Matematika 7 - 2.6 Obrnuto proporcionalne veličine

Obrnuto proporcionalne veličine

Cijena autobusa iznosi $2 700 kn .$ Ako ide manje učenika, cijena će po učeniku biti veća. Kažemo da su broj učenika i cijena vožnje obrnuto proporcionalne veličine

Primjer 1.

Dobitak na lutriji iznosi $1 000 000$ kuna.

Ako postoje dva dobitna listića, koliko će svaki dobitnik dobiti novca?

Kad bi bilo dva puta više dobitnih listića od prvobitna dva listića, kako bi se tada rasporedio dobitak?

A kako bi se rasporedio dobitak da je bilo četverostruko više dobitnih listića od prvobitna dva listića?

Kakve su te veličine? Obrazloži odgovor.

Ako su dva dobitna listića, dobitak će se dijeliti na dva dijela. Svaki će dobiti po $500 000 kn .$
Dvostruko više dobitnih listića znači da ih je četiri, tada se dobitak dijeli na četiri jednaka dijela, svaki će dobiti $250 000 kn,$ znači dvostruko manje.
Četverostruko više dobitaka znači četverostruko manji dobitak. Četverostruko više od dva jest osam dobitnih listića, svaki će dobiti po $1 000 000 : 8 = 125 000 kn,$ što je četverostruko manje od $500 000 kn .$
Što je veći broj dobitnih listića, iznos dobitka svakog listića jest manji. Te su veličine obrnuto proporcionalne.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Dovucite riječi na odgovarajuća mjesta.

Manji font slova na jednoj stranici znači

teksta na toj stranici.
Ako na gradilište dođe dvostruko više radnika, posao će biti gotov

brže.
Vreća hrane za tri puta više pasa u jednom prihvatilištu traje

puta kraće .
Pod kupaonice popločan je malim pločicama. Peterostruko većih pločica treba

manje.
Deset cijevi napuni olimpijski bazen za tri sata. Ako je otvoreno

cijevi, punjenje će trajati duže.

više

tri

dvostruko

peterostruko

manje

null

Zadatak 2.

Kakve su veličine u prethodnom zadatku?

Obrazložite odgovor.

Veličine u prethodnom zadatku obrnuto su proporcionalne jer onoliko puta koliko se jedna veličina povećava ili smanjuje druga se veličina toliko puta smanjuje ili povećava.

Zadatak 3.

Ako pet sladoleda platite $30$ kuna, koliko ćete platiti $8$ sladoleda?

Kakve su ovo veličine?

Osam sladoleda platit ćemo $48 kn .$ To su proporcionalne veličine.

Zatvori

Prisjetimo se kada su dvije veličine proporcionalne.

Za dvije veličine kažemo da su proporcionalne ako vrijedi: Koliko se puta poveća jedna veličina toliko će se puta povećati i druga veličina, odnosno koliko se puta smanji jedna veličina toliko će se puta smanjiti i druga veličina.

Možete li zaključiti kako biste prepoznali dvije veličine koje su obrnuto proporcionalne?

Za dvije veličine kažemo da su obrnuto proporcionalne ako vrijedi: Koliko se puta poveća jedna veličina toliko će se puta smanjiti druga veličina, odnosno koliko se puta smanji jedna veličina toliko će se puta povećati druga veličina.

Za dvije veličine kažemo da su obrnuto proporcionalne ako vrijedi: Koliko se puta poveća jedna veličina toliko će se puta smanjiti druga veličina, odnosno koliko se puta smanji jedna veličina toliko će se puta povećati druga veličina.

Primjer 2.

Izviđači trebaju donijeti $10$ malih cjepanica do svog logora.

Ako ih se više prijavi za taj zadatak, hoće li svaki izviđač nositi više ili manje cjepanica?

Ako ih se manje prijavi za taj zadatak, hoće li svaki izviđač nositi manje ili više cjepanica do logora?

Je li broj izviđača proporcionalan ili obrnuto proporcionalan količini cjepanica koje će nositi?

Ako se više izviđača prijavi, svaki će nositi manji broj cjepanica. Ako broj izviđača nije djelitelj broja cjepanica, pojedini će izviđači nositi manje od ostalih.
Ako se manje izviđača dobrovoljno javi za nošenje cjepanica do logora, svaki će nositi više cjepanica.
Broj izviđača i količina cjepanica koje treba nositi obrnuto su proporcionalne veličine.

