokut $A B C$ sličan trokutu $D E F .$

Da su trokuti $A B C$ i $D E F$ slični zapisujemo oznakom $△ A B C \sim △ D E F$ i čitamo „trokut $A B C$ sličan je trokutu $D E F$ ”.

Uočite da je vrlo jednostavno odrediti parove odgovarajućih stranica, kao i kod sukladnih trokuta, ako je sličnost ispravno zapisana.

Primjer 4.

Nacrtani trokuti su slični. Ispišimo u bilježnicu parove odgovarajućih stranica i kutova nacrtanih trokuta pa simbolima zapišimo sličnost tih trokuta.

Parovi odgovarajućih stranica su $\bar{Q R}$ i $\bar{T U},$ $\bar{R S}$ i $\bar{U V}$ i $\bar{S Q}$ i $\bar{V T} .$

Parovi odgovarajućih kutova (kutova jednake veličine) su $∠ S Q R ≅ ∠ V T U,$ $∠ Q R S ≅ ∠ T U V$ i $∠ R S Q ≅ ∠ U V T .$

Slični su trokuti $Q R S$ i $T U V$ , što simbolički zapisujemo $△ Q R S \sim △ T U V .$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Ispravno zapišite u bilježnicu oznake sličnih likova.

Odgovarajući kutovi četverokuta istaknuti su jednakim oznakama lukova. Zaključujemo da je četverokut $G H I J$ sličan četverokutu $L K N M .$ Simbolički zapisujemo $G H I J \sim L K N M .$
Odgovarajući kutovi trokuta istaknuti su jednakim oznakama lukova. Zaključujemo da su trokut $P R S$ i trokut $U V T$ slični. Simbolički zapisujemo $△ P R S \sim △ U V T .$

Zadatak 10.

Ispravno zapišite oznake sličnih trokuta.

Na slikama su slični trokuti s označenim veličinama nekih kutova

Zbroj unutarnjih kutova trokuta iznosi $180 ° .$ Zato je $|∠ B C A| = 180 ° - 40 ° - 60 ° = 80 °,$ a $|∠ J K L| = 180 ° - 80 ° - 60 ° = 60 ° .$ Odgovarajući kutovi sličnih trokuta jednakih su veličina. Zato je $△ A B C \sim △ J K L .$
Zbroj unutarnjih kutova trokuta iznosi $180 ° .$ Zato je $|∠ C E D| = 180 ° - 82 ° - 36 ° = 62 °,$ a $|∠ I G H| = 180 ° - 82 ° - 36 ° = 62 ° .$ Odgovarajući kutovi sličnih trokuta jednakih su veličina. Zato je $△ E D C \sim △ I G H .$

Zatvori

Koeficijent sličnosti

Primjer 5.

Trokut sa stranicama duljine $6 cm,$ $9 cm$ i $12 cm$ sličan je trokutu sa stranicama duljine $4 cm,$ $9 cm$ i $8 cm .$ Odredite koeficijent sličnosti tih trokuta.

Odgovarajuće stranice sličnih trokuta u jednakim su omjerima. To znači da omjeri najvećih stranica, omjeri stranica srednjih po duljini i omjeri najkraćih stranica moraju biti jednaki.

$\begin{array}{l} \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \\ \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \\ \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \end{array}$

Trokuti su slični s koeficijentom sličnosti $\frac{3}{2} .$

Zadatak 11.

Trokut sa stranicama duljine $8 cm,$ $12 cm$ i $16 cm$ sličan je trokutu sa stranicama duljine $10 cm,$ $15 cm$ i $20 cm .$ Odredite koeficijent sličnosti.

Odgovarajuće stranice sličnih trokuta u jednakim su omjerima. To znači da omjeri najvećih stranica, omjeri stranica srednjih po duljini i omjeri najkraćih stranica moraju biti jednaki.

$\begin{array}{l} \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \\ \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \\ \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \end{array}$

Trokuti su slični s koeficijentom sličnosti $\frac{4}{5} .$

Zanimljivost

Odgovarajuće stranice sličnih trokuta u jednakim su omjerima. To znači da omjeri najvećih stranica, omjeri stranica srednjih po duljini i omjeri najkraćih stranica moraju biti jednaki.

Većim trokutom nazivamo trokut koji ima dulje odgovarajuće stranice. Manjim trokutom nazivamo trokut koji ima odgovarajuće stranice manje duljine.

Primjer 6.

Koeficijent sličnosti dvaju trokuta je $\frac{1}{2} .$ Duljine stranica većeg trokuta su $12 cm,$ $16 cm$ i $20 cm .$ Kolike su duljine stranica manjeg trokuta?

S obzirom na to da su trokuti slični s koeficijentom sličnosti $\frac{1}{2},$ duljine odgovarajućih stranica manjeg trokuta dvaput su kraće. Duljine stranica manjeg trokuta iznose $6 cm,$ $8 cm$ i $10 cm .$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 12.

Koeficijent sličnosti dvaju trokuta je $3$ $.$ Duljine stranica manjeg trokuta su $4 cm,$ $5 cm$ i $8 cm .$ Kolike su duljine stranica većeg trokuta?

S obzirom na to da su trokuti slični s koeficijentom sličnosti $3,$ duljine odgovarajućih stranica većeg trokuta triput su dulje. Duljine stranica većeg trokuta redom iznose $12 cm,$ $15 cm$ i $24 cm .$

Zadatak 13.

Josip je izradio fotografiju s obiteljskog putovanja. Dimenzije fotografije iznosile su $10 cm$ s $15 cm .$ Fotografiju je odlučio uvećati te je darovati majci za rođendan.

Ako su nove dimenzije fotografije $20 cm$ s $30 cm,$ u kojem su omjeru dimenzije uvećane fotografije i originalne fotografije za Josipovu majku? Jesu li te fotografije pravokutnih oblika međusobno slične?

Fotografije su međusobno slične jer su svi kutovi pravokutnika pravi pa su zato svi kutovi tih dvaju pravokutnika jednakih veličina. Također, odgovarajuće stranice su u jednakim omjerima jer je $\frac{20}{10} = \frac{30}{15} .$ Koeficijent sličnosti je $2 .$

Zatvori

Duljine stranica sličnog lika dobijemo tako da duljine stranica lika pomnožimo istim brojem, koeficijentom sličnosti.

Zadatak 14.

Jesu li sukladni trokuti slični? Objasnite svoj odgovor. Pomoć možete potražiti u sljedećoj animaciji.

Svi sukladni trokuti ujedno su i slični. Odgovarajući kutovi jednakih su im veličina, a odgovarajuće stranice u jednakim omjerima. Koeficijent sličnosti tih trokuta je $1 .$

6.3 Sličnost trokuta

Na početku...

Izbacite uljeza

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Slični likovi

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Slični trokuti

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Koeficijent sličnosti

Zadatak 11.

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

6.4 Poučci o sličnosti trokuta