Zadatak 4.

Dopunite rečenice tako da odaberete pravu riječ.

Više mlijeka platili bismo kuna.

Više radnika radilo bi isti posao vremena.

Manjom brzinom prešli bismo kilometara u isto vrijeme.

Manjom brzinom trebalo bi nam vremena za neki put.

null

Kada određujemo jesu li neke veličine proporcionalne ili obrnuto proporcionalne, moramo paziti na odnose među tim veličinama.

Zanimljivost

Vozimo li većom brzinom, prijeći ćemo isti put u kraćem vremenu, ali pritom treba paziti na ograničenje brzine i prometne propise, te na sigurnost vozača, putnika i ostalih sudionika u prometu. Nije uvijek cilj doći nekamo što prije, najvažnije je voziti sigurno poštujući prometna pravila i tako da se ne ugrozi ničiji život. Više o sigurnosti u prometu možete pogledati na stranicama Hrvatskog autokluba - Sigurnost u prometu.

Koeficijent obrnute proporcionalnosti

Primjer 3.

Na tržnici se prodaje razno voće. Mama je sa sobom povela Karla. Primijetio je da mama na voće namjerava potrošiti $50 kn$ i da za $50 kn$ može kupiti manju količinu voća po višoj cijeni ili veću količinu voća po nižoj cijeni za kilogram. Karlo je sjeo na klupu, pogledao cijene i nacrtao tablicu. Što je Karlo primijetio ispunjavajući ovu tablicu?

Svaki je put trebalo pomnožiti cijenu jednog kilograma voća s količinom voća (u $kg$ ), da bi se dobilo uvijek isto rješenje, $50 kn .$

Za veću cijenu voća po $kg$ za isti iznos dobijemo manju količinu voća, a za manju cijenu jednog kilograma voća za isti iznos dobijemo veću količinu voća.

Ovdje ne promatramo kvalitetu ili vrstu voća, samo odnos cijene i količine. Te su veličine obrnuto proporcionalne.

Umnožak ovih obrnuto proporcionalnih veličina iznosi $50 .$ Broj $50$ nazivamo koeficijent obrnute proporcionalnosti ovih veličina. Broj $50$ u ovom primjeru znači količinu novca koju želimo potrošiti na voće.

Umnožak dviju obrnuto proporcionalnih veličina jest stalan i taj umnožak nazivamo koeficijent obrnute proporcionalnosti.

Ako dvije obrnuto proporcionalne veličine označimo s $x$ i $y,$ tada vrijedi $x \cdot y = k,$ pri čemu je $k$ koeficijent obrnute proporcionalnosti tih veličina.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Odredite koeficijent obrnute proporcionalnosti i njegovo značenje ako $5$ radnika može odraditi neki posao za $6$ dana.

Značenje koeficijenta ukupan je broj dana potrebnih da jedan radnik obavi posao, a koeficijent dobijemo tako da pomnožimo broj radnika s brojem dana, $5 \cdot 6 = 30 .$

Zadatak 9.

Odredite koeficijent obrnute proporcionalnosti i njegovo značenje ako za prijevoz kamena iz kamenoloma treba $10$ kamiona nosivosti $8$ tona.

Značenje koeficijenta jest ukupna količina kamena, u tonama, koju treba prevesti, a koeficijent dobijemo tako da pomnožimo broj kamiona s nosivosti kamiona, $10 \cdot 8 = 80 .$

Zatvori

Zanimljivost

Dvije sličice, na svakoj ista hrpa kamenja, na prvoj slici jedan veliki kamion, na drugoj slici tri mala kamiona

Nosivost kamiona dopuštena je količina tereta kojom se kamion može opteretiti.

Primjer 4.

Odredimo koeficijent obrnute proporcionalnosti i njegovo značenje iz tablice ako znamo da su veličine obrnuto proporcionalne.

Veličina

Broj grupa učenika nekog razreda $x$ $2$ $3$ $4$ $6$

Broj učenika u grupi $y$ $12$ $8$
$6$
$4$

Veličina
Broj grupa učenika nekog razreda $x$	$2$	$3$	$4$	$6$
Broj učenika u grupi $y$	$12$	$8$	$6$	$4$
$x \cdot y$	$24$	$24$	$24$	$24$

$k = 24$

Koeficijent dobijemo tako da bilo koji $x$ pomnožimo s pripadnim $y$ ako znamo da su broj grupa i broj učenika obrnuto proporcionalne veličine. Značenje tog koeficijenta jest ukupan broj učenika u razredu.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Odredite koeficijent obrnute proporcionalnosti iz tablice.

Zadatak 11.

Jesu li veličine $x$ i $y$ iz tablice obrnuto proporcionalne?

Veličine nisu obrnuto proporcionalne jer u trećem stupcu umnožak veličina $x$ i $y$ nije $13.5$ kao u ostalim stupcima.

Zatvori

Računanje obrnuto proporcionalnih veličina

Zadatke s obrnuto proporcionalnim veličinama možemo rješavati koristeći se formulom obrnute proporcionalnosti ili pomoću razmjera (proporcije).

Primjer 5.

Vlak vozi brzinom od $140 km/h$ i prijeđe udaljenost između dvaju gradova za $3$ sata. Koliko bi mu vremena trebalo da prijeđe isti put ako smanji brzinu na $105 km/h ?$

Detaljno rješenje primjera možete pogledati u videosnimci "Koliko dugo vozi vlak?".

Vlak bi na toj relaciji vozio $4$ sata brzinom $105 km/h .$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 12.

Je li točna izjava?

Zalihe hrane za srne u malom zoološkom vrtu pokraj lovačkog doma dovoljne su za prehranu $10$ srna u $24$ dana. $16$ srna bi se tom zalihom hranilo $15$ dana.

Da

Ne

Pogledajte uputu

Pomoć:

$10 \cdot 24 = 240$ i $16 \cdot 15 = 240$

null

Zadatak 13.

Upišite točno rješenje.

Bazen se napuni za

12

sati ako ga punimo sa

6

cijevi. Koliko bi trajalo punjenje bazena ako je otvoreno

8

cijevi? Punjenje bi trajalo

12 \cdot 6 = 72,

72 : 8 = 9

sati.

null

Zatvori

Primjer 6.

Zadatke možemo rješavati i pomoću razmjera.

Za uređenje cvjetnjaka na glavnom trgu jednoga grada $6$ radnica treba raditi $15$ dana. Cvjetnjak mora biti uređen za $10$ dana. Koliko radnica treba raditi da posao bude završen u zadanom roku?

Rješavamo li zadatak pomoću razmjera, moramo paziti na vrstu i redoslijed veličina koje stavljamo u razmjer. Najprije označimo zadane veličine.

S $x$ označimo nepoznati broj radnica.

Ispišimo zatim zadane podatke i podatak koji želimo izračunati u dva stupca, u prvi zapišimo broj radnica, a u drugi broj dana potrebnih za uređenje cvjetnjaka.

Kod obrnute proporcionalnosti iz smanjenja jedne veličine slijedi povećanje druge veličine, znači želimo li smanjiti broj dana, toliko puta moramo povećati broj radnica.

Da bismo si olakšali, podatke možemo zapisati na način prikazan slikom.

Prateći "obrnuti" redoslijed veličina u omjerima, ili „strelice“, dobijemo proporciju ili razmjer obrnute proporcionalnosti.

Uvrstimo veličine u dobiveni razmjer i riješimo ga.

$6 : x_{} = 10 : 15$

$10 \cdot x_{} = 6 \cdot 15$

$10 \cdot x_{} = 90$

$x_{} = 90 : 10$

$x_{} = 9$

Posao treba raditi $9$ radnica.

Način rješavanja zadataka s obrnuto proporcionalnim veličinama

Zadatke s obrnuto proporcionalnim veličinama možemo rješavati na dva načina, pomoću formule ili pomoću razmjera.

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 14.

Dopunite i odgovorite.

Umjesto $10$ boca od $1.5$ litre vode, možemo kupiti
Pažljivo pročitajte zadatak.

boce vode po $5$ litara.

null

null
Ako $15$ radnika tramvajsku prugu popravlja $5$ dana, $25$ radnika popravljalo bi istu prugu
Pažljivo pročitaj zadatak.
dana.

null

null
Zalihe hrane u ergeli s $28$ konja traju $6$ dana. Ako su u ergeli $42$ konja, te zalihe bi trajale $4$ dana.

Da

Ne
Pažljivo pročitajte zadatak.

null

null
Dva studenta očiste parkiralište od snijega za $6$ sati. Četiri studenta očistili bi ga za $4$ sata.

Da
$4$ studenta očistili bi snijeg za $3$ dana.

Ne
$4$ studenta očistili bi snijeg za $3$ dana.

null

null

Zadatak 15.

Autobus vozi brzinom $81 km/h$ i prijeđe predviđeni put za $10$ sati. Koliko bi mu sati trebalo da prijeđe taj put ako ubrza na $90 km/h ?$

Brzinom od $90 km/h$ trebalo bi mu $9$ sati.

Zadatak 16.

Razred je podijeljen u $4$ skupine po $6$ učenika. Koliko bi učenika bilo u skupini ako treba biti $8$ skupina?

Ako treba biti $8$ skupina, u svakoj bi bilo $3$ učenika.

Zatvori

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 17.

$18$ soboslikara oboji zidove škole za $12$ dana, koliko bi dana radila $24$ soboslikara?

$24$ soboslikara radila bi $9$ dana.

Zadatak 18.

Mama je ispekla određen broj kolača za Tinin rođendan. Ako na rođendan dođe petnaestero djece, svako će dijete dobiti po $4$ kolača, a ako ih dođe dvanaestero, koliko će komada kolača svako dijete dobiti?

Ako ih dođe dvanaestero, svaki će dobiti po $5$ komada kolača.

Zadatak 19.

Za prijevoz posječenih trupaca iz šume za tvornicu namještaja potreban je traktor. Traktor u čiju prikolicu stane $24$ trupca treba po trupce doći pet puta. Koliko bi puta po te trupce trebao doći traktor u čiju prikolicu stane $30$ trupaca?

Traktor u čiju prikolicu stane $30$ trupaca trebao bi po trupce doći $4$ puta .

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Površina pravokutnika iznosi $6 {cm}^{2} .$ Izračunajmo moguće duljine stranica tog pravokutnika ako znamo da su duljine tih stranica prirodni brojevi.

Pravokutnici istih površina, a različitih duljina stranica

Formula za površinu pravokutnika jest $P = a \cdot b .$

U našem slučaju za duljine stranica pravokutnika vrijedi $a \cdot b = 6 .$ Kada povećamo duljinu stranice $a,$ smanjit će se duljina stranice $b,$ kako bi površina ostala ista.

To znači da su veličine $a$ i $b$ obrnuto proporcionalne s koeficijentom $6 .$ Još znamo i da su $a, b \in N .$

Imamo $4$ moguća rješenja.

Duljine stranica pravokutnika površine $6 {cm}^{2}$ mogu biti: $a = 1 cm$ i $b = 6 cm,$ $a = 2 cm$ i $b = 3 cm,$ $a = 3 cm$ i $b = 2 cm$ te $a = 6 cm$ i $b = 1 cm .$

Preglednije, rješenje možemo prikazati i pomoću tablice.

U tablici su $a$ i $b$ cjelobrojne duljine stranica pravokutnika površine $6 {cm}^{2} .$

Stranice pravokutnika površine $P = 6 {cm}^{2}$
$a$	$1 cm$	$2 cm$	$3 cm$	$6 cm$
$b$	$6 cm$	$3 cm$	$2 cm$	$1 cm$

Iz tablice se lijepo vidi da su veličine $a$ i $b$ obrnuto proporcionalne s koeficijentom $6 .$

Kolekcija zadataka 8

Zadatak 20.

Popunite tablicu ako znate da su veličine $a$ i $b$ duljine stranica pravokutnika izražene u $cm,$ a njegova je površina $30 {cm}^{2} .$

Zadatak 21.

Popunite tablicu ako znate da su veličine $a$ i $b$ duljine stranica pravokutnog trokuta izražene u $cm,$ a njegova je površina $18 {cm}^{2} .$

Zatvori

Na početku...

Obrnuto proporcionalne veličine

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Proporcionalne veličine

Obrnuto proporcionalne veličine

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zanimljivost

Koeficijent obrnute proporcionalnosti

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zanimljivost

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Računanje obrnuto proporcionalnih veličina

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Uvježbajmo

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 20.

Zadatak 21.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

2.7 Primjena obrnuto proporcionalnih veličina u svakodnevnom životu